Comprendre les cellules « sans importance » dans les cartes de Karnaugh

Jusqu'ici, nous avons abordé des problèmes de réduction logique où chaque combinaison d'entrée est pleinement spécifiée. Une table de vérité à 3 variables, par exemple, contient 2³ = 8 entrées et la carte de Karnaugh correspondante est entièrement peuplée.

Dans de nombreuses applications réelles, cependant, nous n'avons pas besoin de définir chaque entrée possible. Certaines combinaisons ne se produiront jamais, et la sortie pour ces états « impossibles » est sans importance. Ce sont les conditions « sans importance » (don't-care).

Par exemple, en travaillant avec des nombres Décimaux Codés en Binaire (BCD) encodés sur quatre bits, les codes valides sont 0000 à 1001 (décimal 0–9). Les six motifs binaires 1010 à 1111 correspondent aux chiffres hexadécimaux A à F et ne sont jamais utilisés. Par conséquent, nous pouvons marquer ces six motifs comme sans-importance et les laisser vides dans une table de vérité ou une carte de Karnaugh.

Cellules sans-importance

Dans une carte de Karnaugh, les cellules sans-importance sont représentées par un astérisque (*) et peuvent être traitées comme un 0 ou un 1 lors du groupement, ou simplement ignorées. Les utiliser peut permettre des groupements plus grands, ce qui mène souvent à une expression booléenne plus simple.

Incluez une cellule sans-importance dans un groupe seulement si cela réduit la complexité globale de la logique. Il n'y a aucune obligation d'utiliser chaque cellule sans-importance.

Considérez une fonction qui doit sortir 1 pour l'entrée ABC = 101 tandis que toutes les autres entrées entre 000 et 101 sont sans importance. Les deux combinaisons 110 et 111 sont marquées comme sans-importance. Nous pouvons dériver trois expressions simplifiées différentes :

• Sans utiliser les sans-importance : Out = AB'C.
• En incluant un sans-importance pour former une paire : Out = AC.
• En utilisant un sans-importance pour former un groupe de quatre zéros : aussi Out = AC.

Ces exemples illustrent que les cellules sans-importance peuvent être traitées comme des 1 ou des 0, selon le choix qui donne l'expression la plus simple.

Nous passons maintenant à une application pratique : concevoir la logique d'éclairage pour une exposition de vélo stationnaire dans un musée des sciences local.

Plus le cycliste pédale vite, plus un petit générateur CC produit une tension proportionnelle à la vitesse. Cette tension est envoyée dans un circuit tachymétrique qui plafonne le signal pour que le convertisseur analogique-numérique (A/N) en aval ne sorte jamais les deux codes 3 bits les plus élevés (110 et 111). Le convertisseur produit donc l'un des codes suivants : 000 (pas de mouvement), 001, 010, 011, 100 ou 101.

Cinq lampes (L1 à L5) forment un affichage en bargraphe. Le motif d'allumage est le suivant :

• 000 – aucune lampe ne s'allume.
• 001 – L1 s'allume.
• 010 – L1 et L2 s'allument.
• 011 – L1, L2 et L3 s'allument.
• 100 – L1, L2, L3 et L4 s'allument.
• 101 – les cinq lampes s'allument.

Puisque les codes 110 et 111 ne peuvent jamais se produire, nous les traitons comme sans-importance. Les cartes de Karnaugh suivantes sont construites pour chaque lampe, avec des 0 pour l'état 000, des 1 pour les états d'allumage appropriés, et * pour 110 et 111.

Par exemple, la lampe L5 n'est allumée que pour ABC = 101. Sa carte contient un seul 1 à cette cellule et des zéros ailleurs. La lampe L4 est allumée pour ABC = 100 et 101, donc sa carte a des 1 dans ces deux cellules. La lampe L3 s'allume pour 011, 100 et 101 ; la lampe L2 pour 010, 011, 100 et 101 ; la lampe L1 pour tous les codes sauf 000.

En groupant les 1 et en exploitant les sans-importance quand c'est bénéfique, l'expression booléenne de chaque lampe se simplifie dramatiquement. En particulier, l'expression de la lampe L4 se réduit simplement à A (le bit de poids fort), éliminant le besoin de toute porte logique. Les autres lampes bénéficient aussi d'une complexité réduite.

Le diagramme de portes résultant (montré ci-dessus) connecte les cinq expressions minimisées à des inverseurs à collecteur ouvert (série 74 7406) qui pilotent les LEDs. La sortie L1 utilise une porte OU à 2 entrées combinant (A + B) avec C, donnant la somme logique A + B + C.

Les sorties à collecteur ouvert sont idéales pour piloter des LEDs car elles permettent au courant de traverser une charge externe. Un niveau haut actif sur n'importe quel inverseur tire sa sortie vers le bas, faisant circuler le courant à travers la LED et sa résistance de limitation. Bien que les LEDs de cette exposition puissent faire partie d'un relais à semi-conducteurs pilotant des lampes 120 VAC, ce circuit dépasse le cadre de ce design logique.

Feuilles d'exercices connexes

• Feuille d'exercices sur les circuits d'affichage numérique
• Feuille d'exercices sur le mapping de Karnaugh