Maîtriser les cartes de Karnaugh à 4 variables : Conception, réduction et exemples pratiques

Une fois que vous comprenez le séquencement en code Gray, étendre une carte de Karnaugh à 3 variables à 4 variables est simple : copiez la séquence de colonnes de la carte à 3 variables sur le côté gauche de la grille à 4 variables. Voir l'illustration ci-dessous.

 

Réductions de cartes de Karnaugh à 4 variables

Les exemples suivants démontrent comment les cartes de Karnaugh simplifient les expressions booléennes qui seraient fastidieuses à traiter par l'algèbre seule. Bien que la manipulation algébrique soit possible, les K-maps offrent une approche visuelle plus rapide — surtout quand de nombreuses réductions sont requises.

 

 

L'expression booléenne ci-dessous contient sept termes de produit. Ils sont tracés séquentiellement sur la K-map : le premier terme, A'B'CD, occupe la cellule du haut, troisième colonne (A=0, B=0, C=1, D=1). Chaque terme suivant suit le même mapping de gauche à droite, de haut en bas. En encerclant les plus grands groupes possibles, nous identifions deux groupes de quatre. Le groupe horizontal donne le terme simplifié AB, et le groupe vertical donne CD. L'expression Somme-de-Produits résultante est Out = AB + CD.

Pliez les coins de la carte comme si vous enveloppiez une serviette ; cela met les quatre cellules d'angle en adjacence physique.

 

 

Ces quatre cellules partagent les variables B' et D' (toutes deux égales à 0), tandis que A et C varient. Par conséquent, le groupe se réduit au terme de produit unique Out = B'D'.

Pour l'exemple suivant, imaginez rouler les bords haut et bas en un cylindre, créant huit cellules adjacentes.

 

 

Ici, le groupe de huit partage la variable commune B=0, donnant le terme simplifié Out = B' à partir de l'expression originale à huit termes.

Termes-P dans les cartes de Karnaugh à 4 variables

Considérez une expression avec neuf termes de produit, dont trois ne font intervenir que trois variables booléennes. Dans une K-map, les termes à quatre variables occupent des cellules uniques, tandis que les termes à trois variables couvrent des paires de cellules. Le mapping est montré ci-dessous.

 

 

En formant deux groupes chevauchants de huit — où les cellules d'angle sont partagées — nous atteignons la simplification la plus efficace : Out = B' + D.

Ci-dessous, nous illustrons l'expression non simplifiée mappée sur la K-map.

 

 

Trois cellules se combinent en paires, laissant une cellule isolée qui ne peut être fusionnée. Le terme isolé ABCD reste inchangé, résultant en Out = B'C'D' + A'B'D' + ABCD.

Souvent, plusieurs solutions à coût minimal existent. L'exemple suivant illustre deux solutions équivalentes, chacune avec quatre termes de produit de trois variables.

 

 

Les deux solutions satisfont les critères de coût minimal — utilisant le moins de portes et d'entrées — malgré des arrangements de groupes différents.

Lors de la simplification, commencez par identifier un groupe de quatre. Les groupes subséquents sont choisis pour couvrir les cellules restantes, en assurant que chaque taille de groupe est une puissance de deux (1, 2, 4, 8, …). Évitez de former des groupes de trois.

Un autre exemple montre deux solutions valides à coût minimal. Après avoir formé deux groupes initiaux de quatre, la cellule unique restante peut être jumelée avec l'un ou l'autre groupe, produisant soit ABC' soit ABD comme terme final.

 

 

Dans les deux cas, les expressions finales sont équivalentes en complexité.

Enfin, nous comparons une approche par carte de Karnaugh avec l'algèbre de Boole. Tracer C' couvre la moitié gauche de la carte (huit cellules). La cellule unique restante ABCD forme une paire avec sa voisine, se simplifiant en ABD. Le résultat global est Out = C' + ABD, illustrant un cas rare où la simplification algébrique est directe.

 

 

Ces exemples soulignent la puissance des cartes de Karnaugh pour une minimisation logique rapide et fiable.

FEUILLES D'EXERCICES CONNEXES :

• Feuille d'exercices sur le mapping de Karnaugh