Comprendre les polynômes dans MATLAB : représentation et évaluation

MATLAB représente les polynômes comme des vecteurs lignes contenant les coefficients ordonnés par puissances décroissantes. Par exemple, l'équation P(x) = x⁴ + 7x³ - 5x + 9 pourrait être représentée comme :

p = [1 7 0 -5 9];

Évaluation des polynômes

La fonction polyval est utilisée pour évaluer un polynôme à une valeur spécifiée. Par exemple, pour évaluer notre polynôme précédent p, en x = 4, tapez :

p = [1 7 0 -5 9]; polyval(p,4)

MATLAB exécute les instructions ci-dessus et retourne le résultat suivant :

ans = 693

MATLAB fournit également la fonction polyvalm pour évaluer un polynôme matriciel. Un polynôme matriciel est un polynôme avec des matrices comme variables.

Par exemple, créons une matrice carrée X et évaluons le polynôme p, en X :

p = [1 7 0 -5 9]; X = [1 2 -3 4; 2 -5 6 3; 3 1 0 2; 5 -7 3 8]; polyvalm(p, X)

MATLAB exécute les instructions ci-dessus et retourne le résultat suivant :

ans = 2307 -1769 -939 4499 2314 -2376 -249 4695 2256 -1892 -549 4310 4570 -4532 -1062 9269

Recherche des racines des polynômes

La fonction roots calcule les racines d'un polynôme. Par exemple, pour calculer les racines de notre polynôme p, tapez :

p = [1 7 0 -5 9]; r = roots(p)

MATLAB exécute les instructions ci-dessus et retourne le résultat suivant :

r = -6.8661 + 0.0000i -1.4247 + 0.0000i 0.6454 + 0.7095i 0.6454 - 0.7095i

La fonction poly est l'inverse de la fonction roots et retourne les coefficients du polynôme. Par exemple :

p2 = poly(r)

MATLAB exécute les instructions ci-dessus et retourne le résultat suivant :

p2 = Colonnes 1 à 3: 1.00000 + 0.00000i 7.00000 + 0.00000i 0.00000 + 0.00000i Colonnes 4 et 5: -5.00000 - 0.00000i 9.00000 + 0.00000i

Ajustement de courbe polynomiale

La fonction polyfit trouve les coefficients d'un polynôme qui ajustent un ensemble de données au sens des moindres carrés. Si x et y sont deux vecteurs contenant les données x et y à ajuster à un polynôme de degré n, alors nous obtenons l'ajustement polynomial des données en écrivant :

p = polyfit(x,y,n)

Exemple

Créez un fichier script et saisissez le code suivant :

x = [1 2 3 4 5 6]; y = [5.5 43.1 128 290.7 498.4 978.67]; %données p = polyfit(x,y,4) %obtenir le polynôme % Calculer les valeurs de l'estimation polyfit sur une plage plus fine, % et tracer l'estimation sur les vraies valeurs de données pour comparaison: x2 = 1:.1:6; y2 = polyval(p,x2); plot(x,y,'o',x2,y2) grid on

Lorsque vous exécutez le fichier, MATLAB affiche le résultat suivant :

p = 4.1056 -47.9607 222.2598 -362.7453 191.1250

Et trace le graphique suivant :