Analyse des mailles expliquée : procédure, exemples et applications

En électronique, analyser précisément circuits — surtout complexes avec sources tension et courant multiples — nécessite plus que lois Kirchhoff. Analyse des mailles (boucles) et son extension, supermailles, fournissent méthode systématique déterminer courants et tensions avec nombre minimal d'équations.

Qu'est-ce que l'analyse des mailles ?

L'analyse des mailles se concentre sur boucles indépendantes (mailles) ne contenant aucune autre boucle à l'intérieur. En assignant courant de maille à chaque boucle, on écrit loi des mailles de Kirchhoff (KVL) pour chaque maille et résout courants inconnus. Une fois courants mailles connus, courants branches et tensions suivent directement via loi d'Ohm.

Concepts clés

• Courant de maille : Courant fictif circulant autour d'une maille unique, horaire ou anti-horaire.
• Boucles ne contenant qu'un élément rendent courant maille égal à courant de cet élément.
• Quand deux mailles partagent branche, courant branche égale somme algébrique (ou différence) des deux courants mailles, selon leurs directions.

Procédure pas-à-pas

1. Identifier mailles et assigner courant maille à chacune, direction cohérente (généralement horaire).
2. Déterminer courant traversant chaque élément en fonction courants mailles.
3. Appliquer KVL autour chaque maille pour écrire une équation par maille, combinant chutes tension (V = I·R) et tensions sources.
4. Résoudre système linéaire résultant pour courants mailles.
5. Utiliser courants mailles pour calculer courants branches et tensions éléments.

Mise en place équations mailles

Chaque équation maille représente somme chutes tension autour boucle, égale à zéro :

∑V_chute = 0

Pour résistance R dans maille portant courant I, chute = I·R. Si source tension V_s dans maille, son signe dépend direction maille supposée : ajouter si parcours négatif vers positif, soustraire sinon.

Exemple illustratif

Considérez circuit deux mailles ci-dessous. Courants mailles I1 et I2 circulent horaire.

Appliquant KVL donne :

R2(I1 – I2) + R1·I1 = V1
R2(I2 – I1) + R1·I2 = –V2

Réarrangeant :

I1(R1 + R2) – I2·R2 = V1
–I1·R2 + I2(R1 + R2) = –V2

Résolvant donne I1 et I2 ; ensuite tout courant branche et tension calculable.

Résolution circuit trois mailles

Circuit suivant implique trois mailles et plusieurs résistances :

Équations mailles :

V1 – R2(I1 – I3) – R4(I1 – I2) = 0
–Vc – R4(I2 – I1) – R3(I2 – I3) = 0
–R1(I3) – R3(I3 – I2) – R2(I3 – I1) = 0

Avec I2 = –2 A (du circuit), résolution première et troisième équations donne I1 ≈ 4,46 A et I3 ≈ –0,615 A. Conséquemment, Vc ≈ 28,61 V et courant branche I_ac = I1 – I3 ≈ 5,075 A.

Analyse supermailles

Quand source courant se trouve entre deux mailles, les deux mailles fusionnent en supermaille unique, éliminant source courant des équations. Équation supermaille obtenue appliquant KVL autour boucle combinée, et équation contrainte additionnelle relie courants mailles à valeur source.

Exemple : Pour circuit ci-dessous, équations supermailles :

10i1 + 80(i1 – i2) + 30(i1 – i3) = 80
30 = 40i3 + 30(i3 – i1) + 20(i2 – i1)
15i_x = i3 – i2

Résolution donne i1 ≈ 0,58 A, i2 ≈ –6,16 A, i3 ≈ 2,6 A, et V3 = i3·R3 ≈ 104 V.

Pourquoi utiliser analyse mailles ?

• Efficace circuits plans nombreux éléments.
• Réduit nombre inconnus vs analyse nodale.
• Idéal circuits sources tension et résistances.
• Facilite analyse ponts Wheatstone déséquilibrés et topologies complexes.

Maîtriser analyse mailles et supermailles équipe ingénieurs résoudre même circuits les plus complexes avec confiance et précision.