Théorème de Millman : Analyse pas à pas circuits AC & DC avec exemples pratiques

Théorème de Millman pour circuits AC & DC – Exemples résolus étape par étape

Théorème de Millman

Le théorème de Millman s'utilise en analyse de circuits quand le réseau ne comporte que des branches en parallèle. Il permet de calculer la tension aux bornes du circuit. Il ne s'applique qu'aux réseaux parallèles.

Le théorème de Millman combine le théorème de Thévenin et le théorème de Norton. On l'appelle aussi Théorème du générateur parallèle. Proposé par le professeur en génie électrique Jacob Millman, il porte son nom.

Le théorème de Millman stipule que :

On peut déterminer la tension aux bornes des branches parallèles d'un réseau donné. Ce théorème simplifie l'analyse quand plusieurs sources sont connectées comme ci-dessous.

Selon Millman, la tension aux bornes de la charge est :

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Équation mathématique

Le circuit a n sources de tension (E₁, E₂, E₃, …, Eₙ) avec résistances internes R₁, R₂, R₃, …, Rₙ. Selon Millman, tout circuit peut être remplacé par le réseau équivalent ci-dessous :

Il faut trouver la source de tension équivalente (E) et la résistance équivalente (R). Ce circuit ressemble au circuit équivalent de Thévenin. Donc : E = V_TH (tension Thévenin) et R = R_TH (résistance Thévenin).

Pour simplifier, on utilise le circuit équivalent de Norton : transformation de sources. On convertit toutes les sources de tension en sources de courant.

Une résistance interne en série avec une source de tension. Après transformation : source de courant avec résistance interne en parallèle. Le circuit devient :

Selon la loi d'Ohm, les sources de courant valent E₁/R₁, E₂/R₂, E₃/R₃, …, Eₙ/Rₙ. Pour trouver le courant de Norton (I_N), on court-circuite les bornes de charge et on calcule le courant dans cette branche.

Au nœud A₁, le courant se divise en deux : par R₁ et par le court-circuit. Le courant emprunte le chemin de moindre résistance → tout le courant passe par le court-circuit, courant dans R₁ = 0.

Même chose pour toutes les sources aux nœuds A₂, A₃, …, Aₙ. Courant dans toutes les résistances = 0.

Au nœud A₂, le courant venant de A₁ s'ajoute. Au nœud A₃, courant de A₂ s'ajoute. Au nœud Aₙ, courants de tous les nœuds s'additionnent. Courant total = somme de tous les courants = courant de Norton (I_N).

Trouvons maintenant la résistance de Norton. On supprime toutes les sources d'énergie : circuit ouvert pour sources de courant, court-circuit pour sources de tension.

Ici, seulement sources de courant. On les supprime par circuit ouvert. On retire la charge pour calculer la résistance équivalente. Circuit restant :

Toutes les résistances sont en parallèle. Combinaison parallèle = résistance équivalente.

R_eq = R_N = R₁ || R₂ || R₃ … || Rₙ

On place ces valeurs dans le circuit équivalent de Norton :

En convertissant ce circuit Norton en Thévenin, on calcule E et R depuis I_N et R_N.

Selon la loi d'Ohm :

E = I_N × R_N

Forme générale pour n branches :

On a la valeur de la source de tension. La résistance équivalente = résistance de Norton. On obtient le circuit équivalent de Millman (fig-2).

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Étapes pour appliquer le théorème de Millman

Étape 1 : Le théorème ne s'applique qu'aux réseaux avec plusieurs branches parallèles. On suppose un circuit avec branches parallèles contenant une source de tension en série avec sa résistance interne.

Étape 2 : Lister les résistances internes (ou résistances en série) et les sources de tension.

Étape 3 : Trouver la résistance équivalente (R) aux bornes de la charge en court-circuitant les sources de tension.

Étape 4 : Appliquer le théorème de Millman pour trouver la tension (E) aux bornes de la charge. Utiliser l'équation 1. Cette tension est la tension aux bornes de la charge.

Étape 5 : Placer R et E dans le circuit équivalent de Millman (fig-2).

Étape 6 : Appliquer la loi des mailles (KVL) pour trouver le courant traversant la charge.

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Analyse circuit DC avec le théorème de Millman

Exemple #1

Trouver le courant et la tension aux bornes de la charge par le théorème de Millman.

Étape 1 : Les 4 branches sont en parallèle → Millman applicable.

Étape 2 : 3 branches hors charge. 3 tensions, 3 résistances :

E₁ = 12V, R₁ = 2Ω

E₂ = 0V, R₂ = 4Ω

E₃ = 16V, R₃ = 4Ω

Étape 3 : Résistance équivalente. Court-circuiter sources tension, ouvrir charge. Circuit restant :

R_eq = 1Ω

Toutes résistances en parallèle → R_eq = 1Ω.

Étape 4 : Appliquer Millman.

3 branches → n=3.

Substitution des valeurs :

E = 10V

Tension aux bornes de la charge = 10V.

Étape 5 : Circuit équivalent Millman avec ces valeurs.

Étape 6 : Loi d'Ohm.

I_L = 1A

Tension charge = 10V, courant traversant charge = 1A.

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Analyse circuit AC avec le théorème de Millman

Exemple #2

Trouver le courant et la tension aux bornes de la charge par Millman.

Étape 1 : 4 branches parallèles → Millman applicable.

Étape 2 : 3 branches hors charge. Pour simplifier, listons tensions et impédances. En AC, on utilise impédance au lieu de résistance.

Tensions données sous forme polaire. Impédances sous forme rectangulaire. Convertir tensions en forme rectangulaire :

V₁ = 12∠60° = 6 + j10,392

V₂ = 9∠0° = 9 + j0

V₃ = 6∠30° = 5,196 + j3

Impédances (forme rectangulaire) :

Z₁ = 6Ω

Z₂ = j6Ω

Z₃ = -j6Ω

Étape 3 : Impédance équivalente. Court-circuiter sources tension. Circuit restant :

Toutes impédances en parallèle → impédance équivalente :

Z_eq = 6Ω

Étape 4 : Appliquer Millman.

3 branches → n=3.

V = 6 + j10,392 – j9 + j5,196 – 3

V = 3 + j6,588

Valeur efficace (RMS) :

V = 7,23V

Étape 5 : Circuit équivalent Millman.

Étape 6 : Loi d'Ohm.

I_L = 0,9A

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Limites du théorème de Millman

• Ne s'applique pas aux circuits avec source dépendante entre sources indépendantes.
• Inutile pour circuits avec moins de deux sources indépendantes.
• Ne s'applique pas aux circuits à éléments uniquement série.
• Inapplicable si un élément est connecté entre la source et le nœud commun.

Applications du théorème de Millman

• Très utile pour trouver tension et courant d'impédance de charge avec nombreuses branches parallèles et sources de tension.
• Calcul simple, peu d'équations requises.
• Résout circuits complexes avec éléments complexes (ex: amplificateurs opérationnels).

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