Comment la raideur élastique et l'adhésion de surface régissent le comportement de rebond des nanoparticules
Résumé
Les collisions granulaires sont caractérisées par une vitesse seuil, séparant le régime de faible vitesse d'adhérence des grains du régime de haute vitesse de rebond des grains : la vitesse de rebond, vb. Ce paramètre est particulièrement important pour les nanograins et a des applications par exemple en astrophysique où il entre dans la description de l'agrégation de poussière collisionnelle. Les estimations analytiques sont basées sur la théorie macroscopique de Johnson-Kendall-Roberts (JKR), qui prédit la dépendance de vb par rapport au rayon, à la raideur élastique et à l'adhésion de surface des grains. Ici, nous effectuons des simulations atomistiques avec des potentiels modèles qui nous permettent de tester ces dépendances pour les collisions de nanograins. Nos résultats montrent non seulement que JKR décrit qualitativement bien la dépendance aux paramètres matériaux, mais soulignent aussi des écarts quantitatifs considérables. Ceux-ci sont les plus prononcés pour une faible adhésion, où la raideur élastique n'influence pas la valeur de la vitesse de rebond.
Contexte
On peut dire que le processus le plus basique de la mécanique granulaire est la collision de deux grains. À grandes vitesses de grains, les grains se séparent à nouveau après la collision, et le résultat de la collision peut être caractérisé par la mécanique classique des collisions inélastiques. À faibles vitesses de grains, cependant, les grains adhèrent. La frontière entre collisions d'adhérence et de rebond [1] peut être appelée la vitesse de rebond, vb. Ce paramètre est particulièrement important pour les nanograins et a des applications par exemple en astrophysique où il entre dans la description de l'agrégation de poussière collisionnelle [2, 3].
La mécanique des contacts macroscopique a été utilisée pour dériver une prédiction pour vb. Elle est basée sur la théorie de Johnson-Kendall-Roberts (JKR) [4], qui décrit la collision de deux sphères adhésives en utilisant la raideur élastique et l'adhésion de surface comme entrées physiques de base. Quantitativement, ces quantités sont décrites par le module d'indentation, Eind=E/(1−ν2), où E est le module de Young et ν le coefficient de Poisson, et par l'énergie de surface γ. Avec le rayon de sphère R et la densité de masse ρ, la vitesse de rebond de deux sphères identiques s'écrit [1, 5, 6] :
$$ {v_{b}} = \left(\frac {C} {\rho} \right)^{1/2}\left(\frac {\gamma^{5}} {E_{\text{ind}}^{2} R^{5}} \right)^{1/6}. $$ (1)
La valeur de la constante C dépend fortement des hypothèses de dissipation d'énergie pendant la collision et a été discutée pour prendre des valeurs entre 0,3 et 60 [1, 7].
La validité de cette prédiction a été principalement étudiée par rapport à sa dépendance en taille [1, 5–8]. Avec la diminution de la taille des grains, les forces adhésives deviennent plus importantes, et la vitesse de rebond augmente. En effet, des expériences sur des nanograins (grains d'Ag et de NaCl) [9] trouvent vb dans l'ordre de 1 m/s pour des tailles de grains de quelques 10 nm, mais augmentant fortement pour des grains plus petits. Des simulations atomistiques basées sur la dynamique moléculaire (MD) ont confirmé la dépendance R−5/6 prédite pour des collisions entre grains de silice amorphe de tailles R=15–25 nm [7].
Jusqu'à présent, la dépendance prédite de vb par rapport aux paramètres matériaux Eind et γ n'a pas été testée en détail. Cela n'est pas facilement faisable en expérience, car différents matériaux diffèrent généralement dans les deux quantités. Cependant, en utilisant la MD, nous pouvons construire des matériaux modèles, qui ont des propriétés identiques, mais ne diffèrent que sur un aspect, soit Eind soit γ. Dans cet article, nous choisissons un modèle pour le Cu [10] mais faisons varier les paramètres matériaux généreusement jusqu'à un ordre de grandeur par rapport aux valeurs réelles. Comme nous ne trouvons pas de rebond pour des nanoparticules amorphes dans ce système, nous nous concentrons sur des grains cristallins (fcc).
Méthodes/Expérimental
Nous utilisons le potentiel de Morse,
$$ U(r) = D \left[ e^{-2\alpha(r-r_{0})} - 2 e^{-\alpha(r-r_{0})} \right], $$ (2)
pour décrire l'interaction entre deux atomes de distance r. Les trois paramètres de Morse D, α et r0 sont déterminés pour décrire la constante de maille a, le module de volume B et l'énergie cohésive Ecoh d'un solide fcc massif.
Pour être définitif, nous fixons la constante de maille à a=3,615 Å (approprié pour le Cu) dans cette étude et adoptons aussi la masse atomique du Cu, afin de garder la densité de masse ρ dans l'Éq. (1) fixe. Le potentiel est coupé à rc=2,5a ; ainsi, 12 couches de voisins, incluant un total de 248 atomes, interagissent avec chaque atome. Un nombre de 100 potentiels sont évalués pour B dans la gamme de 403 à 1008 GPa, et Ecoh dans la gamme de 0,35 à 3,54 eV. Notez que les modules de volume étudiés ici sont plus grands, et les énergies cohésives plus petites, que les valeurs du Cu réel (B=134,4 GPa, Ecoh=3,54 eV [11]), car pour les valeurs réelles, nous n'avons observé aucun rebond.
Nous déterminons le module d'indentation Eind pour une contrainte uniaxiale dans la direction (100) à partir du module de Young et du coefficient de Poisson dans cette direction ([12], p. 32). La figure 1a montre la dépendance de Eind par rapport à B. Nous voyons que ces quantités obéissent à une relation linéaire ; à module de volume constant, une diminution de l'énergie cohésive fait augmenter Eind.
Paramètres matériaux. Dépendance de a du module d'indentation Eind par rapport au module de volume B et de b de l'énergie de surface γ par rapport à l'énergie cohésive Ecoh
L'énergie de surface des facettes (100) est calculée à partir de la différence d'énergie d'un cristal massif et d'un cristal avec une surface (100) ouverte en divisant par la surface de la surface ouverte [13]. La figure 1b montre que γ est approximativement proportionnelle à Ecoh ; les écarts ne sont visibles que pour des raideurs plus petites et des matériaux fortement liés.
Nous construisons des grains en découpant une sphère de rayon R=9a=33 Å hors du réseau fcc, contenant environ 12 000 atomes. De par leur construction, ils ont une surface à facettes. Ils sont relaxés afin d'équilibrer leurs surfaces ; une légère relaxation de surface, mais pas de reconstruction de surface n'a été observée. Les collisions sont démarrées en dupliquant les grains et en les tirant l'un vers l'autre avec une vitesse relative v. Seules les collisions centrales sont considérées, où les deux facettes (100) font face se heurtent frontalement, voir Fig. 2.
Configuration initiale de la collision
Pour déterminer la vitesse de rebond, nous effectuons des collisions avec plusieurs vitesses. L'algorithme utilisé ici est basé sur un schéma de bissection simple. Nous avons vérifié que les collisions avec une vitesse de 250 m/s sont rebondissantes pour tous les systèmes de collision étudiés ici, tandis qu'à vitesse nulle, les collisions sont adhérentes. Ensuite, des simulations sont lancées à la moyenne arithmétique de la plus basse vitesse de rebond connue et de la plus haute vitesse d'adhérence connue. Cette procédure est répétée jusqu'à ce que la différence entre la plus haute vitesse d'adhérence et la plus basse vitesse de rebond soit inférieure à 10 % de leur valeur moyenne. vb est prise comme la moyenne arithmétique de la plus haute vitesse d'adhérence et de la plus basse vitesse de rebond ; ces deux dernières valeurs sont aussi prises pour indiquer l'erreur de notre calcul dans les graphiques. Les simulations ont été effectuées en utilisant le logiciel open-source LAMMPS [14], et le code est essentiellement le même que celui utilisé dans nos études antérieures sur les collisions de silice [7] et de particules de glace d'eau [15].
Résultats
La figure 3 donne un aperçu des résultats obtenus. Un ajustement global en loi de puissance est fourni par
$$ {v_{b}} \propto \gamma^{0.588} E_{\text{ind}}^{-0.155}. $$ (3)
Vitesse de rebond. Graphique tridimensionnel de la dépendance de la vitesse de rebond vb par rapport au module d'indentation Eind et à l'énergie de surface γ
Ainsi, les caractéristiques principales de la loi JKR, Éq. (1) — une augmentation de vb avec l'adhésion et une diminution avec la raideur élastique — sont reproduites, mais les dépendances sont plus faibles que dans le cas JKR.
La figure 4 examine plus en détail ces dépendances. Comme nous avons déterminé les vitesses de rebond pour des matériaux avec soit B fixe soit Ecoh fixe, nous les analyserons pour ces valeurs fixes, mais présenterons les dépendances en termes de Eind et γ afin de faire le lien avec la prédiction JKR, Éq. (1). Pour une énergie cohésive Ecoh constante, vb dépend comme une loi de puissance de la raideur élastique,
$$ v_{b} \propto E_{\text{ind}}^{-a}, $$ (4)
Vitesse de rebond. Dépendance de la vitesse de rebond vb par rapport au a module d'indentation Eind et b énergie de surface γ. Les lignes désignent des ajustements en loi de puissance. c montre la dépendance de l'exposant de puissance, a, Éq. (4), par rapport à l'énergie cohésive. La ligne désigne un ajustement linéaire pour guider l'œil
où a=0,28 (0,26, 0,02) pour Ecoh=3,54 (2,12, 0,35) eV. Ainsi, l'exposant a=0,33 prédit par JKR est bien presque récupéré pour de hautes énergies de surface ; cependant, la dépendance devient plus douce avec la diminution de γ et disparaît complètement pour des surfaces faiblement adhésives. Notez que dans le cas d'énergie de surface nulle, toutes les collisions doivent être rebondissantes ; cela explique le rôle qui s'annule de la raideur élastique dans ce cas.
La figure 4c affiche les exposants de puissance de la dépendance de vb(Eind), Éq. (4), obtenus de nos simulations. Le graphique démontre clairement l'augmentation de la dépendance par rapport à Eind avec l'augmentation de l'énergie cohésive, et donc de l'énergie de surface, comme indiqué par la ligne d'ajustement linéaire rouge.
Pour une raideur élastique fixe, B, la dépendance de vb par rapport à γ montre une image plus simple, voir Fig. 4c. Les ajustements en loi de puissance, vb∝γ−b, donnent des valeurs plutôt consistantes de b=0,67 (0,59, 0,53) pour B=403 (739, 1008) GPa, et montrent donc seulement une dépendance légère par rapport à B et donc Eind. Notez cependant que ces dépendances sont plus douces que la valeur de b=0,83 prédite par l'Éq. (1). Avec l'augmentation de la raideur, les écarts par rapport à la prédiction JKR deviennent plus forts. En effet, on sait que JKR échoue pour des systèmes trop rigides [16, 17]. Pour de tels systèmes, la théorie de Derjaguin-Muller-Toporov (DMT) [18] est pensée pour s'appliquer mieux ; cependant, aucune prédiction pour la vitesse de rebond ne semble avoir émergé de cette théorie.
Globalement, les vitesses de rebond trouvées ici sont en dessous de 100 m/s. Nous soulignons que pour des valeurs réalistes du potentiel de Morse appropriées pour le Cu, nous trouvons de l'adhérence sur toute la gamme de vitesses, et pas de rebond. Cela est en accord avec des simulations récentes de collisions de sphères de Cu (7–22 nm de diamètre) avec une surface d'Al effectuées par Pogorelko et al. [19, 20] qui trouvent de l'adhérence jusqu'à des vitesses de 1000 m/s. La raison pour laquelle nous trouvons du rebond dans nos simulations est que nous utilisons des potentiels modèles dans lesquels les modules élastiques sont généreusement augmentés, et la liaison de surface est diminuée, par rapport aux valeurs caractérisant le Cu réel.
Au-dessus du seuil de rebond, les collisions sont caractérisées par le coefficient de restitution,
$$ e= |v'|/|v|, $$ (5)
qui compare la vitesse relative après collision, v′, à celle avant la collision, v, et mesure ainsi l'inélasticité de la collision. Pour les collisions adhérentes, évidemment, e=0. La théorie JKR suggère une loi [4–6]
$$ e_{\text{JKR}} = \alpha \sqrt{1- \left(\frac{v_{b}}{v} \right)^{2}}, $$ (6)
où nous avons introduit le facteur α pour prendre en compte la dissipation d'énergie [7].
La figure 5 montre deux cas de la dépendance en vitesse de e ; nous les trouvons représentatifs pour toute la gamme de valeurs de raideur et d'adhésion étudiées. Dans tous ces cas, il n'y a pas de dissipation d'énergie majeure pendant la collision ; α est autour de 0,9. À énergies de surface suffisamment grandes, Fig. 5a, e suit assez bien la prédiction JKR, Éq. (6). À faible γ, cependant, Fig. 5b, une zone de transition plus étroite est vue, dans laquelle e passe de 0 à presque 1 ; cette zone de transition n'est pas bien décrite par la prédiction JKR, Éq. (6).
Coefficient de restitution. Dépendance du coefficient de restitution, e, par rapport à la vitesse de collision, v, pour une surface fortement (γ=2,32 J/m2) (a) et faiblement (γ=0,89 J/m2) (b) adhésive. Le module de volume est identique dans les deux cas, B=940,8. Les symboles désignent les résultats de simulation, tandis que la courbe est un ajustement à la prédiction JKR, Éq. (6), avec α=0,86 (a) et 0,95 (b)
Discussion
Dans le régime d'adhérence, le coefficient de restitution reste en dessous de 1 indiquant des pertes d'énergie inélastiques pendant la collision. Nous avons vérifié que les collisions sont purement élastiques au sens où aucune plasticité permanente n'a été générée pendant la collision ; l'outil logiciel OVITO [21] a été utilisé pour vérifier la production de dislocations. Pour des vitesses plus élevées, v>100 m/s, et des sphères compliantes, des dislocations étaient formées transitoirement mais disparaissaient à nouveau après la collision. Nous notons que pendant la collision de nanosphères cristallines de taille similaire interagissant via le potentiel générique de Lennard-Jones, une production ample de dislocations pouvait être détectée [22, 23], tandis que des zones de transformation de cisaillement étaient identifiées dans la collision de sphères de silice amorphe [7], les deux systèmes de collision exhibant ainsi de la plasticité. Dans notre cas, les modules élastiques élevés empêchent l'établissement de déformation plastique ; les pertes d'énergie inélastiques sont causées seulement par l'excitation de vibrations dans les sphères heurtées. On peut conclure que l'existence de collisions rebondissantes est liée à une suppression des pertes inélastiques pendant les collisions et donc à la suppression de la déformation plastique.
Le comportement de e pour faible γ souligne nos résultats ci-dessus pour vb que de grands écarts par rapport à JKR sont exhibés pour des systèmes faiblement adhésifs. Nous concluons que pour une faible adhésion, la vitesse de rebond, et aussi l'état du système après rebond, dépendent seulement faiblement d'autres caractéristiques du système, telles que Eind et v.
Conclusions
La prédiction de la théorie JKR des contacts élastiques adhésifs a été testée par des simulations MD dédiées de nanograins utilisant des potentiels modèles. Nous trouvons que les tendances générales de la dépendance de la vitesse de rebond sont raisonnablement bien reproduites par la théorie JKR en variant la raideur du matériau et l'adhésion du matériau jusqu'à un ordre de grandeur. Cependant, nous trouvons des écarts systématiques pour des grains faiblement adhésifs ; dans ce cas, le seuil de rebond devient indépendant de la raideur du matériau, et le coefficient de restitution exhibe presque pas de dépendance en vitesse au-dessus de vb. Aussi pour une adhésion plus forte, la dépendance de la vitesse de rebond par rapport à γ est systématiquement plus petite que celle prédite par JKR.
Ces écarts pointent vers une description incomplète des collisions de nanoparticules par la théorie macroscopique des contacts. Les travaux futurs tenteront d'étendre cette étude à des grains cristallins avec d'autres orientations et des rayons plus grands, et à des grains amorphes.
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