Dérivation des fonctions exponentielles de base e

Exemples de dérivées de e

Constante de proportionnalité

Quand on dit qu'une relation est « exponentielle », on veut dire que le taux de variation d'une quantité croît proportionnellement à la quantité elle-même. Par conséquent, la dérivée d'une fonction exponentielle égale la fonction originale multipliée par une constante (k) représentant cette proportionnalité.

$$\frac{d}{dx}a^x = k a^x$$

La constante de proportionnalité est simplement le logarithme népérien de la base :

$$\frac{d}{dx}a^x = \ln(a)\times a^x$$

Quand la base est le nombre naturel e, ln(e) = 1, donc la dérivée de eˣ est eˣ elle-même :

$$\frac{d}{dx}e^x = e^x$$

La règle de la chaîne

Si l'exposant est une expression plus complexe, on applique la règle de la chaîne : on dérive l'exponentielle extérieure et on multiplie par la dérivée de la fonction intérieure.

$$\frac{d}{dx}e^{x^2+2x} = e^{x^2+2x}\times\frac{d}{dx}(x^2+2x) = (2x+2)e^{x^2+2x}$$

Cette technique est utile pour évaluer la sensibilité du courant d'une diode à la tension. L'équation de Shockley donne une relation approximative entre la tension aux bornes d'une diode (V_D) et le courant qui la traverse (I_D) :

$$I_D = I_S \times e^{\frac{V_D}{0.026}}$$

(Consultez la page « Diodes et redresseurs » pour plus de détails ; notez que I_S est une constante, pas une variable.) Pour trouver comment le courant varie avec la tension, on dérive :

$$\frac{dI_D}{dV_D} = \frac{d}{dV_D}\bigl(I_S \times e^{\frac{V_D}{0.026}}\bigr) = I_S \times e^{\frac{V_D}{0.026}} \times \frac{1}{0.026}$$

Ainsi, pour une V_D donnée, une augmentation infinitésimale de tension augmente le courant de (I_S/0.026) e^{V_D/0.026}.

FEUILLES DE TRAVAIL CONNEXES :

• Feuille de travail : Calcul pour circuits électriques