Maîtriser le théorème de superposition : Analyse de circuit pas à pas avec exemple pratique

Théorème de superposition – Guide étape par étape avec exemple résolu

Qu'est-ce que le théorème de superposition ?

Le théorème de superposition résout les réseaux complexes avec plusieurs sources d'énergie. Concept important pour déterminer tension et courant dans les éléments en calculant l'effet de chaque source individuellement, puis en combinant tous les effets pour obtenir la tension et le courant réels.

Le théorème de superposition stipule que :

En d'autres termes, on ne considère qu'une seule source indépendante à la fois. Les autres sources sont supprimées. Sources de tension → court-circuit. Sources de courant → circuit ouvert (pour sources idéales). Si résistance interne donnée, la conserver.

Le théorème ne s'applique qu'aux circuits obéissant à la loi d'Ohm.

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Quand utiliser le théorème de superposition ?

Le réseau doit respecter ces conditions :

• Composants linéaires : courant proportionnel à la tension (résistance), flux proportionnel au courant (inductance). Résistance, inductance, capacité = éléments linéaires. Diode, transistor = non-linéaires.
• Éléments bilatéraux : amplitude du courant indépendante de la polarité des sources.
• On peut trouver : courant dans un élément, chute de tension, tension de nœud. Mais pas la puissance dissipée (proportionnelle au carré tension/courant → non-linéaire).

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Étapes pour appliquer le théorème de superposition

Étape 1 : Identifier le nombre de sources indépendantes dans le réseau.

Étape 2 : Choisir une source, éliminer les autres. Si source dépendante présente, ne pas l'éliminer (reste inchangée).

Sources idéales : court-circuiter tension, ouvrir courant. Si résistance interne donnée, la remplacer.

Étape 3 : Avec une seule source indépendante, trouver la réponse (courant/tension) pour cet élément.

Étape 4 : Répéter étapes 2-3 pour toutes les sources. 3 sources = 3 répétitions. Chaque fois, une valeur de réponse.

Étape 5 : Combiner toutes les réponses par somme algébrique. Valeur finale de réponse pour cet élément. Pour un autre élément, recommencer la procédure.

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Exemple résolu du théorème de superposition

Exemple :

Comprendre le fonctionnement par l'exemple. Trouver le courant (I_L) traversant la résistance 8Ω dans le réseau donné par superposition.

Solution :

Étape 1 : Une source tension (28V), une source courant (28A) → 2 répétitions.

Étape 2 : Considérer source 28V seule. Supprimer source courant par circuit ouvert (source idéale → pas de résistance interne). Circuit restant :

Étape 3 : Trouver I_L1 dans 8Ω (effet source tension seule).

Source courant ouverte → aucun courant dans 10Ω. Une seule boucle.

Loi des mailles (KVL) :

28 = 6I_L1 + 8I_L1

28 = 14I_L1

I_L1 = 28/14 = 2A

Étape 4 : Répéter pour source courant. Court-circuiter source tension. Circuit restant :

Deux boucles. I₁ et I₂ courants de boucle. Trouver I_L2.

KVL boucle 1 :

0 = 6I₁ + 8I₁ – 8I₂

14I₁ – 8I₂ = 0

Courant boucle 2 = source courant = 28A → I₂ = 28A.

Substitution :

14I₁ – 8(28) = 0

I₁ = 16A

Branche 8Ω commune aux deux boucles → courant résultant I_L2 :

I_L2 = I₁ – I₂ = 16 – 28 = -12A

Étape 5 : Combiner effets par somme algébrique. Courant total I_L dans 8Ω. Direction cruciale. I_L2 négatif = sens opposé pendant source 28A. On ne change pas le sens → somme algébrique.

I_L = I_L1 + I_L2 = 2 + (-12) = -10A

Sens assumé = flèche sur figure. Signe moins = sens opposé. Courant = 10A (valeur absolue).

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Expérience du théorème de superposition

L'expérience suit ces étapes :

Objectif : Déterminer courant dans résistances et vérifier le théorème.

Composants : Source DC, résistances, multimètres DC, fils, plaque d'essai, etc.

Théorie : Superposition trouve courant/tension dans éléments d'un circuit. Utile quand nombre de sources > 1. Réponse = somme algébrique réponses sources individuelles.

D'abord, mesurer courant dans résistances avec toutes sources connectées. Puis, supprimer sources et mesurer pour chaque source individuelle. Enfin, somme des courants sources individuelles = courant mesuré avec toutes sources.

Procédure : Circuit linéaire bilatéral ci-dessous :

Monter tous éléments sur plaque d'essai. Connecter ampèremètre sur chaque résistance. Deux sources tension.

Cas 1 : Mesurer courants avec les deux sources. Courants dans R₁, R₂, R₃ = I₁, I₂, I₃.

Retirer source 12V. Court-circuiter bornes A' et B'. Sources idéales → pas résistance interne. Mesurer I'₁, I'₂, I'₃ dans R₁, R₂, R₃.

Retirer source 9V. Mesurer I''₁, I''₂, I''₃ dans R₁, R₂, R₃.

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Remplir tableau d'observation :

Tableau d'observation

Connexion sources	R₁	R₂	R₃
Les deux sources connectées	I₁	I₂	I₃
Seulement 12V connectée	I'₁	I'₂	I'₃
Seulement 9V connectée	I''₁	I''₂	I''₃

Calcul :

I₁ = I'₁ + I''₁

I₂ = I'₂ + I''₂

I₃ = I'₃ + I''₃

Pour vérifier : comparer somme algébrique courants (sources individuelles) avec courants mesurés (toutes sources). Si égalité → théorème vérifié.

Conclusion : L'expérience prouve que le courant dans une résistance est la somme algébrique des courants avec chaque source individuelle. Théorème de superposition vérifié.

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Applications du théorème de superposition

• Applicable réseaux AC et DC.
• Facilite la réponse du réseau quand nombreuses sources indépendantes.
• Calcule courant et tension par effet individuel de chaque source, puis effet combiné.

Limites du théorème de superposition

• Inapplicable circuit avec seulement source dépendante. Minimum 2 sources indépendantes requis.
• Ne s'applique qu'aux réseaux à éléments linéaires. Exclut diode, transistor, etc. (non-linéaires).
• Ne calcule pas la puissance (carré tension/courant → non-linéaire).
• Inapplicable si résistance varie avec tension/courant. Résistance doit rester constante pour toutes sources.
• Ne s'applique qu'aux éléments bilatéraux. Si réponse dépend du sens du courant → inapplicable.

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