Identités clés de l'algèbre de Boole : aperçu complet

En mathématiques, une identité est une affirmation vraie pour toutes les valeurs possibles de sa ou ses variables.

L'identité algébrique x + 0 = x nous dit que n'importe quoi (x) ajouté à zéro égale le « n'importe quoi » original, peu importe la valeur que ce « n'importe quoi » (x) peut avoir.

Comme l'algèbre ordinaire, l'algèbre de Boole a ses propres identités uniques basées sur les états bivalents des variables de Boole.

 

Identités additives

Ajout de zéro

La première identité de Boole est que la somme de n'importe quoi et zéro est la même que le « n'importe quoi » original.

Cette identité n'est pas différente de son équivalent algébrique en nombres réels :

 

 

Peu importe la valeur de A, la sortie sera toujours la même : quand A=1, la sortie sera aussi 1 ; quand A=0, la sortie sera aussi 0.

 

Ajout de un

La prochaine identité est définitivement différente de toute vue en algèbre normale.

Ici nous découvrons que la somme de « n'importe quoi » et un est un :

 

 

Peu importe la valeur de A, la somme de A et 1 sera toujours 1.

En un sens, le signal « 1 » écrase l'effet de A sur le circuit logique, laissant la sortie fixée à un niveau logique de 1.

 

Ajout d'une quantité à elle-même

Ensuite, nous examinons l'effet d'ajouter A et A ensemble, ce qui est le même que de connecter les deux entrées d'une porte OU l'une à l'autre et de les activer avec le même signal :

 

 

En algèbre des nombres réels, la somme de deux variables identiques est le double de la valeur de la variable originale (x + x = 2x), mais rappelez-vous qu'il n'y a pas de concept de « 2 » dans le monde des mathématiques de Boole, seulement 1 et 0, donc nous ne pouvons pas dire que A + A = 2A.

Ainsi, quand nous ajoutons une quantité de Boole à elle-même, la somme est égale à la quantité originale : 0 + 0 = 0, et 1 + 1 = 1.

 

Ajout d'une quantité à son complément

En introduisant le concept unique de Boole de complémentation dans une identité additive, nous trouvons un effet intéressant.

Puisqu'il doit y avoir une valeur « 1 » entre toute variable et son complément, et puisque la somme de toute quantité de Boole et 1 est 1, la somme d'une variable et de son complément doit être 1 :

 

 

Identités multiplicatives

Tout comme il y a quatre identités additives de Boole (A+0, A+1, A+A, et A+A'), il y a aussi quatre identités multiplicatives : Ax0, Ax1, AxA, et AxA'. Parmi celles-ci, les deux premières ne diffèrent pas de leurs équivalents en algèbre régulière :

 

Multiplication par 0 ou 1

 

 

Multiplication d'une quantité par elle-même

La troisième identité multiplicative exprime le résultat d'une quantité de Boole multipliée par elle-même.

En algèbre normale, le produit d'une variable par elle-même est le carré de cette variable (3 x 3 = 3² = 9).

Cependant, le concept de carré implique une quantité de 2, qui n'a pas de sens en algèbre de Boole, donc nous ne pouvons pas dire que A x A = A².

Au lieu de cela, nous trouvons que le produit d'une quantité de Boole et d'elle-même est la quantité originale, puisque 0 x 0 = 0 et 1 x 1 = 1 :

 

 

Multiplication d'une quantité par son complément

La quatrième identité multiplicative n'a pas d'équivalent en algèbre régulière car elle utilise le complément d'une variable, un concept unique aux mathématiques de Boole.

Puisqu'il doit y avoir une valeur « 0 » entre toute variable et son complément, et puisque le produit de toute quantité de Boole et 0 est 0, le produit d'une variable et de son complément doit être 0 :

 

 

Pour résumer, nous avons quatre identités de base de Boole pour l'addition et quatre pour la multiplication :

 

 

Double complément

Une autre identité qui a trait à la complémentation est celle du double complément : une variable inversée deux fois.

Complémenter une variable deux fois (ou tout nombre pair de fois) résulte en la valeur de Boole originale.

Ceci est analogue à la négation (multiplication par -1) en algèbre des nombres réels : un nombre pair de négations s'annulent pour laisser la valeur originale :

 

 

FICHES D'EXERCICES ASSOCIÉES :

• Fiche d'exercices sur l'algèbre de Boole