Comprendre les ondes stationnaires et la résonance dans les lignes de transmission

Lorsqu'un désaccord d'impédance se produit entre une ligne de transmission et sa charge, des ondes réfléchies surgissent. Pour une source alternative continue, les ondes incidente et réfléchie interfèrent pour former des motifs stationnaires connus sous le nom d'ondes stationnaires.

Dans le diagramme ci-dessous, une forme d'onde incidente en forme de triangle est réfléchie à l'extrémité non terminée de la ligne, produisant une réflexion en miroir. La ligne de transmission est dessinée comme une seule ligne épaisse pour la clarté.

L'onde incidente voyage de gauche à droite, tandis que l'onde réfléchie voyage de droite à gauche, comme illustré dans la figure ci-dessous.

 

Onde incidente refléchie sur l'extrémité d'une ligne de transmission non terminée.

 

Si nous additionnons les deux formes d'onde ensemble, nous trouvons qu'une troisième forme d'onde stationnaire est créée le long de la longueur de la ligne, comme montré dans la figure ci-dessous.

 

La somme des ondes incidente et réfléchie est une onde stationnaire.

 

Cette onde stationnaire, l'« onde stationnaire », représente la tension nette le long de la ligne. Elle oscille en magnitude mais ne se propage pas le long du câble comme le font les ondes incidente ou réfléchie.

Remarquez les points marquant les points « zéro » de l'onde stationnaire — où les ondes incidente et réfléchie s'annulent. Ces points ne bougent jamais, comme illustré ci-dessous.

 

L'onde stationnaire ne se propage pas le long de la ligne de transmission.

 

Cas où une onde stationnaire est produite

Les ondes stationnaires apparaissent dans de nombreux systèmes physiques. Par exemple, une corde ou un câble secoué à une extrémité tandis que l'autre extrémité est fixe produira un motif d'onde stationnaire, avec des nœuds (points de mouvement minimal) et des ventres (points de mouvement maximal) qui restent fixes le long de la longueur de la corde. L'effet est plus prononcé lorsque la fréquence d'excitation correspond à l'une des fréquences naturelles de la corde.

Les cordes pincées exhibent un comportement d'onde stationnaire similaire, mais le pincement fournit la propre fréquence de résonance de la corde, assurant une interférence constructive maximale.

Le vent soufflant à travers un tube ouvert crée également des ondes stationnaires sonores. Qu'un nœud ou un ventre apparaisse à l'extrémité du tube dépend de si l'extrémité est ouverte (ventre) ou fermée (nœud).

Dans tous ces systèmes, le motif d'onde stationnaire est déterminé par les conditions aux limites aux extrémités.

Progression des harmoniques des fréquences de résonance

Pour tout système d'ondes stationnaires, de multiples fréquences de résonance existent — chacune correspondant à un multiple entier de la fréquence fondamentale (la plus basse). Ces fréquences plus élevées sont appelées harmoniques ou surtensions.

Dans un tube ouvert, le premier harmonique se produit lorsque un quart de longueur d'onde tient dans la longueur du tube ; les harmoniques suivants sont à une demi, trois quarts, et ainsi de suite. Les fréquences exactes dépendent de la longueur physique du tube et de la vitesse du son dans le milieu.

Harmoniques (surtensions) dans les tubes ouverts

Simulation de la résonance de ligne de transmission avec SPICE

Les lignes de transmission supportent les ondes stationnaires, et ces ondes sont contraintes par l'impédance de terminaison. Lorsque la terminaison ne correspond pas à l'impédance caractéristique de la ligne, la résonance se produit à des fréquences déterminées par la longueur de la ligne et la vitesse de propagation du signal.

Pour illustrer, considérons un système parfaitement adapté : une source, une ligne de transmission 75 Ω, et une charge 75 Ω. Le netlist SPICE ci-dessous modélise ce scénario.

 Ligne de transmission v1 1 0 ac 1 sin rsource 1 2 75 t1 2 0 3 0 z0=75 td=1u rload 3 0 75 .ac lin 101 1m 1meg * Utilisation du programme "Nutmeg" pour tracer l'analyse .end 

Dans ce modèle, la ligne a une impédance caractéristique de 75 Ω et un délai de propagation de 1 µs, ce qui correspond à une longueur physique d'environ 198 m pour un câble coaxial avec un facteur de vélocité de 0,66.

L'exécution de la simulation et le tracé de la tension de la source, la tension à l'extrémité source de la ligne, et la tension de charge montrent que la tension de la source reste à 1 V tandis que les autres nœuds restent à 0,5 V. Aucune résonance n'apparaît car la ligne est parfaitement adaptée.

Aucune résonance sur une ligne de transmission adaptée.

Lorsque la charge est changée en circuit ouvert (≈999 MΩ), les réflexions sont inévitables, et des pics de résonance apparaissent dans le balayage de fréquence de 1 mHz à 1 MHz.

 Ligne de transmission v1 1 0 ac 1 sin rsource 1 2 75 t1 2 0 3 0 z0=75 td=1u rload 3 0 999meg .ac lin 101 1m 1meg * Utilisation du programme "Nutmeg" pour tracer l'analyse .end 

Ligne de transmission à extrémité ouverte.

L'analyse révèle cinq fréquences clés : 0 Hz, 250 kHz, 500 kHz, 750 kHz, et 1 MHz. À chacun de ces points, la distribution de tension et de courant le long de la ligne change de manière prévisible, reflétant le motif d'onde stationnaire.

Par exemple, à 250 kHz, la longueur de la ligne équivaut à un quart de longueur d'onde. L'extrémité de charge devient un ventre de tension (tension maximale) et un nœud de courant (courant nul). Par conséquent, la source voit un circuit ouvert, même si la charge est physiquement ouverte.

À 250 kHz : la source voit un circuit ouvert.

À 500 kHz, la ligne héberge un motif stationnaire demi-onde, avec l'extrémité source agissant à nouveau comme un ventre de tension et nœud de courant.

Onde stationnaire demi-onde sur la ligne.

Lorsque la charge est court-circuitée (≈1 µΩ), les rôles des nœuds de tension et de courant s'inversent : l'extrémité court-circuitée devient un nœud de tension et un ventre de courant.

 Ligne de transmission v1 1 0 ac 1 sin rsource 1 2 75 t1 2 0 3 0 z0=75 td=1u rload 3 0 1u .ac lin 101 1m 1meg * Utilisation du programme "Nutmeg" pour tracer l'analyse .end 

Ligne de transmission court-circuitée.

Même avec une charge partiellement adaptée — disons, 100 Ω sur une ligne 75 Ω — les ondes stationnaires persistent, mais l'amplitude des pics et creux est réduite. Le rapport d'onde stationnaire (SWR) pour ce désaccord est de 1,333, calculé comme le rapport du plus grand au plus petit impédance.

Résonances faibles sur une ligne de transmission mal adaptée.

Dans tous ces exemples, l'onde réfléchie est à 100 % de l'onde incidente à l'extrémité de la ligne, mais les amplitudes de tension et de courant varient le long de la ligne selon la fréquence.

Rapport d'onde stationnaire (SWR)

Le SWR quantifie la sévérité des ondes stationnaires. Il est défini comme le rapport de l'amplitude maximale (ventre) à l'amplitude minimale (nœud) de tension ou de courant le long de la ligne.

Pour une ligne ouverte ou court-circuitée, le SWR est infini car l'amplitude minimale est zéro. Pour une ligne parfaitement adaptée, le SWR est 1 car la tension et le courant sont uniformes le long de la ligne.

Des valeurs de SWR élevées n'indiquent pas seulement un transfert de puissance inefficace mais peuvent aussi stresser l'isolement et les conducteurs de la ligne, causant potentiellement un claquage ou une surchauffe. Inversement, les antennes fonctionnent intentionnellement à SWR élevé pour maximiser le rayonnement.

Implications Pratiques

Dans les systèmes RF, les ingénieurs visent un faible SWR pour assurer une livraison de puissance maximale et minimiser le rayonnement non intentionnel. Cependant, certaines applications — telles que les transformateurs d'adaptation d'impédance ou certains designs d'antennes — exploitent les ondes stationnaires pour atteindre les performances désirées.

Révision

• Ondes stationnaires sont des motifs de tension et courant stationnaires formés par l'interférence des ondes incidente et réfléchie sur une ligne de transmission.
• Un nœud est un point d'amplitude minimale ; un ventre est un point d'amplitude maximale.
• Les ondes stationnaires surgissent seulement lorsque l'impédance de terminaison de la ligne ne correspond pas à son impédance caractéristique.
• La résonance se produit lorsque la longueur de la ligne correspond à un quart de longueur d'onde ou ses multiples entiers.
• Les harmoniques sont des multiples entiers de la fréquence de résonance fondamentale.
• Le rapport d'onde stationnaire (SWR) est le rapport de l'amplitude maximale à minimale ; il équivaut au plus grand de Zcharge ou Z₀ divisé par le plus petit. Une ligne adaptée a SWR = 1.
• Des amplitudes d'ondes stationnaires excessives peuvent endommager les lignes de transmission par sur-tension de l'isolement ou surchauffe des conducteurs.