Maîtriser les cartes de Karnaugh : Simplifier la logique avec tables de vérité et expressions booléennes

Qui a créé la carte de Karnaugh ?

Maurice Karnaugh, ingénieur en télécommunications aux Bell Labs, a introduit la carte de Karnaugh en 1953 lors de la conception de circuits logiques numériques pour la commutation téléphonique.

Pourquoi utiliser une carte de Karnaugh ?

La carte de Karnaugh est un outil visuel qui réduit les fonctions booléennes complexes plus rapidement et plus intuitivement que la manipulation algébrique. En réduisant les termes redondants, elle diminue le nombre de portes logiques et d'entrées requises, se traduisant directement en économies pour les concepteurs matériels.

En pratique, les ingénieurs préfèrent les cartes de Karnaugh à l'algèbre de Boole pour la simplification une fois qu'ils comprennent comment lire le diagramme.

Ci-dessous, vous trouverez cinq représentations différentes de la même fonction logique à deux entrées : un diagramme d'échelle relais, un schéma de portes, une table de vérité, une carte de Karnaugh et une expression booléenne. Toutes sont équivalentes ; le choix dépend du format qui sert le mieux la tâche de conception.

Relier tables de vérité et cartes de Karnaugh

Pour deux entrées, A et B, chacune peut être 0 ou 1, produisant 2² = 4 combinaisons de sortie. La carte de Karnaugh réorganise la table de vérité en une grille carrée où les cellules voisines diffèrent d'une seule variable, rendant les motifs évidents.

Chaque sortie de table de vérité correspond à une cellule spécifique de la K-map. Par exemple, la sortie étiquetée α pour A = 0, B = 0 apparaît dans le coin supérieur gauche de la carte. Le même mapping s'applique à β, χ et δ.

L'adjacence dans la K-map (horizontale ou verticale) indique des variables booléennes partagées. Les cellules α et χ partagent B', β et δ partagent B, α et β partagent A', et χ et δ partagent A. Reconnaître ces relations permet un groupement et une simplification rapides.

Exemples pratiques

1. Transférer une table de vérité vers une carte de Karnaugh

Solution : Identifiez les deux lignes contenant '1' dans la table de vérité, placez un '1' dans les cellules correspondantes de la K-map, et procédez au groupement.

2. Dériver une expression booléenne d'une K-map

Solution : Groupez les '1' adjacents, conservez les variables qui restent constantes dans le groupe, et éliminez les autres. Pour l'exemple, l'expression résultante est Out = B.

3. Groupements multiples pour la simplification au coût minimal

Solution : Groupez les deux '1' horizontalement pour obtenir Out = A'.

4. Combinaison de groupes à travers la carte

Solution : Après avoir mappé la table de vérité, groupez verticalement pour obtenir Out = B et horizontalement pour Out = A. L'expression finale est Out = A + B, la forme la plus simple.

5. Gestion des groupes chevauchants

Solution : Quand une cellule appartient à plusieurs groupes, réutilisez-la pour former des groupes plus grands, réduisant davantage la longueur de l'expression.

Simplification de diagrammes logiques réels

Exemple 1 :

Processus : Traduisez le circuit original en expression booléenne, mappez les termes de produit sur la K-map, groupez les cellules, dérivez l'expression simplifiée, et redessinez le circuit minimisé.

Exemple 2 – Aucune simplification possible :

Dans certains cas, la carte révèle que la logique est déjà sous sa forme minimale. Même la porte exclusive-OU (CI 7486) est souvent laissée inchangée car elle ne peut pas être simplifiée davantage.

Ressources supplémentaires

• Feuille d'exercices sur le mapping de Karnaugh
• Feuille d'exercices sur l'algèbre de Boole
• Feuille d'exercices sur les portes logiques de base