Contrôle du mode et de la dispersion dans les guides d'ondes plasmoniques graphène-diélectrique par double non-linéarité

Résumé

Nous étudions les propriétés de mode et de dispersion d'un guide d'ondes plasmonique graphène-diélectrique non-linéaire en tenant compte de la double non-linéarité du diéléctrique et du graphène. Pour la polarisation TM, la distribution du mode, la distribution de la permittivité et la relation de dispersion ont été obtenues en résolvant numériquement les équations de Maxwell. Comparé au cas ne considérant que la non-linéarité du diéléctrique, l'intensité de champ initiale pour exciter les modes plasmoniques diminue nettement avec l'introduction de la double non-linéarité. De plus, l'influence de la double non-linéarité sur la relation de dispersion est discutée, et nous trouvons que la non-linéarité du graphène affecte fortement les propriétés de dispersion. L'introduction de la double non-linéarité entraîne une diminution de l'intensité de champ initiale, ce qui a des applications potentielles dans les commutateurs tout-optiques à faible seuil.

Contexte

Le plasmonique du graphène a attiré une large attention en raison des propriétés électroniques et optiques uniques du graphène comparé aux métaux. Dans la gamme de fréquences THz et infrarouge lointain, la transition intrabande des électrons domine et le graphène se comporte comme un métal. Par conséquent, les polaritons de plasmons de surface (SPP) peuvent être supportés par le graphène. Pour la structure multicouche graphène-diélectrique, l'excitation, le couplage et la propagation des SPP ont été étudiés. Le mode quasi-transverse électromagnétique a été trouvé dans un guide d'ondes à plaques parallèles en graphène. Le couplage des SPP a été étudié dans une structure multicouche graphène-diélectrique. Pour la structure de réseau périodique de monocouches de graphène, un fort couplage entre SPP émerge lorsque les feuilles de graphène sont disposées étroitement.

Des efforts considérables ont été consacrés à l'étude des propriétés optiques des structures composites non-linéaires graphène-diélectrique pour leur grand potentiel dans le contrôle de la propagation de la lumière aux échelles micro et nano. Pour le cas de monocouche de graphène, les plasmons de surface à l'interface entre le graphène et un substrat non-linéaire de type Kerr ont été discutés. Il est montré que la longueur d'onde des plasmons de graphène peut être ajustée en modifiant la permittivité non-linéaire des substrats. Pour la structure multicouche graphène-diélectrique non-linéaire, les propriétés de propagation et de localisation des plasmons de graphène ont été explorées, et les relations de dispersion exactes pour les plasmons de surface TM d'un guide d'ondes à plaques parallèles en graphène ont été obtenues. La longueur de propagation et de localisation sont affectées de manière remarquable en ajustant les permittivités non-linéaires. Récemment, la relation de dispersion pour les modes plasmoniques symétriques et antisymétriques a été dérivée dans une structure de dalle Kerr revêtue de graphène. Outre le mode de propagation avant typique, les modes symétriques et antisymétriques ont été trouvés.

Basée sur la forte non-linéarité du graphène, plusieurs effets optiques non-linéaires ont été prédits. Nesterov et al. ont étudié la propagation non-linéaire de la lumière dans une monocouche de graphène, et ont trouvé que celle-ci peut supporter des solitons spatiaux optiques TE et TM aux fréquences optiques en raison de la non-linéarité intrinsèque du graphène. Plus récemment, en remplaçant la monocouche de graphène par du graphène multicouche, Smirnova et al. ont étudié les propriétés non-linéaires d'un empilement multicouche de feuilles de graphène, et ont dérivé les équations non-linéaires décrivant la dynamique spatiale des plasmons non-linéaires. Les études précédentes se sont principalement concentrées sur l'influence d'une non-linéarité unique sur le contrôle des propriétés de la lumière dans les structures graphène-diélectrique. L'idée de contrôle par double non-linéarité a été introduite dans les super-réseaux photoniques à base de graphène, dans lesquels le contrôle électrique et tout-optique de faisceaux photoniques avec une précision sous-longueur d'onde profonde a été réalisé. Cependant, le contrôle par double non-linéarité des propriétés de mode et de dispersion dans les structures plasmoniques graphène-diélectrique laisse encore de nombreuses questions ouvertes. Par conséquent, dans cet article, nous considérons simultanément la non-linéarité du graphène et du diéléctrique dans le guide d'ondes graphène-diélectrique-graphène, et étudions l'influence de la double non-linéarité sur le couplage des modes et les propriétés de dispersion.

Méthodes

Le guide d'ondes plasmonique graphène-diélectrique non-linéaire est illustré schématiquement à la Fig. 1 : un guide d'ondes à plaques parallèles en graphène avec une conductivité σ_g est placé en x = ± d/2, où le diéléctrique est un milieu de type Kerr avec une permittivité ε = ε_L + α|E|². Dans notre analyse, le graphène est traité comme une frontière en raison de son épaisseur à l'échelle atomique. En considérant des SPP transversaux-magnétiques (TM) qui se propagent le long de la direction z avec une constante de propagation β et décroissent exponentiellement le long de la direction x dans l'air et le milieu non-linéaire, respectivement.

Pour la polarisation TM, il y a trois composantes de champ E_x, E_z et H_y. Le champ magnétique H = H_y y et le champ électrique E = E_x x + E_z z satisfont les équations :

dE_z/dx = iωμ₀H_y + iβE_x (1)

iβH_y = -iωε₀εE_x (2)

dH_y/dx = iωε₀εE_z (3)

où ε₀ et μ₀ sont la permittivité électrique et la perméabilité magnétique du vide. De l'équation (2) et ε = ε_L + α|E|², on obtient :

ε²E_x² = β²/(ω²ε₀²) H_y² (4)

E_x² = (ε - ε_L - αE_z²)/α (5)

En substituant l'équation (5) dans l'équation (4) :

ε³ - (ε_L + αE_z²)ε² - αβ²H_y²/(ω²ε₀²) = 0 (6)

Pour l'équation cubique [20, 21] : x³ + bx² + cx + d = 0 (7)

Le discriminant de l'équation (7) est : Δ = b²c² - 4c³ - 4b³d + 18bcd - 27d² (8)

En posant b = -(ε_L + αE_z²), c = 0, et d = -αβ²H_y²/(ω²ε₀²), il est facile de démontrer que le discriminant de l'équation (6) satisfait :

Δ = -(ε_L + αE_z²)³ αβ²/(ω²ε₀²) H_y² - 27α²β⁴/(ω⁴ε₀⁴) H_y⁴ < 0 (9)

Δ < 0 signifie que l'équation (6) n'a qu'une seule solution réelle. D'après la méthode de Cardano [20], pour l'équation cubique (7), sa racine réelle est :

x = -b/3 + ∛(-q/2 + √((p/3)³ + (q/2)²)) + ∛(-q/2 - √((p/3)³ + (q/2)²)) (10)

où p = c - b²/3, q = d - bc/3 + 2b³/27. En utilisant l'équation (10), on obtient ε. En remplaçant ε dans les équations (2) et (3) par la solution réelle, les équations différentielles ordinaires peuvent être résolues numériquement par une méthode de relaxation.

Résultats et discussions

D'après les conditions de continuité de E_z et H_y, les conditions aux limites en x = ± d/2 satisfont E_1z = E_2z et H_2y - H_1y = σ_g E_z. La conductivité de surface du graphène σ_g est régie par la formule de Kubo [22] incluant les contributions de transition interbande et intrabande. Dans la gamme de fréquences THz et infrarouge lointain, la contribution de transition intrabande domine et la conductivité de surface peut être simplifiée en un type Drude simple [23] :

σ_g = e²μ_c/(πħ²) · i/(ω + iτ^-1) (11)

où e est la charge de l'électron, μ_c est le potentiel chimique du graphène, ω est la fréquence, et τ est le temps de relaxation de l'impulsion. Ce modèle s'applique dans la limite de basse température (k_BT << μ_c) à basse fréquence (ħω ≤ μ_c). Pour la condition de champ fort, la partie non-linéaire de la conductivité doit être considérée et la conductivité totale du graphène s'écrit [16] :

σ_g = σ_L + σ^NL|E_τ|² (12)

où E_τ est la composante tangentielle du champ électrique et σ^NL désigne la conductivité non-linéaire [16] :

σ^NL = -i (3/8) e²/(πħ²) (eν_F/(μ_cω))² μ_c/ω (13)

où ν_F = 0,95 × 10⁸ cm/s est la vitesse de Fermi.

Pour le graphène, seule dans la gamme de fréquences THz et infrarouge lointain sa conductivité de surface peut être simplifiée en un type Drude simple ; par conséquent, nous choisissons la longueur d'onde incidente comme λ = 10 μm. Les autres paramètres sont fixés aux valeurs : ε₁ = 1, ε_L = 2,25, α = 5 × 10^-16 (m/V)² [24], E_F = 0,27 eV, τ = 1,5 ps. Il est bien connu qu'il existe deux modes dans les structures linéaires graphène-diélectrique-graphène, qui sont les modes symétrique et antisymétrique, respectivement. Dans la suite, nous discuterons de l'influence de la non-linéarité sur la distribution des modes dans les structures composites graphène-diélectrique.

En posant H₀ comme la composante initiale du champ magnétique à l'interface d'incidence, en résolvant numériquement les équations (1, 2, 3), la dépendance de l'intensité initiale du champ magnétique H₀ par rapport à la constante de propagation β est donnée à la Fig. 2. La constante de propagation normalisée k_F = √(πn) est en unités d'impulsion de Fermi [25], où n = 6 × 10¹² cm^-2 est la densité de porteurs. Les courbes pleines représentent le cas où seule la non-linéarité du diéléctrique est considérée, tandis que les courbes pointillées désignent le cas où les non-linéarités du diéléctrique et du graphène sont considérées simultanément. D'après la Fig. 2, on trouve que les propriétés des modes pour les deux cas sont les mêmes. Il y a trois branches, ce qui signifie que le guide d'ondes plasmonique non-linéaire peut supporter trois modes. Cependant, comparé au cas de non-linéarité unique, l'intensité de champ initiale diminue apparemment pour le cas de double non-linéarité. Bien que le guide d'ondes plasmonique non-linéaire en graphène puisse supporter trois modes, il est impossible de distinguer quelle branche désigne le mode symétrique, antisymétrique ou asymétrique. Afin de déterminer les propriétés de mode de chaque branche, nous traçons la distribution du champ électrique et magnétique associées aux points A, B, C et D à la Fig. 3, respectivement.

Pour la branche de la courbe pointillée noire, la permittivité et les champs correspondants au point A sont tracés en Fig. 3a, b, dans lesquels la distribution de la permittivité et du champ électrique E_z est symétrique. Par conséquent, cette branche représente le mode symétrique. Pour la branche de la courbe pointillée rouge, la permittivité et les champs correspondants au point B sont donnés en Fig. 3c, d. La distribution de la permittivité est encore symétrique ; cependant, la distribution du champ électrique E_z est antisymétrique, ce qui implique que cette branche est un mode antisymétrique. La distribution de la permittivité et des champs correspondants aux points C et D sont tracées en Fig. 3e–h. On note que la distribution correspondante du champ magnétique et électrique associées à C et D est asymétrique ; par conséquent, la branche de la courbe pointillée bleue représente le mode asymétrique. Simultanément, la distribution asymétrique du champ électrique entraîne la distribution asymétrique de la permittivité.

Ensuite, nous tournons notre attention vers l'influence de la non-linéarité du diéléctrique et du graphène sur la relation de dispersion. La Figure 4 montre la relation de dispersion pour une intensité de champ magnétique initial fixée (H₀ = 300 A/m) et différents potentiels chimiques et coefficients non-linéaires du diéléctrique. Dans les Fig. 4a–c, l'influence du coefficient non-linéaire du diéléctrique sur la relation de dispersion est montrée, où seule la non-linéarité du diéléctrique est considérée. Lorsque le coefficient non-linéaire et la conductivité non-linéaire sont tous deux égaux à zéro (α = 0, σ^NL = 0), la structure non-linéaire dégénère en une structure linéaire. Dans la Fig. 4a, pour le cas linéaire, seuls les modes symétrique et antisymétrique existent. La courbe noire pleine et la courbe rouge pleine représentent respectivement les modes symétrique et antisymétrique. Lorsque le coefficient non-linéaire est non nul, un mode asymétrique comme la branche III montré en Fig. 4b, c apparaît dans la structure. À mesure que le coefficient non-linéaire augmente davantage, l'influence du coefficient sur les propriétés de dispersion devient faible.

Dans la suite, nous introduisons simultanément la non-linéarité du diéléctrique et du graphène, et discutons de l'influence de la non-linéarité du graphène sur la relation de dispersion avec un coefficient non-linéaire du diéléctrique fixé α = 5 × 10^-16 (m/V)². Les résultats sont montrés en Fig. 4d-f. En comparant la Fig. 4d avec la Fig. 4c, on remarque que le phénomène de repli de la relation de dispersion apparaît dans les trois branches. D'après l'équation (13), nous savons que la non-linéarité du graphène peut être contrôlée en ajustant le potentiel chimique. À mesure que la non-linéarité du graphène augmente davantage de μ_c = 0,27 eV à μ_c = 0,16 eV, comme montré en Fig. 4e, le point de repli de la relation de dispersion monte. Pour une non-linéarité du graphène plus grande (avec un petit potentiel chimique μ_c = 0,10 eV), comme montré en Fig. 4f, seul le mode symétrique apparaît et forme une boucle fermée. D'après la Fig. 4, nous savons qu'en considérant seulement la non-linéarité du diéléctrique, la relation de dispersion montre trois branches qui sont presque inchangées à mesure que le coefficient non-linéaire du diéléctrique augmente. Cependant, lorsque nous introduisons davantage la non-linéarité du graphène, le phénomène de repli de la relation de dispersion apparaît. Pour l'intensité de champ magnétique initial H₀ et le potentiel chimique spécifiés, la relation de dispersion ne montre qu'un mode symétrique avec une boucle fermée.

Conclusions

En résumé, nous avons étudié les propriétés de mode et de dispersion du guide d'ondes plasmonique graphène-diélectrique non-linéaire. La distribution du mode, la permittivité et les relations de dispersion ont été obtenues en résolvant numériquement l'équation de Maxwell pour la polarisation TM. Comparé au cas ne considérant que la non-linéarité du diéléctrique, l'intensité de champ initiale diminue apparemment lorsque l'on considère simultanément la non-linéarité du diéléctrique et du graphène. De plus, la double non-linéarité affecte significativement les propriétés de dispersion du guide d'ondes. En particulier, à mesure que la non-linéarité du graphène augmente, les modes antisymétrique et asymétrique fusionnent en un seul et disparaissent progressivement. Par conséquent, seul le mode symétrique peut être trouvé dans le cas de forte non-linéarité.