Comprendre les relations booléennes avec les diagrammes de Venn

La quatrième illustration montre l'ensemble A chevauchant partiellement l'ensemble B. Nous considérons d'abord la zone hachurée complète représentant l'union des deux ensembles, puis isolons l'intersection.

En bas à gauche, une région hachurée horizontale rouge désigne A ; une région hachurée verticale bleue désigne B.

Quand nous regroupons toutes les régions hachurées — quel que soit le style de hachure — la zone résultante correspond à la fonction OU inclusive de A et B. L'expression booléenne est A + B.

Dans le diagramme, la bande hachurée à 45° représente l'union. Tout ce qui est en dehors de cette zone hachurée est le complément, (A + B)'.

Ensuite, nous examinons l'intersection de A et B. La zone à double hachure à gauche représente la fonction ET exclusive, exprimée comme AB. La région en dehors de la zone à double hachure est (AB)'.

Observez que certains éléments de A appartiennent à (AB)', et de même pour B. Cependant, aucun élément de (AB)' ne se trouve dans la région à double hachure AB.

Le second exemple est répété à gauche. Le cinquième exemple, esquissé plus tôt, apparaît à droite pour comparaison. Dans les sections suivantes, nous identifierons les éléments entièrement contenus dans un autre ensemble en utilisant les cartes de Karnaugh.

Nous introduisons maintenant une expression booléenne incluant une variable complémentée.

Exemple : Visualisez l'expression A'B (A NON ET B) avec un diagramme de Venn.

Solution : En partant en haut à gauche, hachurez A' avec un hachage horizontal rouge. En haut à droite, hachurez B avec un hachage vertical bleu. La région chevauchante en bas à gauche représente A'B. La plupart des étudiants illustrent toute la zone à double hachage à droite pour la clarté. Le complément (A'B)' est la zone non hachurée en dehors de cette région.

Nous abordons maintenant l'opération OU avec une variable complémentée.

Exemple : Déterminez la région pour B' + A.

Solution : À droite, commencez par B, hachurez-le, puis complémentez en B'. Superposez A par-dessus. L'union de toutes les zones hachurées, quel que soit le style, donne A + B'. Ceci est montré comme une seule région hachurée à gauche pour la clarté.

Exemple : Trouvez le complément (A + B')'.

Solution : La zone blanche claire dans le diagramme de gauche correspond à (A + B')'. La bande hachurée verte à 45° illustrait précédemment l'union A + B'. En comparant le complément à la région à double hachure AB' à droite, on voit que les deux formes sont identiques, confirmant le théorème de De Morgan et la double négation.

Les diagrammes de Venn fournissent des vérifications visuelles intuitives mais ne constituent pas des preuves formelles ; l'algèbre de Boole est requise pour une vérification rigoureuse. Néanmoins, ils sont inestimables pour illustrer des concepts comme le théorème de De Morgan.

Exemple : Représentez l'expression A' + B' sur un diagramme de Venn.

Solution : Hachurez A' avec un hachage horizontal rouge et B' avec un hachage vertical bleu. La figure résultante montre toutes les régions contenant au moins un hachage, correspondant à A' + B'. La seule zone non hachurée est le chevauchement central des cercles originaux.

Exemple : Visualisez (A' + B')'.

Solution : L'espace blanc central représente le complément du diagramme précédent. C'est exactement la région (A' + B')'.

Exemple : Vérifiez que (A' + B')' = AB.

Solution : Le diagramme en bas à gauche montre la région ouverte pour (A' + B')'. Les diagrammes de gauche et du milieu dépeignent l'intersection à double hachure AB. Ils correspondent parfaitement, confirmant l'identité via le théorème de De Morgan et la double négation.

Enfin, nous présentons un diagramme de Venn à trois variables avec A (rouge), B (bleu) et C (vert 45°). La région centrale où les trois se chevauchent représente ABC. Les zones en forme de pétales plus grandes illustrent les intersections par paires : AB, AC et BC. À mesure que le nombre de variables dans un terme ET augmente, la région correspondante rétrécit : A seul est un grand cercle ; AB est un pétale plus petit ; ABC est la plus petite région.

• A (1 variable) : grande région circulaire.
• AB (2 variables) : région en pétale plus petite.
• ABC (3 variables) : plus petite région.
• Plus de variables → région ET plus petite.