La formule quadratique : un outil fiable pour résoudre les équations du second degré

Face à une équation quadratique de la forme ax² + bx + c = 0, l'approche la plus systématique est d'utiliser la formule quadratique. Cette formule découle naturellement de la technique algébrique connue sous le nom de « compléter le carré », et elle garantit que toute équation du second degré a au moins une solution réelle ou complexe.

En isolant la variable et en manipulant l'équation, on arrive au résultat célébré :

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Ici, x désigne les racines de l'équation, tandis que a, b et c sont les coefficients numériques qui définissent le quadratique spécifique. L'expression sous la racine carrée, b² – 4ac, s'appelle le discriminant ; il indique si les racines sont réelles et distinctes (discriminant > 0), réelles et égales (discriminant = 0), ou conjuguées complexes (discriminant < 0).

Exemple :

Résolvons l'équation quadratique 6x² + 11x – 35 = 0 en utilisant la formule.

Identifions d'abord les coefficients : a = 6, b = 11, c = –35.

Calculons le discriminant : $$\Delta = b^2 - 4ac = 11^2 - 4(6)(-35) = 121 + 840 = 961$$ Puisque Δ est un carré parfait (√961 = 31), les racines seront rationnelles.

Appliquons la formule quadratique : $$x_{1} = \frac{-11 + 31}{2(6)} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$$ $$x_{2} = \frac{-11 - 31}{2(6)} = \frac{-42}{12} = -\frac{7}{2}$$ Ainsi, l'équation a deux solutions réelles : x = 5/3 et x = -7/2.

Cette méthode fonctionne pour tout quadratique, que ses racines soient entières, fractions ou nombres complexes. En maîtrisant la formule quadratique, vous gagnez un outil puissant pour la résolution de problèmes algébriques.