Guide MATLAB :Calculer efficacement les dérivées polynomiales

En mathématiques, une dérivée représente le taux de variation d'une fonction par rapport à une variable. En termes simples, cela nous indique comment une fonction évolue à un moment donné. Les dérivés sont fondamentaux en calcul et sont largement utilisés dans des domaines tels que la physique, l'ingénierie et l'économie pour modéliser le changement et le mouvement.

Par exemple, si vous disposez d'une fonction qui décrit la position d'une voiture au fil du temps, la dérivée de cette fonction vous donnera la vitesse de la voiture (taux de changement de position).

Dérivées de polynômes

Un polynôme est une expression mathématique constituée de variables élevées à différentes puissances, combinées à des coefficients. Par exemple, le polynôme P(x) =3x2 + 2x + 5 est un polynôme du deuxième degré.

La dérivée d'une fonction polynomiale se trouve en appliquant une règle simple :pour chaque terme, multipliez le coefficient par l'exposant, puis réduisez l'exposant de 1. Ce processus est répété pour chaque terme du polynôme.

Par exemple, considérons le polynôme :

P(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 1

La dérivée , P(x), est calculée comme −

• Pour le terme 3 x 3 :multipliez 3 par 3 (l'exposant), ce qui donne 9 x 2.
• Pour le terme 4 x 2 :multipliez 4 par 2, ce qui donne 8 x.
• Pour le terme 2x :multipliez 2 par 1, vous obtenez 2.
• Le terme constant (1) a une dérivée de 0.

Donc, la dérivée est −

P(x) = 9x2 + 8x + 2

Dérivés dans MATLAB

MATLAB facilite le calcul des dérivées de polynômes à l'aide de fonctions intégrées. Un polynôme dans MATLAB est représenté par un vecteur contenant ses coefficients, classés par puissances décroissantes de la variable.

Pour trouver la dérivée d'un polynôme, MATLAB fournit la fonction polyder.

Syntaxe

k = polyder(p)
k = polyder(a,b)
[q,d] = polyder(a,b)

Explication de la syntaxe

k =polyder(p) calcule la dérivée d'un polynôme donné par les coefficients dans p, résultant en un nouveau polynôme k(x) qui représente la dérivée d/dx p(x).

k =polyder(a,b) calcule la dérivée du produit de deux polynômes a et b, résultant en un nouveau polynôme k(x) qui représente.

$$\mathrm{\frac{d}{dx}[a(x) \:\cdot \:b(x)]}$$

[q, d] =polyder(a, b) calcule la dérivée du quotient de deux polynômes a et b, renvoyant deux polynômes :q(x) (le numérateur) et d(x) (le dénominateur), représentant la dérivée de a(x)/b(x).

Exemple 1 : Calcul de la dérivée à l'aide de polyder(p)

Considérons que nous avons un polynôme

P(x) = 4x3 + 3x2 + 2x + 1

Ce polynôme peut être représenté par le vecteur de ses coefficients dans MATLAB −

p = [4 3 2 1];

Pour calculer la dérivée de ce polynôme, nous utilisons la fonction polyder dans MATLAB −

k = polyder(p);

Lors de l'exécution du code dans la fenêtre de commande matlab, le résultat est.

>> p = [4 3 2 1];
k = polyder(p)
k =
 12 6 2
>>

Pour le terme 4x3, la dérivée est 12x2 (multipliez le coefficient 4 par l'exposant 3 et réduisez l'exposant par 1).

Pour le terme 3x2, la dérivée est 6x.

Pour le terme 2x, la dérivée est 2.

Car le terme constant 1 a une dérivée de 0.

Ainsi, le polynôme dérivé est :

k(x) = 12x2 + 6x + 2

Dans Matlab le résultat de k sera :[12 6 2]

Exemple 2 :Un autre exemple pour trouver les dérivées d'un polynôme

Pensez à suivre le polynôme

p(x) = 5x4 + 2x3 + 7x2 - 3x + 8 

Ce polynôme peut être représenté par le vecteur de ses coefficients dans MATLAB −

p = [5 -2 7 -3 8]

Pour trouver la dérivée de ce polynôme, nous utiliserons la fonction polyder de matlab.

k = polyder(p)

Cette commande renverra les coefficients de la dérivée du polynôme p.

Lorsque vous exécutez le code dans la fenêtre de commande Matlab, le résultat est :

>> p = [5 -2 7 -3 8];
k = polyder(p)
k =
 20 -6 14 -3
>> 

Le vecteur k =[20 -6 14 -3] représente le polynôme

k(x) = 20x3 - 6x2 + 14x - 3

Exemple 3 :Dérivée du produit de deux polynômes utilisant polyder(a, b)

Considérons deux polynômes

a(x) = 2x2 + 3x + 1
b(x) = 4x + 5

Ces polynômes peuvent être représentés par des vecteurs de leurs coefficients dans MATLAB :

a = [2 3 1]
b = [4 5] 

Pour calculer la dérivée du produit de ces deux polynômes, nous utilisons la fonction polyder avec deux arguments d'entrée.

k = polyder(a, b);

Cela renverra les coefficients de la dérivée du produit de a(x) et b(x).

Lorsque vous exécutez le code dans la fenêtre de commande Matlab, le résultat que nous obtenons est :

>> a = [2 3 1];
b = [4 5]; 
k = polyder(a, b)
k =
 24 44 19
>>

Ainsi, le polynôme dérivé est :k(x) =24x2 + 44x + 19

Exemple 4 :Dérivée de deux polynômes donnés

Considérons deux polynômes différents.

a(x) = 3x3 + 2x2 + x + 4
b(x) = x2 - 5x + 6

Ces polynômes peuvent être représentés par les vecteurs de coefficients suivants dans MATLAB.

a = [3 2 1 4];
b = [1 -5 6];

Pour calculer la dérivée du produit de ces deux polynômes, nous utilisons la fonction polyder avec les vecteurs a et b en entrées

k = polyder(a, b);

Cette commande renverra les coefficients de la dérivée du produit de a(x) et b(x).

Lorsque le code est exécuté dans la fenêtre de commande Matlab, le résultat est :

>> a = [3 2 1 4];
b = [1 -5 6];
k = polyder(a, b)
k =
 15 -52 27 22 -14
>> 

Ainsi, le polynôme dérivé est −

k(x) = 15x4 - 52x3 + 27x2 + 22x - 14

Exemple 5 :Dérivée du quotient de deux polynômes utilisant [q, d] =polyder(a, b)

Considérons deux polynômes −

a(x) = 4x2 + 3x + 2
b(x) = x2 - 2x + 1

Ces polynômes peuvent être représentés par des vecteurs de leurs coefficients dans Matlab.

a = [4 3 2];
b = [1 -2 1];

Pour calculer la dérivée du quotient a(x) / b(x), nous utilisons la fonction polyder avec deux arguments de sortie q et d.

[q,d] = polyder(a,b)

Cela renverra deux polynômes :q(x) (le numérateur) et d(x) (le dénominateur) de la dérivée de a(x) / b(x).

Lorsque le code est exécuté dans la fenêtre de commande Matlab, le résultat est :

>> a = [4 3 2];
b = [1 -2 1];
[q,d] = polyder(a,b)
q =
 -11 4 7
d =
 1 -4 6 -4 1
>>