Introduction à l'algèbre booléenne

Les règles mathématiques sont basées sur les limites de définition que nous imposons aux quantités numériques particulières traitées.

Lorsque nous disons que 1 + 1 =2 ou 3 + 4 =7, nous sous-entendons l'utilisation de quantités entières :les mêmes types de nombres que nous avons tous appris à compter à l'école élémentaire.

Ce que la plupart des gens supposent être des règles arithmétiques évidentes - valables à tout moment et à toutes fins - dépend en réalité de ce que nous définissons comme étant un nombre.

Par exemple, lors du calcul des quantités dans les circuits CA, nous constatons que les quantités numériques "réelles" qui nous ont si bien servi dans l'analyse des circuits CC sont inadéquates pour la tâche de représentation des quantités CA.

Nous savons que les tensions s'ajoutent lorsqu'elles sont connectées en série, mais nous savons également qu'il est possible de connecter une source CA de 3 volts en série avec une source de CA de 4 volts et se retrouver avec une tension totale de 5 volts (3 + 4 =5) .

Cela signifie-t-il que les règles inviolables et évidentes de l'arithmétique ont été violées ?

Non, cela signifie simplement que les règles des nombres « réels » ne s'appliquent pas aux types de quantités rencontrées dans les circuits alternatifs, où chaque variable a à la fois une amplitude et une phase.

Par conséquent, nous devons utiliser un autre type de quantité numérique, ou objet, pour les circuits AC (complexe nombres, plutôt que réels nombres), et avec ce système différent de nombres vient un ensemble différent de règles nous indiquant comment ils se rapportent les uns aux autres.

Une expression telle que "3 + 4 =5" est un non-sens dans le cadre et la définition des nombres réels, mais il s'intègre parfaitement dans le cadre et la définition des nombres complexes (pensez à un triangle rectangle avec des côtés opposés et adjacents de 3 et 4, avec une hypoténuse de 5).

Étant donné que les nombres complexes sont bidimensionnels, ils sont capables de « s'ajouter » les uns aux autres de manière trigonométrique en tant que réel à une dimension. les nombres ne peuvent pas.

Lois mathématiques et « logique floue »

La logique ressemble beaucoup aux mathématiques à cet égard :les soi-disant « lois » de la logique dépendent de la façon dont nous définissons ce qu'est une proposition.

Le philosophe grec Aristote a fondé un système de logique basé sur seulement deux types de propositions :vraies et fausses.

Sa définition bivalente (à deux modes) de la vérité a conduit aux quatre lois fondamentales de la logique :la loi de l'identité (A est A); la Loi de non-contradiction (A n'est pas non-A) ; la Loi du Milieu Exclu (soit A ou non-A) ; et la loi de l'inférence rationnelle .

Ces soi-disant lois fonctionnent dans le cadre de la logique où une proposition est limitée à l'une des deux valeurs possibles, mais peuvent ne pas s'appliquer dans les cas où les propositions peuvent contenir des valeurs autres que « vrai » ou « faux ».

En fait, beaucoup de travail a été fait et continue d'être fait sur « multivalué » ou floue logique, où les propositions peuvent être vraies ou fausses à un degré limité .

Dans un tel système logique, les « lois » telles que la loi du milieu exclu ne s'appliquent tout simplement pas, car elles sont fondées sur l'hypothèse de la bivalence.

De même, de nombreuses prémisses qui violeraient la loi de non-contradiction dans la logique aristotélicienne ont une validité dans la logique « floue ». Encore une fois, les limites définissant les valeurs propositionnelles déterminent les lois décrivant leurs fonctions et leurs relations.

La naissance de l'algèbre booléenne

Le mathématicien anglais George Boole (1815-1864) a cherché à donner une forme symbolique au système logique d'Aristote.

Boole a écrit un traité sur le sujet en 1854, intitulé Une enquête sur les lois de la pensée, sur lesquelles sont fondées les théories mathématiques de la logique et des probabilités , qui codifiait plusieurs règles de relation entre des quantités mathématiques limitées à l'une des deux valeurs possibles :vrai ou faux, 1 ou 0.

Son système mathématique est devenu connu sous le nom d'algèbre booléenne.

Toutes les opérations arithmétiques effectuées avec des quantités booléennes n'ont qu'un des deux résultats possibles :soit 1 soit 0 .

Il n'existe pas de « 2 " ou "-1 " ou " 1/2 ” dans le monde booléen. C'est un monde dans lequel toutes les autres possibilités sont invalides par décret.

Comme on peut le deviner, ce n'est pas le genre de calcul que vous souhaitez utiliser pour équilibrer un chéquier ou calculer le courant à travers une résistance.

Cependant, Claude Shannon de la renommée du MIT a reconnu comment l'algèbre booléenne pouvait être appliquée aux circuits on-and-off , où tous les signaux sont caractérisés comme « élevé ” (1) ou “faible ” (0).

Sa thèse de 1938, intitulée Une analyse symbolique des circuits de relais et de commutation , mettent le travail théorique de Boole à profit d'une manière que Boole n'aurait jamais pu imaginer, en nous offrant un outil mathématique puissant pour concevoir et analyser des circuits numériques.

Algèbre booléenne contre "Algèbre normale"

Dans ce chapitre, vous trouverez de nombreuses similitudes entre l'algèbre booléenne et l'algèbre "normale", le genre d'algèbre impliquant des nombres dits réels.

Gardez simplement à l'esprit que le système de nombres définissant l'algèbre booléenne est très limité en termes de portée, et qu'il ne peut y avoir qu'une des deux valeurs possibles pour une variable booléenne :1 ou 0.

Par conséquent, les « lois » de l'algèbre booléenne diffèrent souvent des « lois » de l'algèbre des nombres réels, ce qui rend possible des déclarations telles que 1 + 1 =1, qui seraient normalement considérées comme absurdes.

Une fois que vous avez compris la prémisse selon laquelle toutes les quantités de l'algèbre booléenne sont limitées aux deux possibilités de 1 et 0, et le principe philosophique général des lois dépendant de définitions quantitatives, le « non-sens » de l'algèbre booléenne disparaît.

Algèbre booléenne contre « Algèbre normale »

Dans ce chapitre, vous trouverez de nombreuses similitudes entre l'algèbre booléenne et l'algèbre "normale", le genre d'algèbre impliquant des nombres dits réels.

Gardez simplement à l'esprit que le système de nombres définissant l'algèbre booléenne est très limité en termes de portée, et qu'il ne peut y avoir qu'une des deux valeurs possibles pour une variable booléenne :1 ou 0.

Par conséquent, les « lois » de l'algèbre booléenne diffèrent souvent des « lois » de l'algèbre des nombres réels, ce qui rend possible des déclarations telles que 1 + 1 =1, qui seraient normalement considérées comme absurdes.

Une fois que vous avez compris la prémisse selon laquelle toutes les quantités de l'algèbre booléenne sont limitées aux deux possibilités de 1 et 0, et le principe philosophique général des lois dépendant de définitions quantitatives, le « non-sens » de l'algèbre booléenne disparaît.

Nombres booléens contre nombres binaires

Il faut bien comprendre que les nombres booléens ne sont pas identiques aux binaires nombres.

Alors que les nombres booléens représentent un système mathématique totalement différent des nombres réels, le binaire n'est rien de plus qu'une notation alternative pour les nombres réels.

Les deux sont souvent confondus car les mathématiques booléennes et la notation binaire utilisent les deux mêmes chiffres :1 et 0.

La différence est que les quantités booléennes sont limitées à un seul bit (soit 1 soit 0), alors que les nombres binaires peuvent être composés de plusieurs bits totalisant sous forme pondérée en une valeur de n'importe quelle taille finie.

Le nombre binaire 10011₂ (" dix-neuf ") n'a pas plus de place dans le monde booléen que le nombre décimal 2₁₀ ("deux") ou le nombre octal 32₈ (« vingt-six »).

FICHES DE TRAVAIL CONNEXES :

• Feuille de travail d'algèbre booléenne
• Feuille de travail sur l'algèbre de base et la représentation graphique des circuits électriques
• Feuille d'exercices de mathématiques binaires