Analyse de circuits série-parallèle RC et RL avec impédance complexe

Maintenant que nous avons vu comment l'analyse des circuits alternatifs en série et en parallèle n'est pas fondamentalement différente de l'analyse des circuits continus, il ne devrait pas surprendre que l'analyse série-parallèle soit la même également, en utilisant simplement des nombres complexes au lieu de scalaires pour représenter tension, courant et impédance. Prenons cet exemple de circuit série-parallèle :

Exemple de circuit série-parallèle R, L et C.

La première étape, comme d'habitude, est de déterminer les valeurs d'impédance (Z) pour tous les composants en fonction de la fréquence de la source d'alimentation alternative. Pour ce faire, nous devons d'abord déterminer les valeurs de réactance (X) pour tous les inducteurs et condensateurs, puis convertir les valeurs de réactance (X) et de résistance (R) en forme d'impédance (Z) appropriée :

Maintenant, nous pouvons établir les valeurs initiales dans notre tableau :

Étant un circuit combiné série-parallèle, nous devons le réduire à une impédance totale en plus d'une étape. La première étape consiste à combiner L et C₂ comme une combinaison série d'impédances, en ajoutant leurs impédances ensemble.

Ensuite, cette impédance sera combinée en parallèle avec l'impédance de la résistance, pour arriver à une autre combinaison d'impédances. Finalement, cette quantité sera ajoutée à l'impédance de C₁ pour obtenir l'impédance totale.

Pour que notre tableau puisse suivre toutes ces étapes, il sera nécessaire d'ajouter des colonnes supplémentaires afin que chaque étape puisse être représentée.

L'ajout de colonnes horizontalement au tableau montré ci-dessus serait impraticable pour des raisons de formatage, donc je placerai une nouvelle rangée de colonnes en dessous, chaque colonne désignée par sa combinaison de composants respective :

Le calcul de ces nouvelles impédances (de combinaison) nécessitera une addition complexe pour les combinaisons série et la formule des « inverses » pour les impédances complexes en parallèle. Cette fois, il n'y a pas d'évitement de la formule des inverses : les chiffres requis ne peuvent être obtenus d'aucune autre façon !

Voyant que notre second tableau contient une colonne pour « Total », nous pouvons supprimer cette colonne du premier tableau. Cela nous donne un tableau avec quatre colonnes et un autre avec trois colonnes.

Maintenant que nous connaissons l'impédance totale (818,34 Ω ∠ -58,371°) et la tension totale (120 volts ∠ 0°), nous pouvons appliquer la loi d'Ohm (I=E/Z) verticalement dans la colonne « Total » pour obtenir une valeur pour le courant total :

À ce stade, nous nous demandons : y a-t-il des composants ou combinaisons de composants qui partagent soit la tension totale, soit le courant total ? Dans ce cas, à la fois C₁ et la combinaison parallèle R//(L—C₂) partagent le même courant total, puisque l'impédance totale est composée des deux ensembles d'impédances en série.

Ainsi, nous pouvons transférer la valeur du courant total dans les deux colonnes :

Maintenant, nous pouvons calculer les chutes de tension aux bornes de C₁ et de la combinaison série-parallèle R//(L—C₂) en utilisant la loi d'Ohm (E=IZ) verticalement dans ces colonnes de tableau :

Une vérification rapide de notre travail à ce stade serait de voir si les chutes de tension aux bornes de C₁ et de la combinaison R//(L—C₂) s'additionnent bien au total. Selon la loi des mailles de Kirchhoff, elles le devraient !

Cette dernière étape n'était qu'une précaution. Dans un problème avec autant d'étapes, il y a beaucoup d'opportunités d'erreur. Des vérifications croisées occasionnelles comme celle-ci peuvent économiser beaucoup de travail et de frustration en identifiant les problèmes avant l'étape finale.

Après avoir résolu les chutes de tension aux bornes de C₁ et de la combinaison R//(L—C₂), nous nous posons à nouveau la question : quels autres composants partagent la même tension ou le même courant ?

Dans ce cas, la résistance (R) et la combinaison de l'inductance et du second condensateur (L—C₂) partagent la même tension, car ces ensembles d'impédances sont en parallèle l'un avec l'autre. Par conséquent, nous pouvons transférer la valeur de tension récemment résolue dans les colonnes pour R et L—C₂ :

Maintenant, nous sommes prêts à calculer le courant à travers la résistance et à travers la combinaison série L—C₂. Tout ce que nous avons à faire est d'appliquer la loi d'Ohm (I=E/Z) verticalement dans ces deux colonnes :

Une autre vérification rapide serait de voir si les valeurs de courant pour L—C₂ et R s'additionnent au courant total. Selon la loi des nœuds de Kirchhoff, elles le devraient :

Puisque L et C₂ sont connectés en série, et que nous connaissons le courant à travers leur impédance de combinaison série, nous pouvons distribuer cette valeur de courant aux colonnes L et C₂ suivant la règle des circuits série selon laquelle les composants série partagent le même courant :

Avec une dernière étape (en fait, deux calculs), nous pouvons compléter notre tableau d'analyse pour ce circuit. Avec les valeurs d'impédance et de courant en place pour L et C₂, il ne reste qu'à appliquer la loi d'Ohm (E=IZ) verticalement dans ces deux colonnes pour calculer les chutes de tension.

Maintenant, tournons-nous vers SPICE pour une vérification informatique de notre travail :

Exemple de circuit SPICE série-parallèle R, L, C.

 ac series-parallel r-l-c circuit
v1 1 0 ac 120 sin
vit 1 2 ac 0
vilc 3 4 ac 0
vir 3 6 ac 0
c1 2 3 4.7u
l 4 5 650m
c2 5 0 1.5u
r 6 0 470
.ac lin 1 60 60
.print ac v(2,3) vp(2,3) i(vit) ip(vit)
.print ac v(4,5) vp(4,5) i(vilc) ip(vilc)
.print ac v(5,0) vp(5,0) i(vilc) ip(vilc)
.print ac v(6,0) vp(6,0) i(vir) ip(vir)
.end

 freq v(2,3) vp(2,3) i(vit) ip(vit) C1
6.000E+01 8.276E+01 -3.163E+01 1.466E-01 5.837E+01

 freq v(4,5) vp(4,5) i(vilc) ip(vilc) L
6.000E+01 1.059E+01 -1.388E+02 4.323E-02 1.312E+02

 freq v(5) vp(5) i(vilc) ip(vilc) C2
6.000E+01 7.645E+01 4.122E+01 4.323E-02 1.312E+02

 freq v(6) vp(6) i(vir) ip(vir) R
6.000E+01 6.586E+01 4.122E+01 1.401E-01 4.122E+01

Chaque ligne de la sortie SPICE donne la tension, l'angle de phase de tension, le courant et l'angle de phase de courant pour C₁, L, C₂ et R, dans cet ordre. Comme vous pouvez le voir, ces chiffres concordent avec nos chiffres calculés à la main dans le tableau d'analyse du circuit.

Quelle que soit la complexité apparente de l'analyse de circuits alternatifs série-parallèle, il doit être souligné qu'il n'y a rien de vraiment nouveau ici, sauf l'utilisation de nombres complexes. La loi d'Ohm (sous sa nouvelle forme E=IZ) reste vraie, tout comme les lois de tension et de courant de Kirchhoff.

Bien qu'il y ait plus de potentiel d'erreur humaine dans l'exécution des calculs de nombres complexes nécessaires, les principes de base et les techniques de réduction de circuits série-parallèle sont exactement les mêmes.

RÉVISION :

• L'analyse des circuits AC série-parallèle est très similaire aux circuits DC série-parallèle. La seule différence substantielle est que tous les chiffres et calculs sont sous forme complexe (et non scalaire).
• Il est important de se rappeler qu'avant de commencer la réduction série-parallèle (simplification), vous devez déterminer l'impédance (Z) de chaque résistance, inductance et condensateur. Ainsi, toutes les valeurs des composants seront exprimées en termes communs (Z) au lieu d'un mélange incompatible de résistance (R), d'inductance (L) et de capacitance (C).

FEUILLE DE TRAVAIL CONNEXE :

• Feuille de travail sur les circuits AC combinés série-parallèle