Arithmétique de Boole : addition, multiplication et complémentation en logique numérique

Commençons notre exploration de l'algèbre de Boole en additionnant des nombres :

 

 

Les trois premières sommes ont un sens parfait pour quiconque connaît l'addition élémentaire. La dernière somme, cependant, est souvent source de confusion en électronique numérique car elle semble contredire les règles ordinaires de l'arithmétique.

Elle contredit les règles pour l'addition des nombres réels, mais pas pour les valeurs de Boole. En algèbre de Boole, chaque quantité ne peut être que 0 ou 1 ; il n'y a pas de « 2 ». Ainsi, quand nous évaluons 1 + 1, le résultat ne peut pas être 0, donc il doit être 1.

Que nous additionnions deux termes ou plusieurs, le motif reste le même :

 

 

Porte OU

Remarquez que les sommes à deux termes du premier ensemble d'équations correspondent à la table de vérité d'une porte OU. L'addition de Boole correspond donc à l'opération logique OU, qui est aussi représentée par des contacts d'interrupteur en parallèle :

 

 

Il n'y a pas de soustraction en mathématiques de Boole car la soustraction nécessite des nombres négatifs, qui n'existent pas dans ce domaine. De même, la division est exclue car elle est essentiellement une soustraction composée.

 

Porte ET

La multiplication de Boole suit les mêmes règles que la multiplication des nombres réels : toute valeur multipliée par 0 est 0, et toute valeur multipliée par 1 reste inchangée :

 

 

Cet ensemble d'équations miroite la table de vérité pour une porte ET. Par conséquent, la multiplication de Boole correspond directement à l'opération logique ET, qui est aussi illustrée par des contacts d'interrupteur en série :

 

 

Comme l'algèbre conventionnelle, l'algèbre de Boole utilise des lettres pour représenter des variables, mais elles sont toujours en majuscules. Parce qu'une variable de Boole ne peut être que 0 ou 1, elle a un complément — la valeur opposée. Par exemple, si A = 0, alors le complément de A est 1.

La complémentation est indiquée par une barre au-dessus de la variable, comme montré ci-dessous :

 

Porte NON

En notation, le complément de A s'écrit A' ou Ā. Le symbole de barre est plus courant que le symbole prime, qui apparaît aussi en calcul.

La complémentation est représentée en circuit par une porte NON ou un contact de relais normalement fermé :

 

 

Ces définitions établissent les règles de base de l'arithmétique de Boole : l'addition est OU, la multiplication est ET, et la complémentation est NON. La soustraction et la division ne sont pas définies.

Nous explorerons maintenant les identités de Boole dans la prochaine section.

 

RÉVISION :

• Addition de Boole ⇔ logique OU, contacts d'interrupteur en parallèle.
• Multiplication de Boole ⇔ logique ET, contacts d'interrupteur en série.
• Complémentation de Boole ⇔ logique NON, contacts de relais normalement fermés.

 

FICHES D'EXERCICES ASSOCIÉES :

• Fiche d'exercices sur l'algèbre de Boole