Effets d'interaction lors de l'assemblage de nanoparticules magnétiques

Contexte

L'hyperthermie magnétique [1,2,3,4] est l'une des directions les plus prometteuses de la recherche biomédicale contemporaine liée au traitement du cancer. La performance des nanoparticules magnétiques pour générer de la chaleur dans un champ magnétique externe alternatif est affectée par divers facteurs, tels que leurs paramètres géométriques et matériels, la concentration de nanoparticules dans le milieu, ainsi que la fréquence et l'amplitude du champ magnétique alternatif. Dans cet article, l'effet de l'interaction magnéto-dipôle mutuelle sur le taux d'absorption spécifique (DAS) d'un assemblage de nanoparticules magnétiques sur un champ magnétique alternatif est étudié théoriquement. Les nanoparticules d'oxydes de fer semblent les plus prometteuses pour une utilisation en hyperthermie magnétique [2,3,4,5], car elles sont biocompatibles et biodégradables et peuvent être détectées dans le corps humain par IRM clinique. Dans cette étude, nous considérons des assemblages de nanoparticules avec des paramètres magnétiques typiques des nanoparticules d'oxyde de fer. Il a été découvert récemment [4, 6] qu'étant enfouies dans un environnement biologique, par exemple dans une tumeur, les nanoparticules magnétiques s'avèrent être étroitement liées aux tissus environnants. Par conséquent, la rotation des nanoparticules magnétiques dans leur ensemble sous l'influence d'un champ magnétique externe alternatif est fortement entravée. Dans un tel cas, la relaxation brownienne est sans importance [4]. Par conséquent, seul le mouvement des moments magnétiques des particules sous l'influence d'un champ magnétique alternatif et de fluctuations thermiques doit être pris en compte. De plus, il faut tenir compte de l'influence de l'interaction magnétique-dipôle entre les particules. Ce dernier effet est particulièrement important car les nanoparticules magnétiques dans les milieux biologiques ont tendance à s'agglomérer [2, 4, 7] formant des agrégats denses de nanoparticules ayant une structure géométrique fractale [8, 9].

L'effet des fluctuations thermiques sur la dissipation thermique dans un assemblage dilué de nanoparticules magnétiques dans un champ magnétique alternatif a été étudié en détail dans Refs. [10,11,12,13]. En particulier, il a été montré [10] que le SAR d'un tel assemblage dépend essentiellement du diamètre moyen des nanoparticules, entre autres facteurs. Pour un assemblage de nanoparticules dilué, des calculs détaillés [10] permettent de déterminer le diamètre optimal des nanoparticules pour des paramètres magnétiques de particules donnés et pour l'amplitude et la fréquence du champ magnétique alternatif. Avec un choix optimal des paramètres géométriques et magnétiques des nanoparticules, des valeurs DAS très élevées, de l'ordre de 1000 kW/kg, ont été prédites [10, 11]. Il est à noter que les valeurs SAR rapportées dans un certain nombre d'expériences [14,15,16,17] sont très proches des estimations théoriques ci-dessus. Dans le même temps, dans de nombreuses expériences [5, 18, 19, 20, 21], des valeurs significativement plus faibles de DAS ~ 20-50 kW/kg ont été mesurées. Ce fait peut s'expliquer, très probablement, par l'influence d'une forte interaction magnéto-dipôle dans les assemblages denses de nanoparticules magnétiques.

En effet, il a été démontré expérimentalement [22, 23] que le SAR dans l'assemblage dense de nanoparticules magnétiques dépend essentiellement du rapport d'aspect de l'échantillon à tester, c'est-à-dire du rapport longueur/largeur de l'échantillon. Ceci est une preuve indirecte de l'influence de l'interaction magnéto-dipôle sur la réponse d'un assemblage de nanoparticules à un champ magnétique externe alternatif. L'effet de l'interaction magnéto-dipôle sur le taux d'absorption d'énergie par l'assemblage de nanoparticules magnétiques a été étudié dans un certain nombre d'études théoriques et expérimentales récentes [7, 24,25,26,27,28,29,30,31,32 ,33,34,35,36,37,38]. Cependant, des investigations supplémentaires semblent nécessaires pour prendre en compte la nature fractale [8, 9] de la distribution des nanoparticules dans les milieux biologiques.

Pour voir clairement l'effet de l'interaction magnéto-dipôle, dans cet article, nous calculons d'abord le SAR d'un assemblage de nanoparticules d'oxyde de fer sans interaction. Pour étudier l'effet de l'interaction magnéto-dipôle, nous résolvons numériquement l'équation stochastique de Landau-Lifshitz [13, 39, 40, 41], qui prend simultanément en compte à la fois la présence de fluctuations thermiques des moments magnétiques des particules et l'interaction magnéto-dipôle entre les nanoparticules des clusters. Deux types d'amas magnétiques sont considérés, les amas aléatoires 3D habituels de nanoparticules distribuées dans un milieu rigide et les amas fractals de nanoparticules qui apparaissent habituellement dans l'espace intracellulaire. A noter qu'au sein du cluster, les nanoparticules sont couplées par une forte interaction magnéto-dipôle. Dans le même temps, pour un assemblage d'amas dilué, l'interaction magnétique entre les amas peut être négligée en première approximation.

L'influence de l'interaction magnéto-dipôle sur les propriétés d'un assemblage dilué d'agrégats 3D aléatoires est principalement déterminée par la densité de tassement des nanoparticules η = N _p V /V _cl , où N _p est le nombre moyen de particules dans l'amas, V est le volume de la nanoparticule, et V _cl est le volume du cluster. L'aire de la boucle d'hystérésis et le SAR d'assemblage sont considérablement réduits lorsque la densité de tassement des clusters 3D augmente dans la gamme de densités de tassement étudiée, 0,005 ≤ η < 0.4. Pour les amas fractals de nanoparticules magnétiques, en plus d'une réduction considérable du DAS, le taux d'absorption maximal est généralement déplacé vers des diamètres de particules plus petits. On constate également que le SAR des amas fractals augmente sensiblement avec une augmentation de l'épaisseur des coques non magnétiques à la surface des nanoparticules. Cet effet peut être important pour l'application d'assemblages de nanoparticules magnétiques dans l'hyperthermie magnétique.

Simulation numérique

Nanoparticules sans interaction

Il est instructif de rappeler tout d'abord le comportement d'un assemblage de nanoparticules superparamagnétiques sans interaction dans un champ magnétique alternatif. Elle permet de bien voir l'influence de l'interaction magnéto-dipôle sur les propriétés de l'assemblage. Sur la base de l'équation de Fokker-Planck dérivée par W.F. Brown [39], on peut obtenir une équation cinétique approximative [10] pour les nombres de population n ₁ (t ) et n ₂ (t ) de deux puits de potentiel de nanoparticule superparamagnétique uniaxiale

Ici, τ ₁ (T ) et τ ₂ (T ) sont les temps de relaxation correspondants à une température donnée T pour les premier et deuxième puits potentiels, respectivement. Les temps de relaxation τ ₁ (T ) et τ ₂ (T ) dépendent essentiellement de l'amplitude et de la direction du champ magnétique appliqué par rapport à l'axe d'anisotropie facile des particules (voir l'annexe dans la réf. [10]). La procédure d'itération peut être utilisée pour calculer les nombres de population de puits n ₁ (t ) et n ₂ (t ) pendant plusieurs périodes du champ magnétique alternatif. Il suffit d'obtenir une boucle d'hystérésis stationnaire d'une particule dans un champ magnétique alternatif. Pour ce faire, on peut utiliser une relation approximative pour la composante de l'aimantation réduite des particules le long de la direction du champ magnétique

Ici, θ ₀ est l'angle du champ magnétique externe par rapport à l'axe d'anisotropie facile des particules, θ _min,1 et θ _min,2 sont les emplacements des minima potentiels du puits en fonction du champ magnétique appliqué réduit, h _e (t ) = H ₀ péché(ωt )/H _un , où ω = 2πf est la fréquence angulaire, H _un étant le champ d'anisotropie des particules. Pour obtenir une boucle d'hystérésis d'un assemblage de nanoparticules indépendantes orientées aléatoirement, il est nécessaire de moyenner l'aimantation réduite m _h (t ) sur les directions du champ magnétique. Il convient de noter que la précision d'une solution analytique approximative, Eq. (1), (2), de l'équation de Fokker-Planck a été validée [10] par comparaison directe avec les solutions numériques de l'équation stochastique de Landau-Lifshitz pour les nanoparticules magnétiques sans interaction.

Amas de nanoparticules

Pour étudier l'effet de l'interaction magnéto-dipôle sur le taux d'absorption spécifique d'un assemblage de nanoparticules magnétiques en interaction dans un champ magnétique alternatif, dans cet article, nous étudions le comportement d'un assemblage dilué d'amas 3D usuels de nanoparticules superparamagnétiques et celui de fractales. clusters [8, 9] qui apparaissent généralement dans des milieux biologiques chargés de fines nanoparticules magnétiques.

Un cluster 3D quasi-sphérique de nanoparticules représenté schématiquement sur la figure 1a peut être caractérisé par son rayon R _cl , et le nombre de nanoparticules, N _p >> 1, dans son volume. On suppose que les nanoparticules ont à peu près le même diamètre D , et leurs centres, {r _i }, i = 1, 2,.. N _p , sont distribués de manière aléatoire dans le volume du cluster. Nous supposons également que les particules sont recouvertes de fines coques non magnétiques, de sorte que l'interaction d'échange entre les nanoparticules voisines de l'amas est absente. Comme nous l'avons mentionné ci-dessus, un tel cluster 3D est caractérisé par la densité de compactage des nanoparticules η = N _p V /V _cl . Il s'agit d'un volume total de matériau magnétique réparti dans le volume de l'amas. On peut définir la distance moyenne entre les nanoparticules de l'amas au moyen de la relation D _av = (6V _cl /πN _p ) ^1/3 . Ensuite, la densité de tassement des nanoparticules est donnée par η = (D /D _av ) ³ .

Géométrie d'un amas 3D aléatoire quasi-sphérique de nanoparticules à domaine unique (a ) et amas fractal (b ) avec des descripteurs fractals D _f = 2.1 et k _f = 1.3

Pour un assemblage de clusters 3D complètement aléatoires, les orientations des axes d'anisotropie facile des nanoparticules {e _i }, i = 1, 2, .. N _p , sont choisis aléatoirement et indépendamment sur la sphère unité. Alternativement, on peut supposer que lors de la formation d'agrégats dans une solution sous l'influence de l'interaction magnéto-statique, une certaine corrélation se produit dans la distribution des directions des axes d'anisotropie facile des nanoparticules. Une possibilité pour décrire de tels amas partiellement ordonnés est de supposer que les axes d'anisotropie facile des nanoparticules sont uniformément distribués dans un angle solide, θ < θ max , dans les coordonnées sphériques.

Amas 3D aléatoires avec un nombre donné de particules N _p de diamètre D ont été créés dans cette étude comme suit. Tout d'abord, nous avons généré un ensemble suffisamment dense et approximativement uniforme de N points aléatoires {ρ _i } dans un volume sphérique du rayon R _cl , de sorte que |ρ _i | ≤ R _cl pour tous les points générés, i = 1, 2... N , N>> N _p . Le centre de la première nanoparticule a été placé dans le premier point aléatoire, r ₁ = ρ ₁ . Ensuite, tous les points aléatoires avec des coordonnées |ρ _i –r ₁ | ≤ D ont été retirés de l'ensemble initial des points aléatoires. Après cette opération, n'importe quel point de l'ensemble restant de points aléatoires pourrait être utilisé comme centre de la deuxième nanoparticule. Par exemple, on peut mettre simplement r ₂ = ρ ₂ . A l'étape suivante, on supprime tous les points aléatoires dont les coordonnées satisfont l'inégalité |ρ _i –r ₂ | ≤ D . Cette procédure est répétée jusqu'à ce que tous les N _p des centres de nanoparticules sont placés dans le volume du cluster. En conséquence, tous les centres de nanoparticules aléatoires se trouvent dans une sphère de rayon R _cl , de sorte que |r _i | ≤ R _cl , i = 1, 2,... N _p . De plus, aucune des nanoparticules n'est en contact direct avec les nanoparticules voisines. Cet algorithme permet de construire des amas 3D quasi-sphériques aléatoires de nanoparticules magnétiques pour des valeurs modérées de la fraction volumique des nanoparticules η < 0,5.

Pour un ensemble donné de paramètres initiaux, c'est-à-dire D , R _cl , et N _p , divers amas 3D aléatoires diffèrent par les ensembles de coordonnées des centres de nanoparticules {r _i } et orientations {e _i } des axes d'anisotropie facile des particules. Cependant, les calculs montrent que dans la limite N _p >> 1, les boucles d'hystérésis obtenues pour différentes réalisations de variables aléatoires {r _i } et {e _i } ne diffèrent que légèrement les uns des autres. Pour caractériser le comportement d'un assemblage dilué d'agrégats aléatoires de nanoparticules, il est nécessaire de calculer une boucle d'hystérésis d'assemblage moyennée sur un nombre suffisamment grand de réalisations d'agrégats aléatoires. On constate que dans la limite N _p >> 1, la boucle d'hystérésis moyenne de l'assemblage de clusters a une dispersion plutôt faible, même en moyenne sur 20 à 30 réalisations indépendantes de clusters aléatoires avec les valeurs fixes des paramètres initiaux D , R _cl , et N _p .

La géométrie des amas fractals de nanoparticules à domaine unique est caractérisée [42, 43] par les descripteurs fractals D _f et k _f . Par définition, le nombre total de nanoparticule N _p dans l'amas fractal est donnée par la relation \( {N}_p={k}_f{\left(2{R}_g/D\right)}^{D_f} \), où D _f est la dimension fractale, k _f est le préfacteur fractal, et R _g étant le rayon de giration. Elle est définie [43] par le carré moyen des distances entre les centres des particules et le centre de masse géométrique de l'agrégat. Dans cet article, les clusters fractals avec divers descripteurs fractals ont été créés à l'aide du célèbre algorithme de Filippov et al. [43]. À titre d'exemple, la figure 1b montre la structure géométrique de l'amas fractal avec les descripteurs fractals D _f = 2.1 et k _f = 1.3 composé de N _p = 90 nanoparticules à domaine unique. Géométriquement, il semble que la principale différence entre les clusters 3D et fractals est que dans ce dernier cas, chaque nanoparticule a au moins un voisin situé à la distance la plus proche possible entre les centres des nanoparticules égale au diamètre de la nanoparticule D .

Dynamique du vecteur d'aimantation unitaire \( {\overrightarrow{\alpha}}_i \) de i -ème nanoparticule à domaine unique de l'amas est déterminée par l'équation stochastique de Landau-Lifshitz (LL)

où γ est le rapport gyromagnétique, κ est le paramètre d'amortissement phénoménologique, γ ₁ = γ /(1+κ ² ), \( {\overrightarrow{H}}_{ef,i} \) est le champ magnétique effectif et \( {\overrightarrow{H}}_{th,i} \) est le champ thermique. Le champ magnétique effectif agissant sur une nanoparticule distincte peut être calculé comme une dérivée de l'énergie totale de l'amas

L'énergie magnétique totale de l'amas W = W _un + W _Z + W _m est une somme de l'énergie d'anisotropie magnéto-cristalline W _un , Zeeman énergie W _Z des particules dans le champ magnétique appliqué \( {\overrightarrow{H}}_0\sin \left(\omega t\right) \), et l'énergie d'interaction magnéto-dipôle mutuelle des particules W _m .

Pour les nanoparticules de forme presque sphérique avec une anisotropie magnétique de type uniaxial, l'énergie d'anisotropie magnéto-cristalline est donnée par

où e _i est l'orientation de l'axe d'anisotropie facile de i -ième particule de l'amas. Zeeman énergie W _Z de l'amas dans le champ magnétique appliqué est donné par

Ensuite, pour les nanoparticules sphériques uniformément magnétisées, l'énergie magnétostatique de l'amas peut être représentée comme l'énergie des dipôles d'interaction ponctuels situés au centre des particules r _i au sein du cluster. Ensuite, l'énergie d'interaction magnéto-dipôle est

où n _ij est le vecteur unitaire le long de la ligne reliant les centres de i -e et j -ième particules, respectivement.

Ainsi, le champ magnétique effectif agissant sur le i -ième nanoparticule de l'amas est donnée par

où H _un = 2 K /M _s. est le champ d'anisotropie des particules.

Les champs thermiques, \( {\overrightarrow{H}}_{th,i} \), i = 1, 2...N _p , agissant sur diverses nanoparticules du cluster sont statistiquement indépendantes, avec les propriétés statistiques suivantes [39] de leurs composants pour chaque nanoparticule

Ici, k _B est la constante de Boltzmann, δ _αβ est le symbole Kroneker, et δ (t ) est la fonction delta.

La procédure de résolution des équations différentielles stochastiques. (3), (8) et (9) est décrit en détail dans les Réf. [13, 40, 41].

Résultats et discussion

Nanoparticules d'oxyde de fer sans interaction

Considérons un assemblage dilué de nanoparticules superparamagnétiques de diamètre moyen D . Les particules sont supposées être étroitement emballées dans un milieu environnant, et leurs axes d'anisotropie faciles sont orientés de manière aléatoire dans l'espace. La boucle d'hystérésis d'un tel montage en champ magnétique alternatif H = H ₀ péché(ωt ) peut être calculé [10] en utilisant les équations. (1) et (2). Cette approche, de par sa simplicité, permet d'effectuer des calculs détaillés des boucles d'hystérésis d'assemblage pour différentes tailles de particules en fonction de la fréquence et de l'amplitude du champ magnétique alternatif. Dans les calculs effectués, conformément aux données expérimentales [2,3,4,5,6], l'aimantation à saturation des nanoparticules d'oxyde de fer est supposée être M _s. = 70 Am ² /kg, la constante d'anisotropie magnétique étant K = 10 ⁴ J/m ³ . La température d'assemblage est T = 300 K, et les diamètres des nanoparticules se situent dans la plage D = 10-30 nm. Ces paramètres semblent typiques des expériences menées sur des nanoparticules d'oxyde de fer.

La figure 2 montre le SAR d'assemblages sans interaction de nanoparticules d'oxyde de fer à diverses fréquences à une amplitude fixe de champ magnétique alternatif, H ₀ = 8 kA/m. Comme on peut le voir, pour la gamme de fréquences caractéristiques de l'hyperthermie magnétique, f = 200-500 kHz, le SAR a un maximum pour l'assemblage de nanoparticules d'oxyde de fer avec des diamètres D = 20–21 nm. Il est à noter que même à une amplitude relativement modérée d'un champ magnétique alternatif, le DAS de l'assemblage atteint des valeurs suffisamment élevées, 350 à 450 kW/kg, si les diamètres des nanoparticules sont choisis correctement.

Le taux d'absorption spécifique de l'assemblage sans interaction de nanoparticules d'oxydes de fer, obtenu au moyen d'Eqs. (1) et (2), en fonction du diamètre moyen des particules à différentes fréquences du champ magnétique alternatif

Cependant, les valeurs DAS mesurées expérimentalement pour les assemblages de nanoparticules d'oxydes de fer sont, en règle générale, nettement inférieures [18,19,20,21] à ces valeurs théoriques. Comme nous le verrons dans la section suivante, ce fait peut s'expliquer [22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38] par l'influence d'une forte interaction magnéto-dipôle dans des assemblages denses de nanoparticules magnétiques.

Assemblage de clusters 3D

Considérons maintenant les boucles d'hystérésis d'un assemblage dilué de clusters aléatoires 3D ayant des axes d'anisotropie faciles de nanoparticules individuelles orientées aléatoirement dans l'espace. Comme le montre la figure 2, pour l'assemblage de nanoparticules d'oxyde de fer sans interaction, le pic de l'absorption d'énergie dans un champ magnétique alternatif correspond aux particules de diamètre D = 20 nm. Par conséquent, nous avons d'abord calculé les boucles d'hystérésis d'un assemblage de clusters 3D avec un diamètre de particule D = 20 nm.

La figure 3a montre l'évolution des boucles d'hystérésis d'assemblage en fonction de la distance moyenne entre les centres des nanoparticules D _av à la valeur fixe du diamètre de particule D . La fréquence et l'amplitude du champ magnétique alternatif sont fixées à f = 400 kHz et H ₀ = 8 kA/m, respectivement. Le nombre de particules dans les clusters est égal à N _p =40. Les calculs sont effectués à T = 300 K, et la constante d'amortissement magnétique est considérée comme étant κ = 0,5.

(un ) Evolution des boucles d'hystérésis d'assemblage dilué d'amas de nanoparticules d'oxyde de fer de diamètre D = 20 nm pour divers rapports D _av /D :(1 ) D _av /D = 1,46 ; (2 ) D _av /D = 2,92 ; (3 ) D _av /D = 5,84. La boucle d'hystérésis 4 correspond à l'assemblage de nanoparticules sans interaction de même diamètre. Il est calculé au moyen des équations. (1) et (2). (b ) SAR en fonction du diamètre moyen des nanoparticules D pour les assemblages dilués de clusters de nanoparticules avec différentes densités de tassement η

Evidemment, la diminution de la distance moyenne entre les nanoparticules de l'amas conduit à une augmentation de l'intensité de l'interaction magnéto-dipôle au sein de l'amas. Notez que pour N _p = 40, les rapports D _av /D spécifiées à la Fig. 3a correspondent aux densités d'empilement des grappes η = 0,005, 0,04 et 0,32, en conséquence. On peut voir sur la figure 3a que la surface de la boucle d'hystérésis diminue rapidement en fonction du paramètre η . A titre de comparaison, la figure 3a montre également la boucle d'hystérésis 4, calculée pour un assemblage de particules sans interaction, c'est-à-dire dans la limite D _av /D → ∞, N _p = const, en utilisant les équations. (1) et (2).

On peut voir que la boucle d'hystérésis 3 (η =0,005) sur la figure 3a s'avère être proche de la boucle d'hystérésis de l'assemblage de nanoparticules n'interagissant pas. Par conséquent, dans le cas η ≤ 0,005 l'interaction magnéto-dipôle des nanoparticules au sein de l'amas peut être négligée. Cependant, pour η ≥ 0,04 l'interaction magnéto-dipôle a une influence significative sur les propriétés d'un assemblage d'amas 3D aléatoires. Une évolution similaire des boucles d'hystérésis d'assemblage a été obtenue également pour les fréquences f = 300 et 500 kHz, respectivement.

Les boucles d'hystérésis représentées sur la figure 3a sont calculées pour différents rapports D _av /D , mais pour le nombre fixe de nanoparticules dans le cluster N _p =40. Cependant, les simulations informatiques détaillées montrent que la forme de la boucle d'hystérésis d'un assemblage dilué d'amas 3D aléatoires est pratiquement inchangée, si le nombre de particules, N _p >> 1, et le rayon du cluster R _cl sont modifiées de sorte que la densité de tassement des nanoparticules η reste constant. Par conséquent, la boucle d'hystérésis de l'assemblage dilué de clusters 3D aléatoires dépend principalement de la densité d'emballage de cluster η .

La figure 3b montre le SAR d'assemblages d'amas aléatoires de nanoparticules d'oxyde de fer pour différents η valeurs. Le SAR de l'ensemble est calculé [10] comme SAR = M _s fA /ρ , où A est la zone de boucle d'hystérésis dans les variables (M /M _s. , H ), ρ étant la densité de nanoparticules d'oxyde de fer qui est supposée être ρ = 5 × 10 ³ kg/m ³ . Comme le montre la figure 3b, le DAS diminue en fonction de η en raison d'une augmentation de l'intensité de l'interaction magnéto-dipôle au sein des amas. Dans le même temps, la dépendance du SAR de l'assemblage vis-à-vis du diamètre moyen des particules demeure, bien qu'elle devienne moins prononcée.

Pour les petites valeurs de η  0,005, le SAR d'un assemblage aléatoire d'amas 3D coïncide en fait avec celui d'un assemblage de nanoparticules sans interaction, illustré à la figure 2. D'autre part, le SAR chute d'environ six fois lorsque la densité d'empilement de l'amas augmente jusqu'à η = 0,32. Ensuite, il devient proche des valeurs SAR typiques ~ 50-100 kW/kg, qui sont obtenues dans un certain nombre d'expériences [5, 18, 19, 20, 21] avec des assemblages de nanoparticules d'oxyde de fer.

Assemblage de grappes fractales

Des calculs similaires ont été effectués pour des assemblages dilués d'amas fractals de nanoparticules avec divers descripteurs fractals. Comme le montre la figure 4, pour les amas fractals de nanoparticules, le SAR en fonction du diamètre des particules diminue également considérablement par rapport à celui de l'assemblage de nanoparticules sans interaction. Cependant, contrairement à l'assemblage de clusters 3D, les valeurs maximales de SAR sont systématiquement décalées vers des diamètres de particules plus petits, sauf pour le cas de la dimension fractale D _f = 2,7, ce qui est proche du cas des clusters 3D avec D _f = 3.0. Il est intéressant de noter également que pour des diamètres de nanoparticules non optimaux, par exemple, pour des nanoparticules de diamètres D ≤ 17 nm, l'influence de l'interaction magnéto-dipôle conduit à une augmentation du SAR par rapport au cas de l'assemblage de nanoparticules sans interaction, car le SAR de l'assemblage de nanoparticules sans interaction est très faible pour les nanoparticules de diamètre D ≤ 17 nm.

SAR en fonction du diamètre moyen des nanoparticules D pour les assemblages dilués d'amas fractals de nanoparticules avec divers descripteurs fractals. Le SAR de l'assemblage de nanoparticules sans interaction est calculé au moyen d'Eqs. (1) et (2)

Les calculs indiqués sur la figure 4 ont été effectués en supposant l'existence de coques minces non magnétiques d'épaisseur t _Ch = 1 nm à la surface des nanoparticules magnétiques. Cela empêche les nanoparticules du cluster fractal d'interaction d'échange direct. De toute évidence, l'augmentation de l'épaisseur de la coque non magnétique réduit l'intensité de l'interaction magnéto-dipôle des nanoparticules les plus proches, à mesure que la distance moyenne entre les noyaux magnétiques sur les nanoparticules augmente. La figure 5 montre que l'augmentation de l'épaisseur de la coque non magnétique est un moyen approprié d'augmenter le DAS de l'assemblage d'amas fractals de nanoparticules. Namely, for sufficiently large thickness of non-magnetic shells the dependence of the SAR on the particle diameter resembles that for weakly interacting magnetic nanoparticles. This fact may be important for the application of magnetic nanoparticle assemblies in magnetic hyperthermia.

The dependence of the SAR of dilute assembly of fractal clusters on the thickness t _Sh of the non-magnetic shells at the surface of the nanoparticles. The SAR of the assembly of non-interacting nanoparticles is calculated by means of Eqs. (1) and (2)

Conclusions

The main conclusion of this study is that the SAR of a dilute assembly of clusters of magnetic nanoparticles in alternating magnetic field is significantly reduced with increasing of the intensity of magneto-dipole interaction in the clusters. For usual 3D clusters of nanoparticles, the intensity of the magneto-dipole interaction can be characterized by dimensionless packing density, η  = N _p V /V _cl  = (D /D _av ) ³ . The latter determines the average distance between the nanoparticles of the cluster. The calculations show that for the assembly of random 3D clusters, the energy absorption peak, which for iron oxide nanoparticles corresponds to particles with average diameter D  = 20 nm, is reduced about six times when the packing density increases from η  = 0.005 up to η  = 0.32. The dependence of the assembly SAR on the mean nanoparticle diameter is retained with increase of η , but becomes less pronounced.

For dilute assemblies of fractal clusters of magnetic nanoparticles, the SAR values also decrease several times irrespective on the fractal descriptors of the assembly. In addition, the peak values of SAR are shifted systematically to smaller particle diameters, as a rule. It is important to note, however, that the increase of the non-magnetic shell thickness at the nanoparticle surfaces restores the SAR values close to that of the assembly of weakly interacting nanoparticles. This fact can be important for various biomedical applications of magnetic nanoparticle assemblies.

The model considered in this paper takes into account the geometrical structure of nanoparticle assemblies observed experimentally in biological media [4, 8, 9] (in particular in tumors), i.e., the agglomeration of nanoparticles in a sufficiently dense fractal clusters of different sizes, with different numbers of nanoparticles in the clusters. The stochastic LL Eq. (3) accurately describes the real dynamics of the magnetic moments of nanoparticles taking into account both the magneto-dipole interaction between the particles and the effect of thermal fluctuations. The cluster model studied allows obvious generalization that can make it more practical. First, it is necessary to take into account the size distribution of magnetic nanoparticles in the assembly. Second, in some cases exchange interaction may exist between neighboring nanoparticles of the cluster if they are in direct atomic contact.

The theoretical results obtained in this study seem to be in a satisfactory agreement with recent experimental data [35] for iron oxide nanoparticles of optimal diameters. Indeed, according to Ref. [35], the SAR of the iron oxide nanoparticles increases with the average diameter of the nanoparticles and peaks for nanoparticles with mean diameter D  = 20–21 nm. In addition, the SAR decreases [35] with a decrease in the average distance between the nanoparticles due to increasing intensity of the magneto-dipole interaction.

Unfortunately, in some experimental studies [5, 21] carried out to optimize the properties of magnetic nanoparticles for use in magnetic hyperthermia, often do not take into account the theoretical predictions [10, 11] about significant dependence of the assembly SAR on the characteristic size of the magnetic nanoparticles. As shown in this paper, this dependence can be substantial even for rather dense nanoparticle assemblies. From a theoretical point of view, it is obvious [10] that the assembly of iron oxide nanoparticles with very small, D  ≤ 10 nm, or too big, D  ≥ 30 nm diameters can hardly provide a sufficiently high SAR values for typical for magnetic hyperthermia frequencies, f  = 200–600 kHz, and magnetic field amplitudes H ₀  ~ 8 kA/m. The creation of mono-crystalline iron oxide nanoparticles with sharp size distribution near the optimal diameter has to be promising for application in magnetic hyperthermia.