Méthode des courants de branche : guide étape par étape pour résoudre les réseaux de circuits

La méthode des courants de branche est la technique la plus directe pour analyser les réseaux électriques linéaires. En assignant des directions aux courants qui circulent dans chaque branche et en appliquant les lois de Kirchhoff, on peut formuler un système d'équations simultanées qui fournit chaque courant et, par conséquent, chaque chute de tension dans le circuit.

Résolution par la méthode des courants de branche

Ci-dessous un exemple pratique qui parcourt tout le processus.

Choix d'un nœud

La première étape est de sélectionner un nœud de référence — la jonction où le côté droit de R₁, le haut de R₂, et le côté gauche de R₃ se rencontrent. Ce nœud servira d'ancre pour toutes les équations subséquentes.

À ce nœud, on assigne provisoirement des directions aux trois courants de branche, les étiquetant I₁, I₂, et I₃. Ces directions sont spéculatives ; toute hypothèse incorrecte se révèlera par une valeur négative dans la solution finale.

Appliquer la loi des courants de Kirchhoff (LCK)

La LCK stipule que la somme algébrique des courants entrant et sortant d'un nœud doit être zéro. Pour notre nœud choisi, on considère les courants entrants comme positifs et sortants comme négatifs :

Étiqueter toutes les chutes de tension

Ensuite, on assigne les polarités de chute de tension à travers chaque résistance basées sur les directions de courant supposées. La polarité positive est où le courant entre dans la résistance ; la polarité négative est où il en sort :

Les polarités des batteries restent comme indiquées par leurs symboles (court négatif, long positif). Il est acceptable qu'une polarité de tension de résistance diffère de celle d'une batterie proche — tant que la polarité de la résistance reflète la direction de courant supposée. Des suppositions de courant incorrectes surgiront comme solutions négatives, mais les magnitudes resteront correctes.

Appliquer la loi des tensions de Kirchhoff (LTK)

La LTK exige que la somme algébrique de tous les changements de tension autour de toute boucle fermée soit zéro. On trace la boucle gauche dans le sens anti-horaire, en partant du coin supérieur gauche :

La somme des contributions de tension donne l'équation LTK pour la boucle gauche :

Puisque les tensions aux bornes des résistances sont inconnues à ce stade, on les exprime comme le produit des courants correspondants et des résistances (loi d'Ohm, E = IR). En substituant les valeurs de résistance connues, l'équation se simplifie :

On effectue la même procédure pour la boucle droite, obtenant une seconde équation LTK :

En exprimant chaque tension de résistance comme le produit du courant et de la résistance, on obtient :

Résolution des inconnues

Nous avons maintenant trois équations — une LCK et deux LTK — impliquant les trois courants inconnus I₁, I₂, et I₃ :

Réorganiser les équations pour isoler les constantes du côté droit facilite la résolution :

La résolution de ce système donne :

Ainsi, I₁ = 5 A, I₂ = 4 A, et I₃ = –1 A. La valeur négative indique que la direction réelle de I₃ est opposée à notre hypothèse initiale. On peut corriger le diagramme en conséquence :

Redessiner le circuit

Le diagramme mis à jour montre le courant circulant contre l'orientation de la seconde batterie car la tension plus élevée de la première batterie force les électrons en arrière à travers cette branche. Ce résultat démontre qu'une batterie plus forte ne domine pas toujours ; les tensions relatives et les valeurs de résistance déterminent conjointement les directions finales de courant.

Calculer la chute de tension à travers toutes les résistances

Avec les magnitudes de courant connues, on calcule la chute de tension de chaque résistance en utilisant la loi d'Ohm :

Analyser le réseau avec SPICE

Pour confirmer nos résultats analytiques, on simule le circuit dans SPICE. Le netlist suivant démontre la configuration :

 exemple analyse réseau v1 1 0 v2 3 0 dc 7 r1 1 2 4 r2 2 0 2 r3 2 3 1 .dc v1 28 28 1 .print dc v(1,2) v(2,0) v(2,3) .end v1 v(1,2) v(2) v(2,3) 2.800E+01 2.000E+01 8.000E+00 1.000E+00 

La sortie SPICE confirme les chutes de tension : 20 V aux bornes de R₁, 8 V aux bornes de R₂, et 1 V aux bornes de R₃. Toutes les valeurs sont positives, indiquant que la numérotation des nœuds correspond aux polarités dérivées analytiquement.

RÉCAPITULATIF :

• Choisissez un nœud et supposez les directions des courants de branche.
• Écrivez une équation LCK pour ce nœud.
• Assignez les polarités de chute de tension des résistances basées sur les courants supposés.
• Écrivez des équations LTK pour chaque boucle indépendante, remplaçant les tensions de résistance par IR.
• Résolvez le système d'équations simultanées résultant pour les courants inconnus.
• Si une solution de courant est négative, la direction supposée était incorrecte ; inversez la flèche et recalculez la polarité.
• Calculez toutes les chutes de tension des résistances via E = IR.

FICHE D'EXERCICES ASSOCIÉE :

• Fiche d'exercices : Analyse de courant de branche CC