Impact de la résistance sur la résonance dans les circuits LC série-parallèle

Dans les réseaux LC idéaux avec une résistance négligeable, la fréquence de résonance est régie uniquement par les valeurs de l'inductance et du condensateur, produisant soit une impédance infinie dans un circuit parallèle (réservoir), soit une impédance nulle dans une configuration série. Cependant, une fois qu'une résistance significative est introduite, la condition de résonance simple ne tient plus, et le comportement résonnant réel se déplace.

Dans les exemples ci-dessous, nous gardons le condensateur à 10 µF et l'inductance à 100 mH — les mêmes valeurs utilisées dans les calculs précédents — tout en ajoutant divers éléments résistifs pour observer comment le point de résonance se déplace.

Fréquence de résonance d'un circuit à haute résistance

Notre équation de manuel prédit une résonance de 159,155 Hz. Les simulations SPICE suivantes montrent la fréquence à laquelle le courant atteint son extremum lorsque de la résistance est ajoutée.

Circuit LC parallèle avec une résistance en série avec l'inductance.

 resonant circuit
v1 1 0 ac 1 sin
c1 1 0 10u
r1 1 2 100
l1 2 0 100m
.ac lin 20 100 200
.plot ac i(v1)
.end

Résultat : Le courant minimum se produit à 136,8 Hz, un déplacement vers le bas par rapport aux 159,2 Hz calculés.

L'ajout d'une petite résistance série (Rbogus) du côté condensateur évite les problèmes de convergence SPICE et illustre un déplacement différent :

 resonant circuit
v1 1 0 ac 1 sin
r1 1 2 100
c1 2 0 10u
rbogus 1 3 1e-12
l1 3 0 100m
.ac lin 20 100 400
.plot ac i(v1)
.end

Résultat : Le courant minimum se produit maintenant à environ 180 Hz, un déplacement vers le haut.

Circuits série LC avec résistance parallèle

Nous insérons maintenant une résistance significative en parallèle avec soit l'inductance, soit le condensateur. Une petite résistance de 1 Ω (R1) est également incluse en série pour limiter le courant global à la résonance.

Circuit série LC avec une résistance de 100 Ω en parallèle avec l'inductance.

 resonant circuit
v1 1 0 ac 1 sin
r1 1 2 1
c1 2 3 10u
l1 3 0 100m
r2 3 0 100
.ac lin 20 100 400
.plot ac i(v1)
.end

Résultat : Le pic de courant se déplace à environ 178,9 Hz, un déplacement vers le haut.

Avec la résistance de 100 Ω placée en parallèle avec le condensateur :

Circuit série LC avec une résistance de 100 Ω en parallèle avec le condensateur.

 resonant circuit
v1 1 0 ac 1 sin
r1 1 2 1
c1 2 3 10u
r2 2 3 100
l1 3 0 100m
.ac lin 20 100 200
.plot ac i(v1)
.end

Résultat : Le courant maximum apparaît maintenant à 136,8 Hz, un déplacement vers le bas.

Comprendre l'antirésonance

Le déplacement systématique de la résonance causé par la résistance ajoutée est connu sous le nom d'antirésonance. Le motif observé dans les quatre exemples SPICE est cohérent :

• LC parallèle (réservoir) :
  • R en série avec L → fréquence en baisse
  • R en série avec C → fréquence en hausse
• LC série :
  • R en parallèle avec L → fréquence en hausse
  • R en parallèle avec C → fréquence en baisse

En raison des rôles complémentaires des inductances et condensateurs, la résistance en série avec un élément produit le même déplacement que la résistance en parallèle avec l'autre. L'amplitude du déplacement est identique, et les tracés d'impédance sont des images miroirs.

L'effet de peau

Les inductances réelles contiennent une résistance significative due à leurs longs enroulements. Cette résistance augmente avec la fréquence à cause de l'effet de peau — le courant alternatif a tendance à circuler près de la surface du conducteur, réduisant la section transversale effective et augmentant ainsi la résistance.

Pertes dans le noyau des inductances à noyau de fer

Une autre source de résistance est la génération de courants de Foucault dans le noyau de fer lorsque le flux magnétique change. Ces « pertes dans le noyau » se comportent comme une charge résistive additionnelle, qui peut être atténuée par des noyaux laminés et des matériaux magnétiques de haute qualité mais ne peut être entièrement éliminée.

Circuits RLC

Lorsque les trois éléments — résistance, inductance et condensateur — sont connectés en série, la fréquence de résonance reste inchangée même si la résistance série est importante. Le résultat SPICE le confirme :

Circuit série RLC : résonance à 159,2 Hz ; résistance accrue n'élargit que le pic.

 series rlc circuit
v1 1 0 ac 1 sin
r1 1 2 100
c1 2 3 10u
l1 3 0 100m
.ac lin 20 100 200
.plot ac i(v1)
.end

Résultat : Le maximum de courant reste à 159,2 Hz, confirmant que la résonance est préservée.

Effet d'amortissement de l'antirésonance

Dans un circuit réservoir sans pertes, l'énergie oscille indéfiniment, comme un pendule sans frottement. Les circuits réels subissent cependant des pertes d'énergie dues à la résistance, aux pertes dans le noyau ou au rayonnement, causant la décroissance de l'oscillation. L'antirésonance peut être délibérément introduite pour amortir les oscillations indésirables, par exemple en ajoutant une résistance en parallèle avec une capacitance parasite.

Considérons un circuit de temporisation L/R :

Lorsque l'interrupteur se ferme, l'inductance se charge avec une constante de temps L/R. En pratique, la capacitance parasite entre les enroulements de la bobine et le circuit environnant peut produire des oscillations. L'ajout d'une résistance suffisante produit l'antirésonance, dissipant l'énergie et empêchant les oscillations prolongées.

Le même principe s'applique dans les systèmes mécaniques — les amortisseurs dans les véhicules dissipent l'énergie cinétique pour supprimer les vibrations résonnantes.

Révision

• La résistance ajoutée peut déplacer la résonance — ce phénomène s'appelle antirésonance.
• La résistance de l'inductance augmente avec la fréquence en raison de l'effet de peau, et les inductances à noyau de fer subissent aussi une résistance de pertes dans le noyau.
• Dans un vrai circuit série RLC, la résonance reste à la fréquence prédite par L et C ; la résistance n'affecte que la bande passante.

Feuilles de travail connexes

• Feuille de travail sur la résonance