Comprendre les diagrammes de Venn : Visualiser les relations entre ensembles

Les mathématiciens utilisent les diagrammes de Venn pour montrer les relations logiques des ensembles (collections d'objets) entre eux. Vous avez peut-être déjà vu des diagrammes de Venn dans vos études d'algèbre ou d'autres mathématiques. Si c'est le cas, vous vous souvenez peut-être des cercles qui se chevauchent et de l'union et l'intersection des ensembles.

Nous allons revoir les cercles chevauchants du diagramme de Venn. Nous adopterons les termes OU et ET au lieu d'union et d'intersection, car c'est la terminologie utilisée en électronique numérique.

Le diagramme de Venn fait le pont entre l'algèbre de Boole du chapitre précédent et la carte de Karnaugh. Nous relierons ce que vous savez déjà sur l'algèbre de Boole aux diagrammes de Venn, puis passerons aux cartes de Karnaugh.

Un ensemble est une collection d'objets tirés d'un univers comme montré ci-dessous. Les membres de l'ensemble sont les objets contenus dans l'ensemble. Les membres ont généralement quelque chose en commun, bien que ce ne soit pas une exigence.

Parmi l'univers des nombres réels, par exemple, l'ensemble de tous les entiers positifs {1,2,3…} est un ensemble. L'ensemble {3,4,5} est un exemple d'ensemble plus petit, ou sous-ensemble de l'ensemble de tous les entiers positifs. Un autre exemple est l'ensemble de tous les hommes parmi l'univers des étudiants universitaires. Pouvez-vous penser à d'autres exemples d'ensembles ?

En haut à gauche, nous avons un diagramme de Venn montrant l'ensemble A dans le cercle au sein de l'univers U, la zone rectangulaire. Si tout ce qui est dans le cercle est A, alors tout ce qui est en dehors du cercle n'est pas A. Ainsi, au centre en haut, nous étiquetons la zone rectangulaire en dehors du cercle A comme A-non au lieu de U. Nous montrons B et B-non de manière similaire.

Que se passe-t-il si A et B sont tous deux contenus dans le même univers ? Nous montrons quatre possibilités.

Examinons de plus près chacune des quatre possibilités montrées ci-dessus.

Le premier exemple montre que l'ensemble A et l'ensemble B n'ont rien en commun selon le diagramme de Venn. Il n'y a pas de chevauchement entre les régions hachurées circulaires A et B. Par exemple, supposons que les ensembles A et B contiennent les membres suivants :

 ensemble A = {1,2,3,4} 
ensemble B = {5,6,7,8}

Aucun membre de l'ensemble A n'est contenu dans l'ensemble B, ni aucun membre de B dans A. Ainsi, il n'y a pas de chevauchement des cercles.

Dans le second exemple du diagramme de Venn ci-dessus, l'ensemble A est totalement contenu dans l'ensemble B. Comment expliquer cette situation ? Supposons que les ensembles A et B contiennent les membres suivants :

 ensemble A = {1,2} 
ensemble B = {1,2,3,4,5,6,7,8}

Tous les membres de l'ensemble A sont aussi membres de l'ensemble B. Par conséquent, l'ensemble A est un sous-ensemble de l'ensemble B. Puisque tous les membres de A sont dans B, A est dessiné entièrement à l'intérieur de la frontière de B.

Il y a un cinquième cas, non montré, avec les quatre exemples. Indice : il est similaire au dernier (quatrième) exemple. Dessinez un diagramme de Venn pour ce cinquième cas.

Le troisième exemple ci-dessus montre un chevauchement parfait entre l'ensemble A et l'ensemble B. On dirait que les deux ensembles contiennent les mêmes membres identiques. Supposons que les ensembles A et B contiennent :

 ensemble A = {1,2,3,4} 
ensemble B = {1,2,3,4}

Donc,

 Ensemble A = Ensemble B

Les ensembles A et B sont identiquement égaux car ils ont les mêmes membres identiques. Les régions A et B dans le diagramme de Venn correspondant se chevauchent complètement. En cas de doute sur ce que représentent les motifs ci-dessus, référez-vous à n'importe quelle figure ci-dessus ou ci-dessous pour être sûr de l'apparence des régions circulaires avant qu'elles ne soient chevauchées.

Le quatrième exemple ci-dessus montre qu'il y a quelque chose en commun entre l'ensemble A et l'ensemble B dans la région chevauchante. Par exemple, nous sélectionnons arbitrairement les ensembles suivants pour illustrer :

 ensemble A = {1,2,3,4} 
ensemble B = {3,4,5,6}

L'ensemble A et l'ensemble B ont tous deux les éléments 3 et 4 en commun. Ces éléments sont la raison du chevauchement au centre commun à A et B. Nous devons examiner cette situation de plus près.