Cartes Karnaugh plus grandes à 4 variables

Savoir générer du code Gray devrait nous permettre de construire des cartes plus grandes. En fait, tout ce que nous avons à faire est de regarder la séquence de gauche à droite en haut de la carte à 3 variables et de la copier sur le côté gauche de la carte à 4 variables. Voir ci-dessous.

Réductions de 4 cartes K variables

Les quatre cartes variables de Karnaugh suivantes illustrent la réduction d'expressions booléennes trop fastidieuse pour l'algèbre booléenne. Des réductions pourraient être faites avec l'algèbre booléenne.

Cependant, la carte de Karnaugh est plus rapide et plus facile, surtout s'il y a beaucoup de réductions logiques à faire.

L'expression booléenne ci-dessus a sept termes de produit. Ils sont mappés de haut en bas et de gauche à droite sur la K-map ci-dessus. Par exemple, le premier terme P A'B'CD est la première ligne, 3e cellule, correspondant à l'emplacement de la carte A=0, B=0, C=1, D=1 .

Les autres termes du produit sont placés de la même manière. Encerclant les plus grands groupes possibles, deux groupes de quatre sont indiqués ci-dessus.

Le groupe horizontal en pointillés correspond au terme de produit simplifié AB . Le groupe vertical correspond au CD booléen. Puisqu'il y a deux groupes, il y aura deux termes de produit dans le résultat Sum-Of-Products de Out=AB+CD .

Repliez les coins de la carte ci-dessous comme s'il s'agissait d'une serviette pour rendre les quatre cellules physiquement adjacentes.

Les quatre cellules ci-dessus sont un groupe de quatre car elles ont toutes les variables booléennes B’ et D' en commun. En d'autres termes, B=0 pour les quatre cellules, et D=0 pour les quatre cellules.

Les autres variables (A, C) sont 0 dans certains cas, 1 dans d'autres cas par rapport aux quatre cellules d'angle.

Ainsi, ces variables (A, C) ne sont pas impliqués dans ce groupe de quatre. Ce groupe unique sort de la carte comme un terme de produit pour le résultat simplifié :Out=B’D’

Pour la carte K ci-dessous, roulez les bords supérieur et inférieur dans un cylindre formant huit cellules adjacentes.

Le groupe de huit ci-dessus a une variable booléenne en commun :B=0 . Par conséquent, le groupe de huit est couvert par un terme-p :B’ . L'expression booléenne originale à huit termes se simplifie en Out=B'

Termes P dans 4 cartes K variables

L'expression booléenne ci-dessous a neuf p-termes, dont trois ont trois booléens au lieu de quatre. La différence est que, tandis que quatre termes de produit variables booléens couvrent une cellule, les trois termes p booléens couvrent chacun une paire de cellules.

Les six termes de produit de quatre variables booléennes sont mappés de la manière habituelle ci-dessus sous forme de cellules individuelles. Les trois termes variables booléens (trois chacun) correspondent à des paires de cellules, comme indiqué ci-dessus.

Notez que nous mappons les p-termes dans la K-map, sans les extraire à ce stade.

Pour la simplification, nous formons deux groupes de huit. Les cellules dans les coins sont partagées avec les deux groupes. C'est bon. En fait, cela conduit à une meilleure solution que de former un groupe de huit et un groupe de quatre sans partager aucune cellule. La solution finale est Out=B'+D'

Ci-dessous, nous mappons l'expression booléenne non simplifiée à la carte de Karnaugh.

Au-dessus, trois des cellules forment des groupes de deux cellules. Une quatrième cellule ne peut être combinée avec quoi que ce soit, ce qui arrive souvent dans les problèmes du « monde réel ». Dans ce cas, le p-term booléen ABCD est inchangé dans le processus de simplification. Résultat :Out=B’C’D’+A’B’D’+ABCD

Souvent, il existe plus d'une solution de coût minimum à un problème de simplification. C'est le cas illustré ci-dessous.

Les deux résultats ci-dessus ont quatre termes de produit de trois variables booléennes chacun. Les deux sont également valables coût minimal solutions. La différence dans la solution finale est due à la façon dont les cellules sont regroupées comme indiqué ci-dessus.

Une solution à coût minimal est une conception logique valide avec le nombre minimal de portes et le nombre minimal d'entrées.

Ci-dessous, nous cartographions l'équation booléenne non simplifiée comme d'habitude et formons un groupe de quatre comme première étape de simplification. Il n'est peut-être pas évident de savoir comment récupérer les cellules restantes.

Ramassez trois autres cellules dans un groupe de quatre, au centre au-dessus. Il reste encore deux cellules. la méthode de coût minimal pour les ramasser est de les regrouper avec les cellules voisines en groupes de quatre comme ci-dessus à droite.

Sur une note d'avertissement, n'essayez pas de former des groupes de trois. Les groupements doivent être des puissances de 2, c'est-à-dire 1, 2, 4, 8 ...

Ci-dessous, nous avons un autre exemple de deux solutions possibles à coût minimal. Commencez par former quelques groupes de quatre après avoir cartographié les cellules.

Les deux solutions dépendent du fait que la seule cellule restante est regroupée avec le premier ou le deuxième groupe de quatre en tant que groupe de deux cellules. Cette cellule sort soit sous la forme ABC' ou ABD , votre choix.

Dans tous les cas, cette cellule est couverte par l'un ou l'autre des termes de produit booléen. Les résultats finaux sont indiqués ci-dessus.

Ci-dessous, nous avons un exemple de simplification utilisant la carte de Karnaugh à gauche ou l'algèbre booléenne à droite. Tracer C’ sur la carte comme la superficie de toutes les cellules couvertes par l'adresse C=0 , les 8 cases à gauche de la carte. Ensuite, tracez l'unique ABCD cellule.

Cette cellule unique forme un groupe de 2 cellules comme indiqué, ce qui se simplifie en P-term ABD , pour un résultat final de Out =C' + ABD .

Ceci (ci-dessus) est un exemple rare d'un problème à quatre variables qui peut être réduit avec l'algèbre booléenne sans beaucoup de travail, en supposant que vous vous souveniez des théorèmes.

FICHES DE TRAVAIL CONNEXES :

• Feuille de travail de cartographie de Karnaugh