Transformées MATLAB : Laplace, Fourier et FFT expliquées

MATLAB fournit des commandes pour travailler avec les transformées, telles que les transformées de Laplace et de Fourier. Les transformées sont utilisées en science et en ingénierie comme outil pour simplifier l'analyse et regarder les données sous un autre angle.

Par exemple, la transformée de Fourier nous permet de convertir un signal représenté comme une fonction du temps en une fonction de la fréquence. La transformée de Laplace nous permet de convertir une équation différentielle en une équation algébrique.

MATLAB fournit les commandes laplace, fourier et fft pour travailler avec les transformées de Laplace, de Fourier et de Fourier rapide.

La transformée de Laplace

La transformée de Laplace d'une fonction du temps f(t) est donnée par l'intégrale suivante :

La transformée de Laplace est également notée comme transformée de f(t) vers F(s). Vous pouvez voir que cette transformée ou processus d'intégration convertit f(t), une fonction de la variable symbolique t, en une autre fonction F(s), avec une autre variable s.

La transformée de Laplace transforme les équations différentielles en équations algébriques. Pour calculer une transformée de Laplace d'une fonction f(t), écrivez :

laplace(f(t))

Exemple

Dans cet exemple, nous calculerons la transformée de Laplace de quelques fonctions couramment utilisées.

Créez un fichier script et saisissez le code suivant :

syms s t a b w laplace(a) laplace(t^2) laplace(t^9) laplace(exp(-b*t)) laplace(sin(w*t)) laplace(cos(w*t))

Lorsque vous exécutez le fichier, il affiche le résultat suivant :

ans = 1/s^2 ans = 2/s^3 ans = 362880/s^10 ans = 1/(b + s) ans = w/(s^2 + w^2) ans = s/(s^2 + w^2)

La transformée de Laplace inverse

MATLAB nous permet de calculer la transformée de Laplace inverse en utilisant la commande ilaplace.

Par exemple :

ilaplace(1/s^3)

MATLAB exécutera l'instruction ci-dessus et affichera le résultat :

ans = t^2/2

Exemple

Créez un fichier script et saisissez le code suivant :

syms s t a b w ilaplace(1/s^7) ilaplace(2/(w+s)) ilaplace(s/(s^2+4)) ilaplace(exp(-b*t)) ilaplace(w/(s^2 + w^2)) ilaplace(s/(s^2 + w^2))

Lorsque vous exécutez le fichier, il affiche le résultat suivant :

ans = t^6/720 ans = 2*exp(-t*w) ans = cos(2*t) ans = ilaplace(exp(-b*t), t, x) ans = sin(t*w) ans = cos(t*w)

Les transformées de Fourier

Les transformées de Fourier transforment couramment une fonction mathématique du temps, f(t), en une nouvelle fonction, parfois notée par ou F, dont l'argument est la fréquence avec des unités de cycles/s (hertz) ou radians par seconde. La nouvelle fonction est alors connue sous le nom de transformée de Fourier et/ou spectre de fréquences de la fonction f.

Exemple

Créez un fichier script et saisissez le code suivant :

syms x f = exp(-2*x^2); %notre fonction ezplot(f,[-2,2]) % tracé de notre fonction FT = fourier(f) % Transformée de Fourier

Lorsque vous exécutez le fichier, MATLAB trace le graphique suivant :

Le résultat suivant est affiché :

FT = (2^(1/2)*pi^(1/2)*exp(-w^2/8))/2

Tracer la transformée de Fourier comme :

ezplot(FT)

Donne le graphique suivant :

Transformées de Fourier inverses

MATLAB fournit la commande ifourier pour calculer la transformée de Fourier inverse d'une fonction. Par exemple :

f = ifourier(-2*exp(-abs(w)))

MATLAB exécutera l'instruction ci-dessus et affichera le résultat :

f = -2/(pi*(x^2 + 1))