Théorème de compensation - Preuve, explication et exemples résolus

Preuve, explication, expérience et exemples résolus de théorème de compensation pour l'analyse de circuit

Théorème de compensation

Parfois, dans la théorie des réseaux, il est important de connaître ou d'étudier l'effet d'un changement d'impédance dans l'une de ses branches. Cela affectera la tension et les courants correspondants du réseau ou du circuit. Le théorème de compensation renseigne sur l'évolution du réseau.

Le théorème de compensation fonctionne sur le concept de base de la loi d'Ohm. Selon la loi d'Ohm, lorsqu'un courant traverse la résistance, une certaine quantité de chute de tension se produit à travers la résistance. Cette chute de tension s'opposera à la tension de la source.

Par conséquent, nous connectons une source de tension supplémentaire de polarité opposée par rapport à la tension de la source et l'amplitude est égale à la chute de tension. Le théorème de compensation fonctionne sur ce concept.

Le théorème de compensation stipule que,

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Explication du théorème de compensation

Pour comprendre le théorème de compensation, considérez la figure ci-dessous.

Dans cette figure, la source de tension V est une tension et une source indépendantes et deux impédances Z₁ et Z₂ sont des éléments linéaires ou bilatéraux. On peut donc appliquer le théorème de compensation à ce réseau. Le courant qui traverse la boucle est I.

Maintenant, supposons que l'impédance Z₂ augmenté de ∆Z. En raison de ce changement, le courant qui traverse la boucle est modifié et c'est I'. Le nouveau schéma de circuit est illustré dans la figure ci-dessous.

En raison du changement d'impédance, le changement de courant donné par ∆I.

ΔI =je – je’

Selon l'énoncé du théorème de compensation, nous pouvons calculer directement la variation du courant ∆I. Pour cela, nous devons modifier le circuit.

La première modification consiste à connecter une source de tension de valeur I∆Z dans la branche dont l'impédance est modifiée. Et la polarité de cette source de tension est opposée à la source principale. La nouvelle source de tension V_C est connue comme la source de compensation.

V_C =je ΔZ

La deuxième modification est que nous devons supprimer l'ancienne source de tension par son impédance interne. Si l'on considère une source de tension idéale, dans cette condition, on peut supprimer cette source de tension en court-circuitant sa borne. Après ces modifications, le circuit restant est comme indiqué sur la figure ci-dessous.

En résolvant le circuit ci-dessus, nous pouvons facilement trouver le changement de courant après le changement d'impédance.

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Preuve du théorème de compensation

Considérez le circuit donné dans la figure-1. Calculer le courant (I) traversant la boucle.

Appliquer KVL au chiffre 1 ;

Maintenant, nous avons supposé que l'impédance Z₂ est modifié par ∆Z. Et le circuit modifié est comme indiqué sur la figure-2. Nous devons calculer (I ') le courant passe dans la boucle de la figure 2.

Appliquer KVL au chiffre 2 ;

En raison du changement d'impédance, le changement de courant de boucle est noté ∆I. Et le ∆I est égal à la différence entre l'ancien courant I et le nouveau courant I'.

ΔI =je – je’

Maintenant, considérez la figure ci-dessous.

Cette figure représente le circuit après l'implémentation du théorème de compensation. Ici, la source de tension d'origine est supprimée par court-circuit (en supposant une source de tension idéale).

Nous allons trouver le courant qui passe dans cette boucle qu'est I". Et comparez ce courant avec le courant calculé ci-dessus.

Pour calculer le courant qui traverse la boucle, appliquez KVL à la figure ci-dessus.

V_C =Z ₁ je" +(Z ₂ +ΔZ ) je"

V_C =je" (Z ₁ + Z ₂ + ΔZ )

Je" =V_C / (Z ₁ + Z ₂ + ΔZ )

Je" =ΔI

Par conséquent, il est prouvé que le changement de courant (∆I) après modification est le même que le courant calculé par le théorème de compensation.

Et nous avons prouvé l'énoncé du théorème de compensation.

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Une expérience du théorème de compensation

Objectif : Démontrez le théorème de compensation et trouvez le changement de courant.

Appareil : Voltmètre, Ampèremètre, Résistances, Fils de connexion, Breadboard,

Schéma du circuit :

Procédure :

Étape 1 Connectez les composants comme illustré à la figure 5 à l'aide d'un fil de connexion sur une planche à pain.

Étape 2 Mesurez l'I actuel.

Étape 3 Connectez les composants comme illustré à la figure 6. Ici, nous avons connecté une résistance supplémentaire.

Étape 4 Mesurez le courant I1.

Étape 5 Calculez le changement de courant (∆I) à partir de la valeur de I et I1.

Étape 6 Connectez les composants comme illustré à la figure 7. Ce circuit est un circuit de compensation.

Étape 7 Mesurez le courant I".

Étape 8 Comparez le changement de courant (∆I) avec le I".

Tableau d'expérience :

Sr. Non.	Je	Je 1	∆je	Je”
1

Résultat :

En comparant la valeur du courant I'' avec ∆I, nous pouvons prouver le théorème de compensation.

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Exemple de théorème de compensation

Exemple-1

• 1) Trouver le courant traversant la branche AB lorsque la résistance est de 3Ω.
• 2) Trouvez le courant traversant la branche AB en utilisant le théorème de compensation lorsque la résistance de 3Ω est changée en 9Ω.
• 3) Démontrer le théorème de compensation.

Réponse-1

Comme le montre la figure, les résistances 6Ω et 3Ω sont en parallèle. Et cette combinaison parallèle est connectée en série avec une résistance de 3Ω. Par conséquent, la résistance équivalente sera ;

R _Éq =6 | | 3+3

R _Éq =2 + 3

R _Éq =5Ω

Selon la loi d'Ohm ;

10 =je (5)

Je =10 ÷ 5

Je =2A

Maintenant, nous devons trouver les passages actuels à travers la branche AB. Donc, selon la règle de division actuelle ;

Je’ =1,333 A (ou 3/4 A)

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Réponse-2

Nous devons remplacer la résistance 3 Ω par une résistance 9 Ω. Selon le théorème de compensation, nous devons ajouter une nouvelle source de tension en série avec la résistance 9Ω. Et la valeur de cette source de tension est :

V_C =je" ΔZ

Où,

ΔZ =9 – 3 =6 Ω et I’ =4/3 A (ou 1,333 A)

V_C =(4/3A) x 6Ω

V_C =8V

Un schéma de circuit modifié ou un schéma de circuit compensé est comme indiqué dans la figure ci-dessous.

Maintenant, nous allons trouver la résistance équivalente. Ici, les résistances 3Ω et 6Ω sont connectées en parallèle. Et cette combinaison parallèle est connectée en série avec une résistance de 9Ω.

R_Eq =3 | | 6 + 9

R_Eq =2 + 9

R_Eq =11Ω

Maintenant, selon la loi d'Ohm ;

V =ΔI R

8 =ΔI (11Ω)

ΔI =8 ÷ 11

ΔI =0,7272 A

Donc, selon le théorème de compensation ; la variation de courant est de 0,7272 A.

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Réponse-3

Nous voulons prouver le théorème de compensation. Donc, nous calculons le courant dans l'exemple donné avec une résistance de 9Ω.

Le schéma de circuit modifié est illustré dans la figure ci-dessous.

Ici, les résistances 9Ω et 6Ω sont connectées en parallèle et cette combinaison parallèle est connectée en série avec la résistance 3Ω.

La résistance équivalente est égale à ;

R_Eq =9 | | 6 + 3

R_Eq =99 ÷ 15

R_Eq =6,66 Ω

D'après la figure ci-dessus ;

10 =je (6.66)

Je =10 ÷ 6,66

Je =1,5151 A

Selon la règle de division actuelle ;

Je" =0.6060A

ΔI =je" – je"

ΔI =(4/3A) – 0,6060

ΔI =1.333A – 0.6060

ΔI =0,7273 A

Par conséquent, il est prouvé que le changement de courant calculé à partir du théorème de compensation est le même que le changement de courant calculé à partir du circuit d'origine.

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Exemple-2

Dans le circuit ci-dessous, trouvez le changement de courant si la résistance de 3 Ω est remplacée par une résistance de 7 Ω en utilisant le théorème de compensation. Et prouver le théorème de compensation.

Le réseau ci-dessus se compose uniquement de résistances et de sources de courant indépendantes. Nous pouvons donc appliquer le théorème de compensation à ce réseau.

Sur cette figure, le réseau est alimenté par une source de courant. Maintenant, nous devons trouver le courant qui traverse la branche de résistance 3Ω. Ce courant peut être trouvé en utilisant KCL ou KVL. Mais ici, ce courant peut facilement être trouvé par la règle du diviseur de courant.

Par conséquent, selon la règle de division actuelle ;

Je =70 ÷ 10 A

Je =7A

Dans le réseau d'origine avec une résistance de 3 Ω, le courant qui traverse cette branche est de 3 A. Maintenant, nous devons changer cette résistance de 3Ω à 7Ω. En raison de cette modification, le courant qui traverse cette branche sera modifié. Et nous trouverons ce changement de courant par le théorème de compensation.

Pour cela, nous devons créer un réseau de compensation. Pour créer un réseau de compensation, nous devons supprimer toutes les sources indépendantes disponibles dans le réseau en court-circuitant la source de tension et en ouvrant le circuit de la source de courant.

Dans ce réseau, une seule source de courant est disponible. Nous supposons que la source de courant est une source de courant idéale. Par conséquent, nous n'avons pas besoin d'ajouter la résistance interne.

La deuxième modification que nous devons apporter au circuit de compensation consiste à ajouter une source de tension supplémentaire. Et la valeur de cette tension est ;

V_C =je ΔZ

V_C =7 × (7 – 3)

V_C =7 × 4

V_C =28 V

Le réseau de rémunération est comme indiqué dans la figure ci-dessous.

Cette figure n'a qu'une seule boucle. Et le courant qui passe dans la branche de 7Ω nous donnera la variation de courant (∆I).

ΔI =V_C ÷ (7+7)

ΔI =28 ÷ 14

ΔI =2A

Pour prouver le théorème de compensation, nous allons trouver le courant dans le circuit avec une résistance de 7 Ω connectée. Le schéma de circuit modifié est illustré dans la figure ci-dessous.

Je" =(10 (7)) ÷ (7 + 7)

Je" =70 ÷ 14

Je" =5A

En appliquant la règle de division actuelle ;

Pour trouver le changement de courant, nous devons soustraire ce courant du courant qui traverse le réseau d'origine.

ΔI =je – je"

ΔI =7 – 5

ΔI =2A

Par conséquent, nous avons prouvé le théorème de compensation.

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