Théorème de Tellegen : Guide complet avec exemples résolus et simulations MATLAB

Théorème de Tellegen – Guide étape par étape avec exemples résolus

Qu'est-ce que le théorème de Tellegen ?

Le théorème de Tellegen a été publié en 1952 par l'ingénieur électrique et inventeur néerlandais Bernard D.H. Tellegen. C'est le théorème le plus important et le plus fondamental parmi les théorèmes d'analyse de réseaux. La plupart des autres théorèmes en découlent.

Le théorème de Tellegen repose sur les lois de Kirchhoff. Il s'applique donc à tout réseau respectant ces lois. Il est valable pour une large gamme de réseaux : linéaires ou non-linéaires, variants ou invariants dans le temps, passifs ou actifs.

Énoncé du théorème de Tellegen :

Le théorème de Tellegen repose sur le principe de conservation de l'énergie. Il est utilisé en chimie et en biologie pour déterminer le comportement dynamique des réseaux physiques. En traitement du signal, il sert à la conception de filtres.

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Équation mathématique

Pour une analyse générale, considérons un réseau comportant n branches. Le courant instantané traversant chaque branche est i₁, i₂, i₃, …, i_n. La tension instantanée aux bornes de chaque branche est v₁, v₂, v₃, …, v_n.

Le courant et la tension instantanés de la branche 1 sont i₁ et v₁. La puissance instantanée p₁ absorbée par cet élément est v₁i₁.

p₁ = v₁ i₁

La puissance instantanée de la branche 2 (p₂) :

p₂ = v₂ i₂

De même, la puissance instantanée de la n^ième branche (p_n) :

p_n = v_n i_n

Selon le théorème de Tellegen, la somme de toutes les puissances instantanées est nulle. Il faut sommer p₁, p₂, p₃, …, p_n.

p₁ + p₂ + p₃ + … + p_n = 0

v₁ i₁ + v₂ i₂ + v₃ i₃ + … + v_n i_n = 0

Sous forme générale pour la k^ième branche :

Où :

• n = nombre total de branches dans le réseau
• v_k = tension instantanée de la k^ième branche
• i_k = courant instantané de la k^ième branche
• p_k = puissance instantanée de la k^ième branche

Considérons la figure ci-dessous où la branche AB correspond à la branche k.

La tension instantanée v_k est :

v_k = v_a – v_b

Le courant instantané traversant la branche (de a vers b) est i_k :

i_k = i_ab

La puissance instantanée p_k est donc :

p_k = v_k i_k = (v_a – v_b) i_ab ….. (1)

En considérant le sens opposé du courant (de b vers a) :

i_ab = – i_ab

Tension instantanée :

v_k = v_b – v_a

La puissance instantanée p_k devient :

p_k = v_k i_k = (v_b – v_a) i_ba ….. (2)

En sommant les équations (1) et (2) :

2v_k i_k = (v_a – v_b) i_ab + (v_b – v_a) i_ba

v_k i_k = 1/2 [(v_a – v_b) i_ab + (v_b – v_a) i_ba] ….. (3)

Cette équation s'écrit pour n branches :

Selon la loi des nœuds de Kirchhoff, la somme algébrique des courants en un nœud est nulle.

Donc :

En remplaçant cette valeur dans l'équation (4), on obtient :

Ainsi, il est prouvé que la somme des puissances fournies au réseau est nulle. Le théorème de Tellegen est démontré. Cela signifie aussi que la somme des puissances absorbées par les éléments du réseau est égale à la somme des puissances délivrées par les sources.

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Étapes pour appliquer le théorème de Tellegen

Voici les étapes à suivre pour résoudre un réseau électrique avec le théorème de Tellegen.

Étape 1 : Identifier le nombre de branches dans le réseau donné. Calculer la puissance dissipée dans chaque branche. Pour cela, déterminer la tension ou le courant de la branche par toute méthode d'analyse classique.

Étape 2 : Calculer la puissance instantanée de chaque branche.

Étape 3 : Les branches contenant des sources d'énergie sont considérées comme des branches « délivrant » de la puissance. Les autres branches (résistances, etc.) sont des branches « absorbant » de la puissance. Identifier ces deux types.

Étape 4 : Attribuer un signe positif à la puissance des branches délivrantes et un signe négatif (chute de tension) aux branches absorbantes. On peut inverser la convention, mais elle doit rester cohérente tout au long de l'exemple.

Étape 5 : Pour vérifier le théorème, additionner toutes les puissances calculées. La somme doit être nulle.

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Illustrons avec un exemple.

Exemple résolu du théorème de Tellegen

Exemple n°1

Vérifier le théorème de Tellegen pour le réseau ci-dessous.

Solution :

Étape 1 : Le circuit comporte 5 branches. Pour calculer la puissance instantanée, il faut le courant dans chaque branche. Appliquons la loi des mailles (KVL).

Appliquer KVL à la maille 1 :

15 = 12I₁ – 3I₂

Appliquer KVL à la maille 2 :

12 = – 3I₂ + 6I₂

En résolvant ce système, on trouve les courants de maille :

I₁ = 2 A

I₂ = 3 A

Étape 2 : Courant dans la branche 3 :

I₁₂ = I₂ – I₁ = 3 – 2 = 1 A

Nous avons maintenant les courants dans toutes les branches. Calculons la puissance de chacune.

P₁ = V I₁ = 15 × 2 = 30 W

P₂ = R₁ I₁² = 9 × 4 = 36 W

P₃ = R₁ I₁₂² = 3 × 1 = 3 W

P₄ = R₃ I₂² = 3 × 9 = 27 W

P₅ = V I₂ = 12 × 3 = 36 W

Étape 3 : Deux branches contiennent des sources (branches 1 et 5) : ce sont des branches délivrantes. Les trois autres sont absorbantes.

Pour cet exemple, on adopte le signe positif pour les branches délivrantes et négatif pour les absorbantes.

Étape 4 : Signes : P₁ et P₅ positifs ; P₂, P₃, P₄ négatifs.

Étape 5 : Somme des puissances :

P₁ – P₂ – P₃ – P₄ + P₅ = 30 – 36 – 3 – 27 + 36 = 0 W

La somme des puissances instantanées est nulle. Le théorème est vérifié.

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Exemple n°2

Trouver la tension aux bornes de la source de courant 6 A en utilisant le théorème de Tellegen.

Solution :

Étape 1 : Calculer les tensions ou courants dans les éléments. Appliquons KVL.

KVL à la maille 2 :

-12 = 8I₂ – 6I₁

Le courant dans la branche contenant la source de courant est I₁ = 6 A.

En remplaçant :

-12 = 8I₂ – 6(6)

-12 = 8I₂ – 36

24 = 8I₂

I₂ = 3 A

Étape 2 : Courant dans la branche 2 :

I₁₂ = I₁ – I₂ = 6 – 3 = 3 A

Puissances de chaque branche :

P₁ = V I₁ = V × 6 = 6V

P₂ = R₁ I₁₂² = 6 × 9 = 54 W

P₄ = R₂ I₂² = 2 × 9 = 18 W

P₄ = V I₂ = -12 × 3 = -36 W

Étape 3 : Deux branches ont des sources (branches 1 et 4) : branches délivrantes (signe +). Les deux autres sont absorbantes (signe -).

Étape 4 : P₁ et P₄ positifs ; P₂ et P₃ négatifs.

Étape 5 : Somme des puissances :

P₁ – P₂ – P₃ + P₄ = 0

P₁ – 54 – 18 + 36 = 0 → P₁ = 108 W

La puissance délivrée par la source de 6 A est 108 W. La tension aux bornes de la source est :

P₁ = V I

108 = V × 6 → V = 18 V

La tension aux bornes de la source de courant est donc 18 V.

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Analyse et simulation du théorème de Tellegen avec MATLAB

Objectif :

Prouver le théorème de Tellegen pour le circuit de l'exemple ci-dessus.

Prérequis : MATLAB

Théorie :

D'après le théorème, la somme des puissances instantanées de toutes les branches est nulle. Pour le prouver, il faut calculer la puissance instantanée de chaque branche. Cela nécessite de connaître la tension ou le courant de chaque branche (via KCL/KVL). Ici, nous utilisons un modèle Simulink MATLAB pour obtenir ces valeurs.

On peut aussi utiliser d'autres logiciels (Multisim, PSIM, etc.). On construit le circuit dans Simulink, ce qui permet de lire directement la tension et le courant de chaque branche.

Ensuite, on calcule les puissances instantanées et on les additionne. La somme est toujours nulle. Pour cet exemple, les valeurs de tension et courant issues de Simulink correspondent à celles calculées précédemment par KVL/KCL. Elles correspondent également aux mesures réelles sur breadboard avec voltmètres et ampèremètres.

Modèle Simulink MATLAB

La figure ci-dessous montre le schéma du circuit de l'exemple.

Sur cette figure, les afficheurs donnent directement tension et courant. On peut comparer ces valeurs aux calculs théoriques.

Calculs

Après avoir obtenu tensions et courants, on déduit les puissances instantanées (ou directement via le logiciel). L'addition de toutes les puissances donne zéro. Les valeurs coïncident avec l'exemple précédent et les mesures réelles.

Le théorème de Tellegen est ainsi vérifié.

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Applications du théorème de Tellegen

Ce théorème est fondamental et largement utilisé en analyse de circuits. Voici quelques applications :

• Conception de filtres en traitement numérique du signal.
• Détermination de la stabilité d'installations chimiques (génie chimique).
• Applicable aux systèmes concentrés : linéaires/non-linéaires, actifs/passifs, variants/invariants dans le temps.
• Processus biologiques.
• Topologie et analyse de structure de réaction.
• Étude du comportement dynamique de réseaux physiques.

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