Maîtriser la méthode des tensions de nœud pour une analyse de circuit précise

La méthode des tensions de nœud résout les tensions inconnues aux nœuds de circuit en termes d'un système d'équations LCK. Cette analyse semble étrange car elle implique de remplacer les sources de tension par des sources de courant équivalentes. Aussi, les valeurs de résistance en ohms sont remplacées par des conductances équivalentes en siemens, G = 1/R. Le siemens (S) est l'unité de conductance, ayant remplacé l'unité mho. En tout cas S = Ω^-1. Et S = mho (obsolète).

Méthode pour le calcul des tensions de nœud

On commence avec un circuit ayant des sources de tension conventionnelles. Un nœud commun E₀ est choisi comme point de référence. Les tensions de nœud E₁ et E₂ sont calculées par rapport à ce point.

Le remplacement des sources de tension et résistances série associées par des sources de courant équivalentes et résistances parallèles donne le circuit modifié. Substituez les conductances de résistance en siemens pour la résistance en ohms.

 I1 = E1/R1 = 10/2 = 5 A
 I2 = E2/R5 = 4/1 = 4 A
 G1 = 1/R1 = 1/2 Ω = 0,5 S
 G2 = 1/R2 = 1/4 Ω = 0,25 S
 G3 = 1/R3 = 1/2,5 Ω = 0,4 S
 G4 = 1/R4 = 1/5 Ω = 0,2 S
 G5 = 1/R5 = 1/1 Ω = 1,0 S

Les conductances parallèles (résistances) peuvent être combinées par addition des conductances. Bien que nous ne redessinions pas le circuit. Le circuit est prêt pour l'application de la méthode des tensions de nœud.

 GA = G1 + G2 = 0,5 S + 0,25 S = 0,75 S
 GB = G4 + G5 = 0,2 S + 1 S = 1,2 S

En dérivant une méthode générale des tensions de nœud, on écrit un couple d'équations LCK en termes de tensions de nœud inconnues V₁ et V₂ cette fois unique. On fait cela pour illustrer un motif pour écrire les équations par inspection.

 GAE1 + G3(E1 - E2) = I1 (1)
 GBE2 - G3(E1 - E2) = I2 (2)
 (GA + G3 )E1 -G3E2 = I1 (1)
 -G3E1 + (GB + G3)E2 = I2 (2)

Les coefficients du dernier couple d'équations ci-dessus ont été réarrangés pour montrer un motif. La somme des conductances connectées au premier nœud est le coefficient positif de la première tension dans l'équation (1). La somme des conductances connectées au second nœud est le coefficient positif de la seconde tension dans l'équation (2). Les autres coefficients sont négatifs, représentant les conductances entre nœuds. Pour les deux équations, le second membre est égal à la source de courant respective connectée au nœud. Ce motif nous permet d'écrire rapidement les équations par inspection. Cela mène à un ensemble de règles pour la méthode des tensions de nœud d'analyse.

Règles de la méthode des tensions de nœud :

• Convertir les sources de tension en série avec une résistance en source de courant équivalente avec la résistance en parallèle.
• Changer les valeurs de résistance en conductances.
• Sélectionner un nœud de référence(E₀)
• Assigner les tensions inconnues (E₁)(E₂) ... (E_N)aux nœuds restants.
• Écrire une équation LCK pour chaque nœud 1,2, ... N. Le coefficient positif de la première tension dans la première équation est la somme des conductances connectées au nœud. Le coefficient pour la seconde tension dans la seconde équation est la somme des conductances connectées à ce nœud. Répéter pour le coefficient de la troisième tension, troisième équation, et autres équations. Ces coefficients tombent sur une diagonale.
• Tous les autres coefficients pour toutes les équations sont négatifs, représentant les conductances entre nœuds. La première équation, le second coefficient est la conductance du nœud 1 au nœud 2, le troisième coefficient est la conductance du nœud 1 au nœud 3. Remplir les coefficients négatifs pour les autres équations.
• Le second membre des équations est la source de courant connectée aux nœuds respectifs.
• Résoudre le système d'équations pour les tensions de nœud inconnues.

Exemple de la méthode des tensions de nœud

Exemple : Mettre en place les équations et résoudre pour les tensions de nœud en utilisant les valeurs numériques de la figure ci-dessus.

Solution :

 (0,5+0,25+0,4)E1 -(0,4)E2= 5
 -(0,4)E1 +(0,4+0,2+1,0)E2 = -4
 (1,15)E1 -(0,4)E2= 5
 -(0,4)E1 +(1,6)E2 = -4
 E1 = 3,8095
 E2 = -1,5476

La solution de deux équations peut être effectuée avec une calculatrice, ou avec octave (non montré). La solution est vérifiée avec SPICE basé sur le schéma original avec sources de tension. Bien que le circuit avec les sources de courant aurait pu être simulé.

 V1 11 0 DC 10
 V2 22 0 DC -4
 r1 11 1 2
 r2 1 0 4
 r3 1 2 2.5
 r4 2 0 5
 r5 2 22 1
 .DC V1 10 10 1 V2 -4 -4 1
 .print DC V(1) V(2)
 .end

 v(1) v(2)
 3.809524e+00 -1.547619e+00

Un exemple de plus. Celui-ci a trois nœuds. Nous ne listons pas les conductances sur le diagramme schématique. Cependant, G₁ = 1/R₁, etc.

Il y a trois nœuds pour écrire les équations par inspection. Notez que les coefficients sont positifs pour l'équation (1) E₁, équation (2) E₂, et équation (3) E₃. Ce sont les sommes de toutes les conductances connectées aux nœuds. Tous les autres coefficients sont négatifs, représentant une conductance entre nœuds. Le second membre des équations est la source de courant associée, 0,136092 A pour la seule source de courant au nœud 1. Les autres équations sont zéro au second membre par manque de sources de courant. Nous sommes trop paresseux pour calculer les conductances pour les résistances sur le diagramme. Ainsi, les G indicés sont les coefficients.

 (G1 + G2)E1 -G1E2 -G2E3 = 0.136092
 -G1E1 +(G1 + G3 + G4)E2 -G3E3 = 0
 -G2E1 -G3E2 +(G2 + G3 + G5)E3 = 0

Nous sommes si paresseux que nous entrons les résistances réciproques et sommes de résistances réciproques dans la matrice « A » d'octave, laissant octave calculer la matrice de conductances après « A= ». La ligne d'entrée initiale était si longue qu'elle a été divisée en trois lignes. C'est différent des exemples précédents. La matrice « A » entrée est délimitée par des crochets de début et fin. Les éléments de colonne sont séparés par des espaces. Les lignes sont séparées par « nouvelle ligne ». Virgules et points-virgules ne sont pas nécessaires comme séparateurs. Bien que le vecteur de courant à « b » soit séparé par points-virgules pour produire un vecteur colonne de courants.

octave:12> A = [1/150+1/50 -1/150 -1/50
> -1/150 1/150+1/100+1/300 -1/100
> -1/50 -1/100 1/50+1/100+1/250]
A =
0.0266667 -0.0066667 -0.0200000
-0.0066667 0.0200000 -0.0100000
-0.0200000 -0.0100000 0.0340000

octave:13> b = [0.136092;0;0]
b =
0.13609
0.00000
0.00000

octave:14> x=A\b
x =
24.000
17.655
19.310

Notez que les coefficients diagonaux de la matrice « A » sont positifs, que tous les autres coefficients sont négatifs.

La solution comme vecteur de tension est à « x ». E₁ = 24,000 V, E₂ = 17,655 V, E₃ = 19,310 V. Ces trois tensions se comparent aux solutions précédentes par courants de maille et SPICE pour le problème du pont déséquilibré. Ce n'est pas une coïncidence, car la source de courant 0,13609 A a été choisie exprès pour produire les 24 V utilisés comme source de tension dans ce problème.

Résumé

• Donné un réseau de conductances et sources de courant, la méthode des tensions de nœud résout les tensions de nœud inconnues à partir d'équations LCK.
• Voir les règles ci-dessus pour les détails dans l'écriture des équations par inspection.
• L'unité de conductance G est le siemens S. La conductance est l'inverse de la résistance : G = 1/R

FICHES D'EXERCICES ASSOCIÉES :

• Fiche d'exercices : Circuits de diodes précises
•  Fiche d'exercices : Lois de Kirchhoff