Estimation précise de l'énergie des supercondensateurs utilisant des modèles différentiels fractionnaires

Résumé

Dans cet article, de nouveaux résultats sur l'utilisation de mesures de tension uniquement aux bornes du supercondensateur pour l'estimation de l'énergie accumulée sont présentés. À cette fin, une étude basée sur l'application de modèles d'ordre fractionnaire des circuits de charge/décharge de supercondensateur est entreprise. Les estimations de paramètres des modèles sont ensuite utilisées pour évaluer la quantité d'énergie accumulée dans le supercondensateur. Les résultats obtenus sont comparés avec l'énergie déterminée expérimentalement en mesurant la tension et le courant aux bornes du supercondensateur. Tous les tests sont répétés pour diverses formes et paramètres de signaux d'entrée. Une cohérence très élevée entre les résultats estimés et expérimentaux confirme pleinement la pertinence de l'approche proposée et donc l'applicabilité du calcul fractionnaire à la modélisation du stockage d'énergie des supercondensateurs.

Contexte

Aujourd'hui, les supercondensateurs sont les composants principaux de nombreux dispositifs et systèmes, par exemple les systèmes de secours d'alimentation et de récupération d'électricité ainsi que les applications automobiles, véhicules hybrides et bien d'autres. La capacité d'accumuler la charge sans aucune réaction chimique fait que de tels éléments ont des centaines de fois plus de cycles de charge/décharge par rapport aux batteries typiques [1]. De plus, des taux de charge/décharge élevés les rendent efficaces pour les applications dans les systèmes de récupération d'énergie utilisés par exemple dans le transport ou les sources d'énergie renouvelables [2, 3]. Dans toutes ces applications, le paramètre clé est l'information sur la quantité d'énergie accumulée dans le supercondensateur [4, 5]. Malheureusement, la relation bien connue pour les condensateurs typiques qui permet de déterminer cette information, à savoir (1/2)CU², ne peut pas être utilisée [6]. La quantité d'énergie accumulée ne peut pas être déterminée sur la base de la tension aux bornes du condensateur seulement. La raison principale en est le processus de diffusion associé à la redistribution de charge [1, 7]. C'est pourquoi de nombreux chercheurs ont essayé de déterminer un modèle de supercondensateur qui permettrait d'estimer le comportement d'un système réel. Actuellement, les chercheurs adoptent principalement des combinaisons d'éléments électroniques typiques, par exemple quadripôle RC ou combinaisons série et parallèle de tels éléments. Cependant, tous ces modèles supposent une relation entre le courant du supercondensateur et la tension à ses bornes sous forme d'une équation différentielle d'ordre entier typique [3–5, 7].

Mais il s'avère que des possibilités complètement nouvelles pour l'estimation d'énergie dans de tels systèmes peuvent être obtenues par l'application du calcul fractionnaire [8, 9]. Le calcul différéo-intégral d'ordre non entier a été proposé il y a plus de 300 ans, mais d'importants problèmes d'implémentation sont liés à l'avènement des ordinateurs et à leur utilisation dans la modélisation de systèmes dynamiques à temps discret [10–14]. L'application du calcul fractionnaire au problème d'estimation de paramètres des supercondensateurs n'est pas un nouveau sujet. Il y a de nombreuses publications dans ce domaine [15–25]. Les auteurs effectuent la tâche d'estimation de paramètres dans les domaines fréquentiel et temporel [26].

Cet article est une version étendue de la présentation de conférence de l'auteur [27], dans laquelle une approche d'ordre fractionnaire a été brièvement introduite pour estimer l'énergie accumulée dans le supercondensateur.

L'estimation précise des paramètres des supercondensateurs est aussi d'une importance capitale pour évaluer leur fiabilité [28–31]. Les processus de dégradation permanents à l'intérieur du supercondensateur peuvent changer la résistance série équivalente et la capacitivité. Ainsi, la détermination précise de ces paramètres, basée sur la méthode proposée, permet aussi d'évaluer avec précision la performance du condensateur.

Cet article commence par quelques préliminaires liés à l'intégration et la différentiation d'ordre fractionnaire. Ensuite, il présente la méthode d'estimation de paramètres utilisée pendant les tests et propose une nouvelle méthode de calcul d'énergie basée sur le calcul fractionnaire. La section Résultats et Discussion présente l'énergie calculée pour divers scénarios et la compare avec les valeurs de référence (mesurées). Les conclusions et contributions sont résumées dans la section Conclusions.

Méthodes

L'utilisation de matériaux poreux dans les supercondensateurs et la manière spécifique d'accumulation de charge font que les approches traditionnelles basées sur les modèles à dérivée d'ordre entier ne sont pas assez précises. De nombreux chercheurs ont proposé diverses solutions sous forme de combinaison d'éléments RC typiques avec des valeurs constantes ou variables [4, 7]. Mais il s'avère que définitivement une meilleure précision peut être obtenue en utilisant le calcul différentiel d'ordre non entier pour définir les relations entre le courant du supercondensateur et sa tension [17, 19]. De plus, une telle solution peut résulter en une structure de modèle très simple, tout en fournissant une très haute précision [18].

Calcul différéo-intégral d'ordre fractionnaire

Le calcul différentiel d'ordre fractionnaire est connu depuis plus de 300 ans. Cependant, seulement les dernières années ont apporté sa popularité dans la modélisation de phénomènes et processus physiques. On croit que la description de la dynamique avec une dérivée ou une intégrale d'ordre non entier peut être l'une des méthodes les plus efficaces pour modéliser les propriétés réelles de nombreux phénomènes complexes et processus industriels, surtout basés sur de nouveaux matériaux et technologies [10, 12, 13, 32–34].

Le calcul différentiel ou intégral d'ordre non entier est une généralisation du calcul classique à l'ordre α qui appartient à l'ensemble des nombres réels \(\mathcal {R}\). L'opérateur différéo-intégral d'ordre \(\alpha \in \mathcal {R}\) de la fonction f(t) sur l'intervalle [a,t] peut s'écrire comme suit :

$$ {{}_{a}\mathcal{D}_{\textit t}^{\alpha}}f(t)= \left\{ {\begin{array}{l c l} {\frac{\mathrm{d}^{\alpha}\textit{f(t)}}{\mathrm{d} \textit{t}^{\alpha}}} & \text{pour} & \alpha>0\\ f(t) & \text{pour} & \alpha=0\\ \int_{a}^{t} f(\tau)\textrm {d} {\tau^{\alpha}} & \text{pour} & \alpha<0,\\ \end{array}} \right. $$ (1)

en supposant que la fonction f(t) est plusieurs fois différentiable et intégrable. Quant à l'opérateur (1), il existe de nombreuses définitions de sa réalisation. De telles définitions diffèrent en propriétés et domaines d'application. Les plus populaires sont les définitions de Riemann-Liouville, Caputo et Grünwald-Letnikov (GL) [34]. Cette dernière sera utilisée dans cet article sous la forme :

$$ {}_{a}\mathcal{D}_{t}^{\alpha} f(t) = {\lim}_{h \to 0} \frac{1}{h^{\alpha}} \sum\limits_{j=0}^{\left[{\frac{t}{h}}\right]}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(t-jh), $$ (2)

où le coefficient binomial \(\alpha \choose j\) est défini comme suit :

$$ {\alpha \choose j}= \left\{ \begin{array}{lll} 1 & \text{pour} &j=0 \\ \frac{\alpha (\alpha-1) \dots (\alpha-j+1)}{j!} & \text{pour} & j>0. \end{array} \right. $$ (3)

Afin d'obtenir un modèle fractionnaire à des moments discrets de temps, la définition GL sous forme discrète est simplifiée comme :

$$ \Delta_{h}^{\alpha} f(t) = \frac {1}{h^{\alpha}} \sum\limits_{j=0}^{t}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(t-j). $$ (4)

Il existe plusieurs schémas de discrétisation pour l'Éq. GL (4). Les plus populaires incluent les différences arrière (Euler), trapézoïdale (Tustin) et opérateurs Al-Alaoui. En utilisant la méthode d'Euler, la dérivée fractionnaire à des moments de temps discrets k peut être présentée comme :

$$ \Delta_{h}^{\alpha} f(k)=\frac {1}{h^{\alpha}}\sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(k-j),\; k=0,1,\ldots. $$ (5)

La somme infinie d'échantillons précédents doit être dans les systèmes réels limitée à une valeur finie en raison de la mémoire limitée et du temps de calcul limité. Maintenant, l'approximation discrète en temps de longueur finie ou tronquée de GL est :

$$ \Delta^{\alpha} f(k) =\frac {1}{h^{\alpha}}\sum\limits_{j=0}^{L}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(k-j),\; k=0,1,\ldots, $$ (6)

où f(l)=0 pour l<0 et L est la longueur du modèle (6) [23]. La réduction du nombre d'échantillons résulte en une diminution de la précision de calcul. C'est important pour les systèmes fonctionnant en temps continu. D'autres types de solutions sont des algorithmes approximant les différéo-intégrales fractionnaires avec des modèles d'ordre entier. Un exemple peut être les filtres récursifs d'Oustaloup [35]. Un autre modèle efficace de longueur finie est le FFLD, étant une combinaison du modèle tronqué (6) et d'une différence basée sur Laguerre [24, 36, 37].

Tous les résultats d'identification ainsi que les mesures d'énergie sont obtenus basés sur tous les échantillons dans la (longue) fenêtre d'observation L, c.-à-d., avec une précision maximale. La figure 1 présente les réponses à un échelon de l'intégration et de la différentiation obtenues basées sur (6), pour k=0,1,…,L et pour diverses valeurs d'ordre d'intégration/différentiation α. En assumant différentes valeurs d'ordre α, on peut modéliser plus précisément différents processus physiques, surtout de diffusion.

Réponses à un échelon pour modèles d'intégration (a) et de différentiation (b) avec divers ordres α

Estimation de paramètres pour le modèle fractionnaire

Les résultats de toutes les mesures d'énergie et procédures d'identification présentées dans cet article ont été obtenus pour un supercondensateur chargé depuis une source de tension contrôlée. Dans un tel système, le courant du supercondensateur i_C(t) doit être limité par une résistance R connectée en série avec le supercondensateur C (Fig. 2). L'estimation de tous les paramètres du supercondensateur est effectuée basée sur la réponse du quadripôle u_C(t) à un échelon de tension u(t) à son entrée. Choisir la valeur appropriée de l'ordre de dérivée α permet de prendre en compte un modèle de supercondensateur des phénomènes physiques liés aux processus de diffusion associés à la redistribution de charge pendant les processus de charge et décharge. La résistance parallèle r_P permet en plus de modéliser le courant de fuite. En utilisant le calcul différentiel fractionnaire pour modéliser les supercondensateurs, la structure du modèle peut être de faible complexité. Pour un supercondensateur chargé depuis la source de tension, un modèle consiste en seulement deux éléments, c.-à-d. un simple quadripôle RC (Fig. 2a). Pour de faibles capacités, la résistance série r_S est importante (Fig. 2b), tandis que le courant de fuite I_L peut être additionnellement représenté par la résistance parallèle r_P (Fig. 2c). En utilisant le calcul d'ordre fractionnaire pour modéliser le supercondensateur, la relation entre la tension aux bornes du condensateur et son courant peut s'exprimer comme suit :

$$ i_{C}(t)=C_{\alpha}\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d} t^{\alpha}}, $$ (7)

Modèles RC de supercondensateur, modèle de base (a), étendu avec une résistance série (b), et avec résistance parallèle additionnelle (c)

où l'opérateur d^α/dt^α signifie un opérateur de différentiation d'ordre α et l'unité SI de C_α est [F/s^1−α]. La configuration de base du supercondensateur présentée en Fig. 2a peut être traitée comme un système inertiel du premier ordre et peut être représentée par la fonction de transfert fractionnaire :

$$ G(s^{\alpha})=\frac{U_{C}(s)}{U(s)}=\frac{1}{Ts^{\alpha} +1}, $$ (8)

où T=RC_α. En prenant en compte la résistance série r_S (Fig. 2b), le circuit est traité comme un système de correction de retard de phase avec la fonction de transfert (comparer [24]) :

$$ G(s^{\alpha})=\frac{1}{T_{1}s^{\alpha}+1}+\frac{T_{2}s^{\alpha}}{T_{1}s^{\alpha}+1}, $$ (9)

où T₁=C_α(R+r_S) et T₂=r_SC_α. De plus, en permettant la résistance parallèle r_P représentant le courant de fuite I_L (Fig. 2c), la fonction de transfert du système peut s'exprimer comme :

$$ G(s^{\alpha})=\frac{T_{2}s^{\alpha} +1}{T_{1}s^{\alpha} +K}, $$ (10)

où K=R/r_P+1, T₁=C(Rr_s/r_P+R+r_S) et T₂=r_SC. Dans le domaine temporel, l'Éq. (10) peut être présentée comme :

$$ \frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}=\frac{1}{T_{1}}(u(t)-Ku_{C}(t))+\frac{T_{2}}{T_{1}}\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}. $$ (11)

La réponse temporelle du modèle défini par (11) a été obtenue en le transformant sous la forme présentée graphiquement en Fig. 3, où les opérations d'intégration et de différentiation sont d'ordre fractionnaire α. Ce modèle a été utilisé pendant le processus d'estimation des paramètres du supercondensateur. Le supercondensateur testé a été identifié en utilisant le système présenté en Fig. 4a. La procédure de contrôle du système entier a été développée en utilisant le logiciel Matlab/Simulink avec xPC Toolbox. Le système consistait en un PC de bureau (xPC Target) avec la carte de mesure NI-DAQ installée et l'ordinateur maître (xPC Host). Les ordinateurs étaient interconnectés via le réseau Ethernet. Le supercondensateur a été chargé et déchargé par une source de tension (contrôlée par tension) (Fig. 4b) d'efficacité de courant jusqu'à ± 3 A. Le système de mesure a été opéré avec une fréquence d'échantillonnage de 100 Hz, tandis que toutes les mesures et signaux de contrôle analogiques étaient traités avec une résolution de 16 bits [25].

Structure Matlab du modèle de supercondensateur en domaine temporel

Structure du système de mesure (a) et schéma de charge/décharge du supercondensateur (b)

La méthode principale pour déterminer les propriétés dynamiques d'un système est basée sur l'analyse de la réponse à un échelon [38]. En relation avec le modèle du système, cette méthode permet l'estimation de ses paramètres. Pour cette étude, le signal d'échelon avec diverses tensions (0,5/1,0/1,5/2,0/2,7 V) et durée constante (500 s) a été utilisé (voir Fig. 5 et Tableau 2). D'autre part, une des applications typiques des supercondensateurs est l'accumulation ou la livraison d'énergie dans les systèmes de puissance. Dans ce cas, le taux de changement de tension est plutôt petit. Pour le simuler, un signal de 400 mVpp et 0,03 rad/s avec un offset de 2 V a été utilisé (Fig. 6). De plus, afin d'examiner l'influence des changements de tension et de fréquence sur les paramètres estimés, diverses valeurs de ces dernières ont été utilisées (voir Tableau 3).

Réponses à un échelon pour supercondensateur testé et son modèle fractionnaire (a) et erreur de réponse du modèle (b)

Réponses sinusoïdales pour supercondensateur testé et son modèle fractionnaire (a) et erreur de réponse du modèle (b)

Il existe plusieurs méthodes pour l'estimation des paramètres du modèle. Le but principal de la procédure d'identification dans le domaine temporel appliquée dans ce travail était d'estimer le vecteur de paramètres inconnus θ=[α,C_α,r_S,r_P] du modèle fractionnaire présenté par (11). La méthode des moindres carrés a été utilisée pour minimiser l'erreur initiale. Un critère d'optimisation impliquait la minimisation de l'erreur standard \(\|\epsilon (k)\|_{2}^{2}\), où :

$$ \epsilon(k)=u_{C}(k)-\hat{u}_{C}(k), $$ (12)

où u_C(k) est la tension de sortie mesurée du système testé au moment k, tandis que \(\hat {u}_{C}(k)\) est la tension de sortie du modèle considéré pour le signal d'entrée u(k). Le problème d'identification est maintenant réduit à trouver un vecteur de paramètres θ∈Θ_ad qui minimiserait le critère quadratique J de telle manière que :

$$ \min_{\theta\in\Theta_{ad}} \left\{ J= \sum_{0}^{N} {\epsilon(k)^{T}\epsilon(k)}\right\}, $$ (13)

où Θ_ad désigne l'ensemble des valeurs de paramètres admissibles et N signifie le temps de simulation. Il y a de nombreux algorithmes d'optimisation qui peuvent être utilisés pour résoudre le problème (13). Les résultats présentés dans cet article ont été obtenus en implémentant l'algorithme génétique dans l'environnement Matlab.

Calcul de l'énergie

Un changement dans l'énergie stockée dans le supercondensateur dépend de la puissance fournie au condensateur par unité de temps et peut être décrit comme suit :

$$ \mathrm{d}E(t) =P(t)\mathrm{d}t. $$ (14)

En exprimant la puissance fournie au condensateur comme un produit du courant et de la tension aux bornes du condensateur, le changement d'énergie à un temps donné t peut s'exprimer comme :

$$ \mathrm{d}E(t) =u_{C}(t)i_{C}(t)\mathrm{d}t. $$ (15)

L'énergie totale pendant l'intervalle de temps [t₁,t₂] peut être obtenue en intégrant les changements d'énergie sur cet intervalle :

$$ E_{tot}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}E(t)=\int_{t_{1}}^{t_{2}}u_{C}(t)i_{C}(t)\mathrm{d}t. $$ (16)

En tenant compte de l'Éq. (7), le stockage d'énergie total peut être déterminé comme :

$$ E_{tot}=C_{\alpha}\int_{t_{1}}^{t_{2}}u_{C}(t)\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}\mathrm{d}t. $$ (17)

En assumant t₁=0 et \(E_{t_{1}}=0\), l'énergie totale stockée dans le supercondensateur pendant l'intervalle de temps [0,t] est :

$$ E(t)=C_{\alpha}\int_{0}^{t}u_{C}(\tau)\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(\tau)}{\mathrm{d}\tau^{\alpha}}\mathrm{d}\tau. $$ (18)

Notez que pour α=1 l'Éq. (18) peut être réduite à la classique :

$$ E(t)=\frac{1}{2}Cu_{C}(t)^{2}. $$ (19)

Résultats et discussion

Initialement, la procédure d'estimation du vecteur de paramètres du modèle de supercondensateur en utilisant le calcul fractionnaire a été effectuée. L'estimation a été réalisée basée sur le système présenté en Fig. 2c, générant un échelon de tension ou une onde sinusoïdale à son entrée. Les réponses du modèle ont été calculées basées sur (11). Les résultats obtenus par les deux procédures d'identification sont très similaires, surtout dans le cas de la capacitivité fractionnaire C_α et de l'ordre fractionnaire α (voir Tableau 1). Certaines différences dans les estimations de la résistance série r_S peuvent être un résultat de sa dépendance en fréquence. Le signal d'échelon consiste en de nombreux harmoniques de haute fréquence tandis que l'onde sinusoïdale n'en a qu'un – le 0,03 rad/s. Les résultats présentés ont été obtenus pour le supercondensateur commercial Samwha Green-Cap EDLC(DB), évalué à 2,7 V avec 100 F de capacitivité nominale et 8 mΩ de résistance série équivalente maximale (r_S) à 1 kHz.

Les figures 5a et 6a montrent la tension mesurée du supercondensateur et les réponses du modèle calculées, pour les signaux d'échelon et sinusoïdaux respectivement, tandis que les Figs. 5b et 6b montrent l'erreur de réponse du modèle.

Tous les résultats obtenus montrent une haute cohérence entre les réponses du modèle et les mesures réelles malgré le fait que des modèles relativement simples ont été proposés. Certaines divergences peuvent résulter du fait que les paramètres du modèle devraient être estimés dans le système de supercondensateur chargé et déchargé en utilisant la source de courant [25]. Aussi, des estimations très élevées de r_P peuvent suggérer que cette résistance pourrait être exclue du modèle de supercondensateur montré en Fig. 2c. Ces estimations très élevées et leurs grandes divergences pour différentes entrées indiquent que les signaux de test utilisés pour estimer ce paramètre ne sont pas appropriés. Le modèle (10) a été utilisé comme la forme la plus générale. Cependant, afin de déterminer précisément tous ses paramètres, il était nécessaire d'utiliser d'autres procédures et signaux de test. La valeur de r_P caractérise le courant de fuite I_L et devrait être déterminée en utilisant le signal de tension constante, mais pour un temps très long – de l'ordre de plusieurs dizaines d'heures.

Bien que le but principal de l'étude était de mesurer l'énergie, diverses conditions d'excitation affectaient largement toutes les estimations de paramètres (voir Tableau 2). Par exemple, l'augmentation de l'amplitude de l'échelon de tension changeait significativement l'ordre d'intégration fractionnaire, comme résultat de l'effet croissant des phénomènes de diffusion à l'intérieur du supercondensateur. On peut aussi voir du Tableau 2 que le supercondensateur est assez non-linéaire. Comme résultat des changements de l'ordre d'intégration, la variation de la capacitivité fractionnaire est aussi observée. Cela s'applique aussi à l'excitation sinusoïdale. Les valeurs des paramètres estimés — surtout α et C_α — dépendent de l'amplitude et de la fréquence (voir Tableau 3). Pour de basses fréquences, la valeur de l'amplitude est importante, tandis que pour des fréquences plus hautes le supercondensateur se comporte comme s'il était excité avec une tension constante.

Calcul de l'énergie

Les figures 7a et 8a montrent les valeurs mesurées de la tension et du courant du supercondensateur pour la configuration présentée en Fig. 4b. Ces valeurs ont été utilisées pour le calcul de l'énergie totale stockée dans le condensateur (marquée comme E₁ dans les Figs. 7b et 8b) selon (16). Tout comme pour les processus d'identification de paramètres, les calculs ont été conduits à la fois pour l'échelon de tension et l'onde sinusoïdale à l'entrée du système. L'énergie calculée de cette manière pour chaque temps t a été comparée avec l'énergie calculée basée sur la tension et la capacitivité conformément à (19) (marquée comme E₃ dans les Figs. 7b et 8b) et l'énergie calculée avec le calcul d'ordre fractionnaire (marquée comme E₂ dans les Figs. 7b et 8b) selon (18). Pour l'Éq. (19), une valeur nominale du supercondensateur a été adoptée (C_n), tandis que dans (18) la valeur obtenue du processus d'estimation présenté dans le Tableau 1 a été utilisée. La figure 7b montre les résultats de mesures et calculs d'énergie pour l'échelon de tension, tandis que la Fig. 8b montre ces mêmes quantités pour l'onde sinusoïdale. Des calculs similaires ont été faits pour différents échelon de tension et excitations sinusoïdales. La figure 9a, b montre un exemple d'énergies mesurées et calculées pour deux échelons de tension de 0,5 V et 2,7 V respectivement. La figure 10 montre les changements d'énergie pour un signal sinusoïdal avec la fréquence de 0,03 rad/s et différentes amplitudes de 0,1/0,25/0,5 et 0,7 V. On peut voir que les différences dans les valeurs d'énergie déterminées correspondent aux différences dans les valeurs estimées de l'ordre fractionnaire α. Plus la différence par rapport à la valeur −1 est grande, plus la différence dans les énergies calculées est grande.

Réponses à un échelon pour tension et courant du supercondensateur (a) et valeurs d'énergie calculées (b)

Réponses sinusoïdales pour tension et courant du supercondensateur (a) et valeurs d'énergie calculées (b)

Quantités d'énergie calculées pour excitations d'échelon de 0,5 V (a) et 2,7 V (b)

Quantités d'énergie calculées pour excitations sinusoïdales avec fréquence 0,03 rad/s et amplitudes 0,1 V (a), 0,25 V (b), 0,5 V (c) et 0,7 V (d)

Discussion

L'utilisation d'électrodes en matériaux poreux dans les supercondensateurs sous forme de charbon actif isolé par un séparateur très fin et l'utilisation de mécanismes d'accumulation de charge comme la double couche, donne une énorme augmentation de leur capacité. Cependant, l'application de nouveaux matériaux et nouvelles solutions de conception résultent en ce que les calculs mathématiques traditionnels sous forme de dérivées et intégrales d'ordre entier apparaissent inexacts. Les mesures et calculs conduits prouvent la nature d'ordre fractionnaire des supercondensateurs. En estimant correctement l'ordre non entier α de dérivée/intégrale, on peut modéliser précisément les phénomènes et processus se produisant à l'intérieur du supercondensateur en utilisant des modèles mathématiques simples.

En tenant compte de la valeur réelle de l'énergie accumulée déterminée par (16), le modèle d'ordre entier avec paramètres nominaux (19) sous-estime la quantité d'énergie, tandis que le modèle fractionnaire (18) indique presque la même valeur.

Les tests et mesures effectués étaient liés à la charge et décharge du supercondensateur par une source de tension. Sous conditions industrielles, les supercondensateurs sont généralement chargés et déchargés par des sources de courant. Cela peut changer la nature du système car le condensateur n'est plus un système inertiel mais devient un système intégrateur typique. Cependant, les mesures conduites par l'auteur indiquent aussi l'occurrence de processus de diffusion dans de tels cas. De toute façon, l'utilité de la dérivée/intégrale de Grünwald-Letnikov est confirmée ici. Un autre problème est lié à l'implémentation de l'opérateur différéo-intégral GL comme, par exemple, la différence GL finie ou tronquée (6), qui peut être computationnellement lourde. Dans de futures recherches, nous comparerons les approximateurs d'Oustaloup [35] et FFLD [24, 36, 37] pour résoudre efficacement le problème d'implémentation.

La quantité de stockage d'énergie dans le supercondensateur calculée seulement sur la valeur mesurée de la tension aux bornes du supercondensateur et en utilisant le modèle (19) n'est pas appropriée. Le modèle (19) n'est valide que si le courant du condensateur est caractérisé par la dérivée d'ordre entier de la tension du condensateur (i_C(t)=du_C(t)/dt). Ce n'est pas vrai pour le supercondensateur en conséquence de sa construction et des matériaux spéciaux utilisés. Cependant, le même problème se produit avec de très grands supercondensateurs chargés par source de courant. Il y a aussi des éléments assez nouveaux comme les super-batteries. Dans toutes ces applications, les changements de courant ne sont pas caractérisés par la dérivée d'ordre entier de la tension aux bornes en conséquence des propriétés spécifiques de ces éléments.

Conclusions

Dans cet article, une nouvelle approche pour l'estimation de la quantité d'énergie accumulée dans les supercondensateurs a été présentée. L'analyse a été conduite en tirant avantage de certaines propriétés uniques des modèles d'ordre fractionnaire. Il a été montré que l'application d'une telle modélisation sophistiquée mène à des résultats très précis, qui peuvent être obtenus même si les modèles eux-mêmes ne sont pas de haute complexité. Cela est dû à une capacité naturelle de la dynamique d'ordre non entier à modéliser les processus de diffusion, juste comme la redistribution de charge dans les supercondensateurs. Les résultats de cet article ont confirmé la nature fractionnaire des supercondensateurs.