MATLAB pour le calcul : résolution d'équations différentielles, intégrales et limites

MATLAB fournit divers moyens pour résoudre des problèmes de calcul différentiel et intégral, résoudre des équations différentielles de tout degré et calculer des limites. Le mieux, c'est que vous pouvez facilement tracer les graphiques de fonctions complexes et vérifier les maxima, minima et autres points stationnaires sur un graphique en résolvant la fonction originale, ainsi que sa dérivée.

Ce chapitre traitera des problèmes de calcul. Dans ce chapitre, nous discuterons des concepts de pré-calcul, c'est-à-dire le calcul des limites de fonctions et la vérification des propriétés des limites.

Dans le prochain chapitre Différentiel, nous calculerons la dérivée d'une expression et trouverons les maxima et minima locaux sur un graphique. Nous discuterons également de la résolution d'équations différentielles.

Enfin, dans le chapitre Intégration, nous discuterons du calcul intégral.

Calcul des limites

MATLAB fournit la fonction limit pour calculer les limites. Sous sa forme la plus basique, la fonction limit prend une expression comme argument et trouve la limite de l'expression lorsque la variable indépendante tend vers zéro.

Par exemple, calculons la limite d'une fonction f(x) = (x³ + 5)/(x⁴ + 7), lorsque x tend vers zéro.

syms x limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))

MATLAB exécute l'instruction ci-dessus et retourne le résultat suivant :

ans = 5/7

La fonction limit relève du calcul symbolique ; vous devez utiliser la fonction syms pour dire à MATLAB quelles variables symboliques vous utilisez. Vous pouvez également calculer la limite d'une fonction, lorsque la variable tend vers un nombre autre que zéro. Pour calculer lim _x→a(f(x)), nous utilisons la commande limit avec des arguments. Le premier étant l'expression et le second est le nombre vers lequel x tend, ici c'est a.

Par exemple, calculons la limite d'une fonction f(x) = (x-3)/(x-1), lorsque x tend vers 1.

limit((x - 3)/(x-1),1)

MATLAB exécute l'instruction ci-dessus et retourne le résultat suivant :

ans = NaN

Prenons un autre exemple :

limit(x^2 + 5, 3)

MATLAB exécute l'instruction ci-dessus et retourne le résultat suivant :

ans = 14

Calcul des limites avec Octave

Voici la version Octave de l'exemple ci-dessus en utilisant le paquet symbolic, essayez d'exécuter et de comparer le résultat :

pkg load symbolic symbols x = sym("x"); subs((x^3+5)/(x^4+7),x,0)

Octave exécute l'instruction ci-dessus et retourne le résultat suivant :

ans = 0.7142857142857142857

Vérification des propriétés de base des limites

Le théorème des limites algébriques fournit certaines propriétés de base des limites. Elles sont les suivantes :

Considérons deux fonctions :

• f(x) = (3x + 5)/(x - 3)
• g(x) = x² + 1.

Calculons les limites des fonctions lorsque x tend vers 5, pour les deux fonctions et vérifions les propriétés de base des limites en utilisant ces deux fonctions et MATLAB.

Exemple

Créez un fichier script et saisissez le code suivant :

syms x f = (3*x + 5)/(x-3); g = x^2 + 1; l1 = limit(f, 4) l2 = limit(g, 4) lAdd = limit(f + g, 4) lSub = limit(f - g, 4) lMult = limit(f*g, 4) lDiv = limit(f/g, 4)

Lorsque vous exécutez le fichier, il affiche :

l1 = 17 l2 = 17 lAdd = 34 lSub = 0 lMult = 289 lDiv = 1

Vérification des propriétés de base des limites avec Octave

Voici la version Octave de l'exemple ci-dessus en utilisant le paquet symbolic, essayez d'exécuter et de comparer le résultat :

pkg load symbolic symbols x = sym("x"); f = (3*x + 5)/(x-3); g = x^2 + 1; l1 = subs(f, x, 4) l2 = subs(g, x, 4) lAdd = subs(f+g, x, 4) lSub = subs(f-g, x, 4) lMult = subs(f*g, x, 4) lDiv = subs(f/g, x, 4)

Octave exécute l'instruction ci-dessus et retourne le résultat suivant :

l1 = 17.0 l2 = 17.0 lAdd = 34.0 lSub = 0.0 lMult = 289.0 lDiv = 1.0

Limites latérales (gauche et droite)

Lorsqu'une fonction a une discontinuité pour une valeur particulière de la variable, la limite n'existe pas en ce point. En d'autres termes, les limites d'une fonction f(x) ont une discontinuité en x = a, lorsque la valeur de la limite, lorsque x approche a par la gauche, n'est pas égale à la valeur de la limite lorsque x approche par la droite.

Cela conduit au concept de limites latérales gauche et droite. Une limite latérale gauche est définie comme la limite quand x → a, par la gauche, c'est-à-dire x approche a, pour des valeurs de x < a. Une limite latérale droite est définie comme la limite quand x → a, par la droite, c'est-à-dire x approche a, pour des valeurs de x > a. Lorsque la limite latérale gauche et la limite latérale droite ne sont pas égales, la limite n'existe pas.

Considérons une fonction :

f(x) = (x - 3)/|x - 3|

Nous allons montrer que lim_x→3 f(x) n'existe pas. MATLAB nous aide à établir ce fait de deux manières :

• En traçant le graphique de la fonction et en montrant la discontinuité.
• En calculant les limites et en montrant qu'elles sont différentes.

Les limites latérales gauche et droite sont calculées en passant les chaînes de caractères 'left' et 'right' à la commande limit comme dernier argument.

Exemple

Créez un fichier script et saisissez le code suivant :

f = (x - 3)/abs(x-3); ezplot(f,[-1,5]) l = limit(f,x,3,'left') r = limit(f,x,3,'right')

Lorsque vous exécutez le fichier, MATLAB dessine le graphique suivant :

Après cela, la sortie suivante est affichée :

l = -1 r = 1