Maîtriser les équations simultanées : guide pas à pas des méthodes de substitution et d'addition

Que sont les équations simultanées et les systèmes d'équations ?

Les termes équations simultanées et systèmes d'équations désignent des situations où deux ou plusieurs variables inconnues sont reliées entre elles par un nombre égal d'équations.

Exemple :

Pour cet ensemble d'équations, il n'existe qu'une seule combinaison de valeurs pour x et y qui satisfait les deux équations.

Chaque équation, prise séparément, a une infinité de solutions valides (x,y), mais ensemble il n'y en a qu'une. Sur un graphique, cette condition devient évidente :

Chaque droite est en fait un continu de points représentant les paires de solutions (x,y) possibles pour chaque équation. Il n'y a qu'un seul point où les deux fonctions linéaires x + y = 24 et 2x - y = -6 se croisent, et c'est là que x vaut 6 et y vaut 18.

Habituellement, le graphique n'est pas une méthode très efficace pour déterminer l'ensemble des solutions simultanées. C'est particulièrement impraticable pour les systèmes de trois variables ou plus.

Dans un système à trois variables, la solution serait trouvée au point d'intersection de trois plans dans un espace de coordonnées tridimensionnel — un scénario difficile à visualiser.

Résolution par la méthode de substitution

Plusieurs techniques algébriques existent pour résoudre les équations simultanées. La méthode de substitution est peut-être la plus facile à comprendre.

Reprenons notre exemple à deux variables :

Dans la méthode de substitution, on manipule l'une des équations pour exprimer une variable en fonction de l'autre :

Puis on prend cette nouvelle définition d'une variable et on la substitue à la même variable dans l'autre équation. Ici, on substitue y = 24 - x dans l'autre équation :

On obtient une équation à une seule inconnue (x), qu'on résout par des techniques algébriques standards :

Maintenant que x est connu, on peut remplacer cette valeur dans l'une des équations originales pour obtenir y. Pour gagner du temps, on utilise l'équation qui définit déjà y en fonction de x :

L'application de la méthode de substitution aux systèmes de trois variables ou plus suit un schéma similaire, mais demande plus de travail. C'est généralement vrai pour toute méthode : le nombre d'étapes augmente rapidement avec chaque variable supplémentaire.

Pour résoudre trois inconnues, il faut au moins trois équations. Considérons cet exemple :

La première équation ayant les coefficients les plus simples (1, -1, 1 pour x, y, z), on l'utilise pour exprimer une variable en fonction des deux autres. On isole x :

On substitue cette définition de x dans les deux autres équations :

En simplifiant ces deux équations :

On a réduit le système de trois variables en trois équations à deux variables en deux équations. On applique à nouveau la substitution aux équations 4y - z = 4 et -3y + 4z = 36. On isole z dans la première :

On substitue cette expression de z dans l'autre équation :

Maintenant que y est connu, on le replace dans l'équation définissant z :

Enfin, avec y et z connus, on trouve x :

En conclusion, on a trouvé x = 2, y = 4, z = 12, qui satisfont les trois équations.

Résolution par la méthode d'addition (élimination)

Si la substitution est la plus facile à comprendre conceptuellement, d'autres méthodes existent. La méthode d'addition consiste à additionner les équations pour annuler des termes variables.

Reprenons notre système à deux variables :

Une règle fondamentale de l'algèbre : on peut effectuer toute opération arithmétique sur une équation tant qu'on l'applique également des deux côtés. Pour l'addition, cela signifie qu'on peut ajouter la même quantité des deux côtés sans altérer la vérité de l'équation.

On peut donc additionner les côtés correspondants des équations pour former une nouvelle équation. Comme chaque équation exprime une égalité, ajouter les membres de gauche ensemble et les membres de droite ensemble est valide.

Dans notre exemple, on ajoute x + y à 2x - y, et 24 à -6 :

Le terme y positif de la première équation et le terme y négatif de la seconde s'annulent, ne laissant qu'une équation en x seul. On résout facilement :

Une fois x connu, déterminer y est une simple substitution dans l'une des équations originales.

Mais que faire si l'addition directe ne fait pas annuler de variable ? Considérons ce système :

L'addition directe donne encore deux inconnues :

Mais si on multiplie la seconde équation par -2 pour obtenir un terme -2y qui annulera le 2y de la première ?

On additionne alors cette nouvelle équation à la première :

On obtient x = 3 :

Puis on substitue pour trouver y :

Sur un système à trois variables, la méthode d'addition est plus complexe. Comme pour la substitution, on l'utilise pour réduire le système à deux équations à deux variables, puis à une équation à une inconnue.

Reprenons le système à trois variables :

La première équation ayant des coefficients 1 pour chaque variable, elle est facile à manipuler. Pour annuler le 3x de la seconde équation, on multiplie la première par -3 et on l'ajoute à la seconde :

Pour annuler le -5x de la troisième, on multiplie la première par 5 et on l'ajoute à la troisième :

On obtient deux équations en y et z :

On voit que le terme -z de la première peut annuler le 4z de la seconde si on multiplie la première par 4 :

On résout 13y = 52 → y = 4. En substituant dans l'une des équations à deux variables, on trouve z. Enfin, avec y et z, on trouve x = 2 dans l'une des équations originales.

Le résultat final est x = 2, y = 4, z = 12.

FEUILLES DE TRAVAIL CONNEXES :

• Feuille de travail : Équations simultanées pour l'analyse de circuits