Théorème de compensation en analyse de circuits : démonstration, explication et exemples

Démonstration, explication, expérience et exemples résolus du théorème de compensation pour l'analyse de circuits

Théorème de compensation

En théorie des réseaux, il est parfois crucial de connaître l'effet d'une variation d'impédance dans une branche. Cela affecte les tensions et courants correspondants du réseau. Le théorème de compensation fournit l'information sur cette variation.

Le théorème repose sur le concept de base de la loi d'Ohm. Selon cette loi, lorsqu'un courant traverse une résistance, une chute de tension se produit aux bornes de celle-ci. Cette chute de tension s'oppose à la tension de la source.

On connecte donc une source de tension supplémentaire de polarité opposée à la source principale et d'amplitude égale à la chute de tension. Le théorème de compensation s'appuie sur ce principe.

Le théorème de compensation stipule que :

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Explication du théorème de compensation

Pour comprendre, considérons la figure ci-dessous.

La source de tension V est indépendante. Les impédances Z₁ et Z₂ sont linéaires/bilatérales. Le théorème s'applique. Le courant dans la boucle est I.

Supposons que Z₂ augmente de ΔZ. Le courant devient I'. Le nouveau circuit :

La variation de courant ΔI = I – I'.

Selon le théorème, on peut calculer ΔI directement en modifiant le circuit :

1. Ajouter une source de tension de valeur I·ΔZ dans la branche dont l'impédance a changé. Polarité opposée à la source principale. Cette nouvelle source V_C est la source de compensation.
   V_C = I·ΔZ
2. Supprimer l'ancienne source de tension par son impédance interne. Pour source idéale, court-circuiter ses bornes.

Le circuit résultant :

En résolvant ce circuit, on trouve ΔI, la variation de courant due au changement d'impédance.

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Démonstration du théorème de compensation

Considérons le circuit de la figure 1. Calculons le courant I dans la boucle.

Loi des mailles (KVL) figure 1 :

On a supposé Z₂ changé de ΔZ. Circuit modifié (figure 2). Calculons I' :

KVL figure 2 :

Variation de courant ΔI = I – I'.

Considérons maintenant le circuit compensé :

Source originale court-circuitée (source idéale). Cherchons le courant I'' dans cette boucle et comparons à ΔI.

KVL sur le circuit compensé :

V_C = Z₁·I'' + (Z₂ + ΔZ)·I''

V_C = I'' (Z₁ + Z₂ + ΔZ)

I'' = V_C / (Z₁ + Z₂ + ΔZ)

I'' = ΔI

Donc le courant calculé par le théorème de compensation (I'') est égal à la variation réelle de courant (ΔI). Le théorème est démontré.

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Expérience du théorème de compensation

Objectif : Prouver le théorème et trouver la variation de courant.

Matériel : Voltmètre, ampèremètre, résistances, fils, plaque d'essai.

Schéma de circuit :

Procédure :

1. Monter le circuit figure 5 sur plaque d'essai.
2. Mesurer courant I.
3. Monter figure 6 (résistance ajoutée).
4. Mesurer courant I₁.
5. Calculer ΔI = I – I₁.
6. Monter figure 7 (circuit de compensation).
7. Mesurer courant I''.
8. Comparer ΔI et I''.

Tableau de l'expérience :

N°	I	I1	ΔI	I''
1

Résultat :

En comparant I'' et ΔI, on valide le théorème de compensation.

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Exemple du théorème de compensation

Exemple 1

• 1) Trouver le courant dans la branche AB pour R = 3 Ω.
• 2) Trouver le courant dans AB par le théorème de compensation quand 3 Ω devient 9 Ω.
• 3) Prouver le théorème.

Réponse 1

Les 6 Ω et 3 Ω sont en parallèle. Cette combinaison en série avec 3 Ω. Résistance équivalente :

R_Eq = (6 ∥ 3) + 3

 

 

R_Eq = 2 + 3 = 5 Ω

Loi d'Ohm : 10 = I·5 → I = 2 A.

Courant dans branche AB (règle de division du courant) :

I' = 1,333 A (4/3 A)

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Réponse 2

Remplacer 3 Ω par 9 Ω. Selon le théorème, ajouter source de tension en série avec 9 Ω. Valeur :

V_C = I'·ΔZ

ΔZ = 9 – 3 = 6 Ω, I' = 4/3 A.

V_C = (4/3) × 6 = 8 V

Circuit compensé :

Résistance équivalente : 3 Ω ∥ 6 Ω en série avec 9 Ω.

R_Eq = (3 ∥ 6) + 9

R_Eq = 2 + 9 = 11 Ω

Loi d'Ohm : V = ΔI·R → 8 = ΔI·11 → ΔI = 8/11 = 0,7272 A.

D'après le théorème, la variation de courant est 0,7272 A.

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Réponse 3

Prouver le théorème : calculer le courant réel avec 9 Ω.

Circuit modifié :

9 Ω ∥ 6 Ω en série avec 3 Ω.

R_Eq = (9 ∥ 6) + 3

R_Eq = 99/15 = 6,66 Ω

10 = I·6,66 → I = 1,5151 A.

Division du courant :

I'' = 0,6060 A

ΔI = I' – I'' = 1,333 – 0,6060 = 0,7273 A

La variation calculée par le théorème (0,7272 A) correspond à la variation réelle (0,7273 A). Théorème validé.

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Exemple 2

Dans le circuit ci-dessous, trouver la variation de courant si 3 Ω est remplacé par 7 Ω par le théorème de compensation. Et le prouver.

Réseau avec résistances et sources de courant indépendantes → théorème applicable.

Source de courant alimente le réseau. Courant dans branche 3 Ω par règle de division du courant :

I = 70/10 = 7 A

Avec 3 Ω, courant dans cette branche = 3 A. On change pour 7 Ω. Variation ΔI par théorème.

Créer circuit de compensation : supprimer sources indépendantes (court-circuiter tension, ouvrir courant). Ici source de courant idéale → ouvrir.

Ajouter source de tension V_C = I·ΔZ.

V_C = 7 × (7 – 3) = 7 × 4 = 28 V

Circuit de compensation :

Une seule boucle. Courant dans branche 7 Ω = ΔI.

ΔI = V_C / (7 + 7) = 28/14 = 2 A

Preuve : calculer courant réel avec 7 Ω.

I'' = (10 × 7) / (7 + 7) = 70/14 = 5 A

Division du courant : ΔI = I – I'' = 7 – 5 = 2 A.

Théorème de compensation prouvé.

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