Guide MATLAB : Calcul efficace des dérivées de polynômes

En mathématiques, une dérivée représente le taux de variation d'une fonction par rapport à une variable. En termes simples, elle nous dit comment une fonction change à un point donné. Les dérivées sont fondamentales en calcul et sont largement utilisées dans des domaines comme la physique, l'ingénierie et l'économie pour modéliser le changement et le mouvement.

Par exemple, si vous avez une fonction qui décrit la position d'une voiture au fil du temps, la dérivée de cette fonction vous donnerait la vitesse de la voiture (taux de variation de la position).

Dérivées des polynômes

Un polynôme est une expression mathématique consistant en des variables élevées à différentes puissances, combinées avec des coefficients. Par exemple, le polynôme P(x) = 3x² + 2x + 5 est un polynôme de second degré.

La dérivée d'une fonction polynomiale est trouvée en appliquant une règle simple : pour chaque terme, multiplier le coefficient par l'exposant, puis réduire l'exposant de 1. Ce processus est répété pour chaque terme du polynôme.

Par exemple, considérons le polynôme :

 P(x) = 3x³ + 4x² + 2x + 1 

La dérivée, P'(x), est calculée comme −

• Pour le terme 3x³ : Multiplier 3 par 3 (l'exposant), résultant en 9x².
• Pour le terme 4x² : Multiplier 4 par 2, résultant en 8x.
• Pour le terme 2x : Multiplier 2 par 1, résultant en 2.
• Le terme constant (1) a une dérivée de 0.

Donc, la dérivée est −

 P'(x) = 9x² + 8x + 2 

Dérivées dans MATLAB

MATLAB facilite le calcul des dérivées de polynômes en utilisant des fonctions intégrées. Un polynôme dans MATLAB est représenté par un vecteur contenant ses coefficients, ordonnés par puissances décroissantes de la variable.

Pour trouver la dérivée d'un polynôme, MATLAB fournit la fonction polyder.

Syntaxe

 k = polyder(p) k = polyder(a,b) [q,d] = polyder(a,b) 

Explication de la syntaxe

k = polyder(p) calcule la dérivée d'un polynôme donné par les coefficients dans p, résultant en un nouveau polynôme k(x) qui représente la dérivée d/dx p(x).

k = polyder(a,b) calcule la dérivée du produit de deux polynômes a et b, résultant en un nouveau polynôme k(x) qui représente.

$$ \frac{d}{dx}[a(x) \cdot b(x)] $$

[q, d] = polyder(a, b) calcule la dérivée du quotient de deux polynômes a et b, retournant deux polynômes : q(x) (le numérateur) et d(x) (le dénominateur), représentant la dérivée de a(x)/b(x).

Exemple 1 : Calcul de la dérivée en utilisant polyder(p)

Considérons que nous avons un polynôme

 P(x) = 4x³ + 3x² + 2x + 1 

Ce polynôme peut être représenté par le vecteur de ses coefficients dans MATLAB −

 p = [4 3 2 1]; 

Pour calculer la dérivée de ce polynôme, nous utilisons la fonction polyder dans MATLAB −

 k = polyder(p); 

À l'exécution du code dans la fenêtre de commande MATLAB, la sortie est.

 >> p = [4 3 2 1]; k = polyder(p) k = 12 6 2 >> 

Pour le terme 4x³, la dérivée est 12x² (multiplier le coefficient 4 par l'exposant 3 et réduire l'exposant de 1).

Pour le terme 3x², la dérivée est 6x.

Pour le terme 2x, la dérivée est 2.

Pour le terme constant 1, la dérivée est 0.

Ainsi, le polynôme dérivé est :

 k(x) = 12x² + 6x + 2 

Dans MATLAB, le résultat de k sera : [12 6 2]

Exemple 2 : Autre exemple pour trouver les dérivées d'un polynôme

Considérons le polynôme suivant

 p(x) = 5x⁴ - 2x³ + 7x² - 3x + 8 

Ce polynôme peut être représenté par le vecteur de ses coefficients dans MATLAB −

 p = [5 -2 7 -3 8] 

Pour trouver la dérivée de ce polynôme, nous utiliserons la fonction polyder dans MATLAB.

 k = polyder(p) 

Cette commande retournera les coefficients de la dérivée du polynôme p.

Quand vous exécutez le code dans la fenêtre de commande MATLAB, la sortie est :

 >> p = [5 -2 7 -3 8]; k = polyder(p) k = 20 -6 14 -3 >> 

Le vecteur k = [20 -6 14 -3] représente le polynôme

 k(x) = 20x³ - 6x² + 14x - 3 

Exemple 3 : Dérivée du produit de deux polynômes en utilisant polyder(a, b)

Considérons deux polynômes

 a(x) = 2x² + 3x + 1 b(x) = 4x + 5 

Ces polynômes peuvent être représentés par des vecteurs de leurs coefficients dans MATLAB :

 a = [2 3 1] b = [4 5] 

Pour calculer la dérivée du produit de ces deux polynômes, nous utilisons la fonction polyder avec deux arguments d'entrée.

 k = polyder(a, b); 

Cela retournera les coefficients de la dérivée du produit de a(x) et b(x).

Quand vous exécutez le code dans la fenêtre de commande MATLAB, la sortie que nous obtenons est :

 >> a = [2 3 1]; b = [4 5]; k = polyder(a, b) k = 24 44 19 >> 

Donc, le polynôme dérivé est : k(x) = 24x² + 44x + 19

Exemple 4 : Dérivée de deux polynômes donnés

Considérons deux polynômes différents.

 a(x) = 3x³ + 2x² + x + 4 b(x) = x² - 5x + 6 

Ces polynômes peuvent être représentés par les vecteurs de coefficients suivants dans MATLAB.

 a = [3 2 1 4]; b = [1 -5 6]; 

Pour calculer la dérivée du produit de ces deux polynômes, nous utilisons la fonction polyder avec les vecteurs a et b comme entrées

 k = polyder(a, b); 

Cette commande retournera les coefficients de la dérivée du produit de a(x) et b(x).

Quand le code est exécuté dans la fenêtre de commande MATLAB, la sortie est :

 >> a = [3 2 1 4]; b = [1 -5 6]; k = polyder(a, b) k = 15 -52 27 22 -14 >> 

Donc, le polynôme dérivé est −

 k(x) = 15x⁴ - 52x³ + 27x² + 22x - 14 

Exemple 5 : Dérivée du quotient de deux polynômes en utilisant [q, d] = polyder(a, b)

Considérons deux polynômes −

 a(x) = 4x² + 3x + 2 b(x) = x² - 2x + 1 

Ces polynômes peuvent être représentés par des vecteurs de leurs coefficients dans MATLAB.

 a = [4 3 2]; b = [1 -2 1]; 

Pour calculer la dérivée du quotient a(x) / b(x), nous utilisons la fonction polyder avec deux arguments de sortie q et d.

 [q,d] = polyder(a,b) 

Cela retournera deux polynômes : q(x) (le numérateur) et d(x) (le dénominateur) de la dérivée de a(x) / b(x).

Quand le code est exécuté dans la fenêtre de commande MATLAB, la sortie est :

 >> a = [4 3 2]; b = [1 -2 1]; [q,d] = polyder(a,b) q = -11 4 7 d = 1 -4 6 -4 1 >>