Calcul de la tension et du courant dans les circuits CC réactifs

Vous pouvez déterminer précisément comment la tension et le courant évoluent dans le temps dans tout circuit CC réactif.

Calcul des valeurs dans un circuit CC réactif

Commencez par établir les valeurs initiale et finale de la grandeur que le composant réactif résiste à changer — tension pour les condensateurs et courant pour les inductances. Quand un interrupteur bascule, le composant maintiendra cette grandeur près de son niveau pré-transition, qui sert de point de départ.

La valeur finale est ce vers quoi la grandeur se stabilise après une durée infinie. Pour les condensateurs, modélisez le circuit avec le condensateur comme circuit ouvert ; pour les inductances, traitez l'inductance comme un court-circuit. Ces représentations révèlent la tension ou le courant d'état stable.

Ensuite, calculez la constante de temps du circuit, la période sur laquelle la grandeur se déplace d'environ 63 % de sa valeur de départ vers sa valeur finale pendant un transitoire. Dans un circuit RC série, τ = R × C. Pour un circuit série L/R, τ = L / R. La constante de temps se mesure en secondes et est notée par la lettre grecque τ (tau).

La tension et le courant dans une réponse transitoire suivent des courbes exponentielles qui approchent asymptotiquement leurs valeurs finales. Après un τ, la grandeur s'est déplacée d'environ 63 % vers son but. Le pourcentage exact est donné par :

En utilisant la constante d'Euler e (≈ 2,71828), le pourcentage de changement après n τ est :

Après deux τ :

Après dix τ :

Au fur et à mesure que le temps augmente, la fraction dans le terme exponentiel rétrécit, faisant tendre l'expression globale vers 1 (100 %).

Formule universelle de la constante de temps

Pour un calcul concis, multipliez le terme exponentiel par la différence entre les valeurs finale et initiale :

Appliquons ceci au circuit RC série montré plus tôt.

Puisqu'un condensateur résiste au changement de tension, nous analysons la tension directement. La résistance est de 10 kΩ et le condensateur 100 µF, donnant τ = 10 kΩ × 100 µF = 1 s.

En supposant que le condensateur commence déchargé (0 V) et que la batterie fournit 15 V, la formule universelle devient :

Après 7,25 s, la montée de tension est :

Ainsi le condensateur atteint 14,989 V à 7,25 s.

La même expression donne le courant. Avec un condensateur fraîchement déchargé agissant comme un court-circuit, le courant initial est 15 V / 10 kΩ = 1,5 mA. Le courant final est zéro une fois que le condensateur se comporte comme un circuit ouvert.

L'application de la formule donne un changement de –1,4989 mA, donc le courant à 7,25 s est 1,065 µA.

Alternativement, soustrayez la tension du condensateur de la tension de la batterie, puis appliquez la loi d'Ohm : I = (15 V – 14,989 V) / 10 kΩ = 1,065 µA — confirmant le résultat.

Utilisation de la formule universelle pour les circuits inductifs

La même approche fonctionne pour les circuits RL. Considérez l'exemple de circuit L/R avec L = 1 H et R = 1 Ω ; τ = L / R = 1 s.

Ici l'élément réactif s'oppose au changement de courant. En partant avec l'interrupteur ouvert, le courant est zéro. Après longtemps, le courant d'état stable est V / R = 15 A.

Pour trouver le courant à 3,5 s, utilisez la formule universelle :

Puisque le courant initial est zéro, le courant à 3,5 s est 14,547 A.

La tension aux bornes de l'inductance s'obtient en soustrayant la chute de la résistance de l'alimentation. Avec une seule résistance de 1 Ω, la chute est 14,547 V, laissant 0,453 V aux bornes de l'inductance à 3,5 s.

Récapitulatif

• Formule universelle de la constante de temps : ΔQ = (Q_final – Q_initial) · (1 – e^(–t/τ))
• Étapes pour analyse RC ou RL :
• 1. Calculez τ (RC ou L/R).
• 2. Identifiez la grandeur réactive (tension pour condensateurs, courant pour inductances).
• 3. Déterminez les valeurs initiale et finale.
• 4. Insérez les valeurs dans la formule universelle et résolvez pour le changement.
• 5. Si la valeur initiale est zéro, le changement calculé égale la grandeur au temps t ; sinon, ajoutez le changement à la valeur initiale.

Fiches d'exercices associées

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