Maîtriser le théorème de substitution : guide pas à pas avec exemple pratique

Analyse et résolution de circuits électriques par le théorème de substitution

Théorème de substitution

Comme son nom l'indique, ce théorème permet de remplacer un élément d'un circuit par un autre, à condition que le comportement du circuit reste inchangé.

Le théorème de substitution stipule :

Si le courant traversant une branche et la tension aux bornes de cette branche sont connus, on peut remplacer cette branche par d'autres éléments (source de tension, source de courant, résistance de valeur différente, etc.) sans alterer les conditions initiales (tensions et courants dans le reste du circuit).

Ce théorème ne s'applique pas quand un circuit a plus de deux sources connectées en série ou en parallèle.

• Article lié : Théorème de Thévenin. Guide pas à pas avec exemple résolu

Explication du théorème de substitution

Le théorème remplace une branche par une branche équivalente aux éléments différents. Si une branche est remplacée par une source de tension ou de courant ayant la même tension et le même courant que la branche originale, le comportement du réseau ne change pas.

Comprenons avec le réseau ci-dessous.

Deux résistances en série avec source DC. Une seule boucle → courant identique partout. KVL :

+15 = 5I + 10I → 15 = 15I → I = 1 A

Tensions aux bornes des résistances (règle de division de tension) :

V_5Ω = 5 V ; V_10Ω = 10 V.

• Article lié : Théorème de Norton. Guide pas à pas avec exemple résolu

Substitution 1

Remplacer la branche 10 Ω par une source de tension 10 V :

KVL : +15 – 10 = 5I → 5 = 5I → I = 1 A (identique). Tension branche 10 V (source) = tension originale. Tension 5 Ω : V = 1×5 = 5 V (identique). Comportement inchangé.

Substitution 2

Remplacer branche 5 Ω par source 5 V :

KVL : +15 – 5 = 10I → 10 = 10I → I = 1 A. Tension branche 5 V = originale. Tension 10 Ω : V = 1×10 = 10 V. Comportement inchangé.

• Article lié : Théorème de superposition – Analyse de circuits avec exemple résolu

Substitution 3

Remplacer 10 Ω par source de courant 1 A :

Source de courant impose 1 A dans la boucle = courant original. Tension 5 Ω : V = 1×5 = 5 V. Tension aux bornes source 1 A : +15 – 5 – V = 0 → V = +10 V. Tensions et courants identiques à l'original.

• Article lié : Théorème de Millman – Analyse AC & DC – Exemples

Substitution 4

Remplacer 10 Ω par 5 Ω en série avec 5 V :

KVL : 15 – 5 = 5I + 5I → 10 = 10I → I = 1 A. Tension 5 Ω (originale) : V = 1×5 = 5 V. Tension aux bornes A-B : V_AB = 5 + 5 = 10 V. Comportement inchangé.

Il existe donc plusieurs façons de substituer un élément sans changer tensions et courants.

• Article lié : Théorème de Tellegen – Exemples résolus & simulation MATLAB

Étapes pour résoudre un réseau par le théorème de substitution

1. Étape 1 : Trouver tension et courant de tous les éléments (KCL, KVL, loi d'Ohm).
2. Étape 2 : Identifier la branche à remplacer par un autre élément (source courant, source tension, résistance).
3. Étape 3 : Déterminer la valeur de l'élément de substitution pour que tension et courant restent inchangés.
4. Étape 4 : Vérifier le nouveau circuit en recalculant tensions et courants de tous les éléments et comparer à l'original.

Voici un exemple complet.

• Article lié : Théorème de transfert de puissance maximum pour circuits AC & DC
  

Exemple & solution du théorème de substitution

Résoudre le réseau ci-dessous par le théorème de substitution pour calculer courant et tension dans toutes les résistances.

Étape 1 : Tensions et courants de tous les éléments. KVL aux mailles.

Maille 1 : 14 = 6I₁ – 4I₂ … (1)

Maille 2 : 0 = 12I₂ – 4I₁ → 12I₂ = 4I₁ → I₁ = 3I₂ … (2)

Remplacer (2) dans (1) : 14 = 6(3I₂) – 4I₂ = 18I₂ – 4I₂ = 14I₂ → I₂ = 1 A.

D'après (2) : I₁ = 3 A.

Étape 2 : Supprimer les branches de maille 1 pour ne garder qu'une boucle.

Étape 3 : Remplacer la branche 4 Ω par une source. Ici, source de courant. Courant dans maille 2 = 1 A → source 1 A. Circuit restant :

Étape 4 : Vérifier tensions et courants.

Boucle unique avec source 1 A → courant dans 3 Ω et 5 Ω = 1 A (identique original).

Tension 3 Ω : V = 1×3 = 3 V. Tension 5 Ω : V = 1×5 = 5 V. Identiques à l'original.

Si on choisissait source de tension à l'étape 3 : tension aux bornes 4 Ω original = (I₁–I₂)×4 = (3–1)×4 = 8 V. Circuit avec source 8 V :

KVL : 8 = 3I + 5I → 8 = 8I → I = 1 A. Tensions 3 Ω = 3 V, 5 Ω = 5 V. Identiques.

Tutoriels d'analyse de circuits électriques connexes :

• Analyse par SUPERNODE – Pas à pas avec exemple résolu
• Analyse par SUPERMESH – Pas à pas avec exemple résolu
• Lois de Kirchhoff (KCL & KVL) | Exemple résolu
• Calculateur règle de Cramer – Systèmes 2 et 3 équations pour circuits électriques
• Pont de Wheatstone – Circuit, fonctionnement, dérivation et applications
• Calculateurs génie électrique et électronique
• 5000+ Formules & équations génie électrique et électronique