Illustration de l'addition de tensions alternatives à l'aide des nombres complexes

Dans ce tutoriel, nous explorons comment trois sources de tension alternative (AC) se combinent lorsqu'elles sont connectées en série, en utilisant l'arithmétique des nombres complexes pour déterminer la tension nette. L'approche démontre que toutes les lois familières des circuits continus — loi d'Ohm, lois de Kirchhoff sur les tensions et les courants, et techniques d'analyse de réseaux — s'appliquent à l'analyse alternative, à condition que chaque quantité soit exprimée sous forme de fasceur (complexe) et que toutes les sources fonctionnent à la même fréquence.

Nous commençons par disposer les trois sources comme indiqué dans le diagramme ci-dessous. Les marquages de polarité sont choisis de sorte que les directions des fasceurs s'additionnent directement, ce qui nous permet d'écrire la tension totale comme une simple somme vectorielle :

La loi des mailles (KVL) permet l'addition de tensions complexes.

Bien que l'énoncé ne précise pas de fréquence explicite, l'hypothèse implicite est que les trois sources partagent la même fréquence. Cela satisfait l'exigence que leurs relations de phase restent constantes, permettant l'utilisation de règles de type continu.

L'expression algébrique de la tension totale est :

V_total = V₁ + V₂ + V₃

Graphiquement, l'addition des fasceurs est illustrée dans la figure ci-dessous.

Addition graphique de tensions vectorielles.

Le vecteur résultant part du début de la source de 22 V et se termine à la pointe de la source de 15 V, comme le montre la figure suivante.

Le résultant est équivalent à la somme vectorielle des trois tensions initiales.

Pour calculner la magnitude et la phase du résultant sans recourir à un diagramme, nous convertissons chaque fasceur polaire en forme rectangulaire, les additionnons, puis reconvertissons en polaire. Le calcul donne :

V_total = 36,8052 V ∠ –20,5018°

En termes pratiques, un voltmètre n'afficherait que la magnitude de 36,8052 V, tandis qu'un oscilloscope pourrait déterminer le déphasage de –20,5018° par rapport à la source de référence de 15 V. Le même principe s'applique aux ampèremètres alternatifs, qui indiquent la magnitude du courant mais pas son angle de phase.

La représentation rectangulaire est commode pour l'arithmétique mais n'a pas d'analogue direct en mesure ; c'est pourquoi nous reconvertissons systématiquement le résultat final en forme polaire pour le comparer aux instruments réels.

Pour valider le résultat analytique, nous exécutons une simulation SPICE simple. Une résistance de 10 kΩ est incluse uniquement pour éviter une erreur de circuit ouvert. La fréquence choisie de 60 Hz est arbitraire car les résistances présentent un comportement indépendant de la fréquence, bien que d'autres éléments comme les condensateurs et les inductances introduiraient une dépendance en fréquence.

Schéma de circuit SPICE.

 v1 1 0 ac 15 0 sin
v2 2 1 ac 12 35 sin
v3 3 2 ac 22 -64 sin
r1 3 0 10k
.ac lin 1 60 60
.print ac v(3,0) vp(3,0)
.end
freq v(3) vp(3)
6.000E+01 3.681E+01 -2.050E+01

La simulation confirme le résultat analytique : une tension totale de 36,81 V ∠ –20,5°. Ce résultat apparemment contre-intuitif — obtenir un peu plus de 36 V à partir de sources de 15 V, 12 V et 22 V en série — illustre comment les relations de phase peuvent causer une interférence constructive ou destructive dans les circuits alternatifs.

Ensuite, nous examinons l'effet de l'inversion de la polarité de la source de 12 V. L'inversion des connexions change la direction du vecteur mais pas l'angle de phase nominal ; mathématiquement, cela peut être représenté soit en ajoutant 180° à l'angle (12 V ∠ 215°), soit en inversant la magnitude (–12 V ∠ 35°). Les deux approches donnent le même résultat rectangulaire :

En forme rectangulaire, la nouvelle somme est :

V_total = 30,4964 V ∠ –60,9368°

Nous vérifions cela avec SPICE :

 ac voltage addition
v1 1 0 ac 15 0 sin
v2 1 2 ac 12 35 sin ; inversion des numéros de nœuds 2 et 1
v3 3 2 ac 22 -64 sin
r1 3 0 10k
.ac lin 1 60 60
.print ac v(3,0) vp(3,0)
.end
freq v(3) vp(3)
6.000E+01 3.050E+01 -6.094E+01

Révision

• Toutes les lois des circuits continus s'appliquent aux circuits alternatifs — sauf les calculs de puissance — à condition que toutes les variables soient sous forme complexe et partagent une fréquence commune.
• L'inversion de la polarité d'une source alternative peut s'exprimer soit en ajoutant 180° à son angle, soit en inversant sa magnitude.
• Les valeurs mesurées dans les circuits alternatifs correspondent aux magnitudes polaires des fasceurs calculés ; les valeurs rectangulaires ne sont utiles que pour les étapes algébriques intermédiaires.

Feuilles de travail connexes

• Feuille de travail sur l'analyse de réseaux AC
• Feuille de travail sur les lois de Kirchhoff
• Feuille de travail sur la loi d'Ohm