Maîtriser l'analyse par courants de maille : guide complet

La Méthode des Courants de Maille, aussi appelée Méthode des Courants de Boucle, est une pierre angulaire de l'analyse de circuits. Elle utilise la loi des tensions de Kirchhoff (LTK) et la loi d'Ohm pour résoudre les courants inconnus avec moins de variables que la méthode des courants de branche, rendant les calculs manuels plus simples et plus rapides.

Courant de maille, méthode conventionnelle

Voici le circuit exemple que nous allons analyser :

Identifier les boucles

Étape une : marquer toutes les boucles indépendantes qui enclosent chaque composant. Dans cet exemple, la boucle 1 inclut B1, R1, et R2 ; la boucle 2 inclut B2, R2, et R3. Assignez des directions arbitraires aux courants de maille (I1, I2). Choisir la même direction pour les courants qui partagent une résistance — ex: I1 et I2 circulant tous deux « vers le haut » à travers R2 — simplifie l'algèbre.

Étiqueter les polarités de chute de tension

Ensuite, marquez la polarité de la chute de tension de chaque résistance relative aux courants de maille supposés. Le côté amont d'une résistance est négatif, le côté aval positif. Les polarités des batteries suivent leurs symboles ; elles peuvent s'aligner ou s'opposer à la direction de courant supposée.

Parcours de la boucle gauche avec LTK

En parcourant la boucle 1 dans le sens anti-horaire et en appliquant la LTK, on obtient :

Puisque R2 porte la somme de I1 et I2, le terme du milieu est 2(I1+I2). En simplifiant :

Parcours de la boucle droite avec LTK

En appliquant la même procédure à la boucle 2 :

En simplifiant :

Résolution des inconnues

Avec deux équations linéaires, on peut résoudre I1 et I2 par toute méthode standard (substitution, élimination, inversion matricielle). Une forme commode est :

Interprétation des résultats

Redessinez le circuit avec les courants de maille résolus pour déterminer les courants de branche. Un I2 négatif indique que la direction supposée était opposée à la réalité ; ainsi le courant réel circule dans le sens anti-horaire à 1 A.

Le réétiquetage donne les courants de branche suivants :

• R1 : 5 A, chute de tension 20 V (positif gauche, négatif droite)
• R3 : 1 A, chute de tension 1 V
• R2 : I1 bas (5 A) et I2 haut (1 A) → net 4 A bas ; chute de tension 8 V

Avantages de l'analyse par courants de maille

L'analyse par mailles réduit le nombre d'inconnues et d'équations simultanées, surtout dans les réseaux plus grands. Pour le réseau étendu ci-dessous, la méthode des courants de branche nécessiterait cinq inconnues et cinq équations, alors que courants de maille n'en demande que trois.

Pont de Wheatstone déséquilibré

L'analyse par mailles excelle dans les circuits qui ne peuvent être réduits par simplification série-parallèle, comme le pont de Wheatstone déséquilibré :

En utilisant les courants de maille, on introduit trois boucles : I1, I2, et I3 (cette dernière traverse le côté batterie). Les équations LTK résultantes sont :

Et une troisième équation pour inclure la source :

Résolution du pont

En utilisant un solveur matriciel (ex: Octave), les courants sont :

 octave:1> A = [300,100,150;100,650,-300;-150,300,-450] octave:2> b = [0;0;-24] octave:3> x = A\b x = -0.093793 0.077241 0.136092 

Un I1 négatif indique que la direction choisie était fausse ; les vrais courants sont :

Les chutes de tension découlent de la loi d'Ohm :

Une simulation SPICE confirme les résultats analytiques :

Récapitulatif des étapes des courants de maille

• Dessinez assez de courants de maille pour couvrir tous les composants.
• Assignez des directions arbitraires et étiquetez les polarités des résistances.
• Écrivez les équations LTK pour chaque boucle, remplaçant chaque tension de résistance par IR. Pour les résistances partagées, utilisez la somme ou différence algébrique des courants de maille.
• Résolvez les équations simultanées pour les courants de maille.
• Toute solution négative révèle une direction supposée incorrecte.
• Combinez les courants de maille pour trouver les courants de branche.
• Calculez toutes les chutes de tension via E = IR.

Courants de maille par inspection

Quand tous les courants de maille circulent dans le sens horaire (la direction conventionnelle), les signes des coefficients suivent un motif prévisible, permettant des équations rapides « par inspection » :

+(somme résistances boucle-1)·I1 – (R commun 1-2)·I2 – (R commun 1-3)·I3 = E1

–(R commun 1-2)·I1 + (somme résistances boucle-2)·I2 – (R commun 2-3)·I3 = E2

–(R commun 1-3)·I1 – (R commun 2-3)·I2 + (somme résistances boucle-3)·I3 = E3

Le côté droit égale la source de tension vue par la boucle horaire supposée (positif si la boucle s'aligne avec la source, négatif sinon). La résolution donne les mêmes courants que la méthode systématique.

Pour un exemple à deux boucles : résistance boucle-1 6 Ω, boucle-2 3 Ω, commun 2 Ω, avec source 28 V en boucle 1 et 7 V en boucle 2. Les courants résultants sont I1 = 5 A, I2 = 1 A, tous deux horaires.

Conclusion

L'analyse par courants de maille est une technique puissante et efficace qui réduit la complexité, surtout dans les réseaux multi-boucles et déséquilibrés. En suivant les étapes décrites, vous pouvez résoudre fiablement les courants et tensions avec confiance.

Fiche d'exercices associée

• Fiche d'exercices : Analyse par courants de maille CC