Diagrammes et ensembles de Venn
Les mathématiciens utilisent des diagrammes de Venn pour montrer les relations logiques des ensembles (collections d'objets) les uns aux autres. Peut-être avez-vous déjà vu des diagrammes de Venn dans vos études d'algèbre ou d'autres mathématiques. Si c'est le cas, vous vous souvenez peut-être des cercles qui se chevauchent et de l'union et intersection d'ensembles.
Nous allons passer en revue les cercles qui se chevauchent du diagramme de Venn. Nous adopterons les termes OU et ET au lieu d'union et d'intersection puisque c'est la terminologie utilisée en électronique numérique.
Le diagramme de Venn relie l'algèbre booléenne d'un chapitre précédent à la carte de Karnaugh. Nous allons relier ce que vous savez déjà sur l'algèbre booléenne aux diagrammes de Venn, puis passer aux cartes de Karnaugh.
Un ensemble est une collection d'objets d'un univers comme indiqué ci-dessous. Les membres de l'ensemble sont les objets contenus dans l'ensemble. Les membres de l'ensemble ont généralement quelque chose en commun; cependant, ce n'est pas une exigence.
Hors de l'univers des nombres réels, par exemple, l'ensemble de tous les entiers positifs {1,2,3…} est un ensemble. L'ensemble {3,4,5} est un exemple d'ensemble plus petit, ou sous-ensemble de l'ensemble de tous les entiers positifs. Un autre exemple est l'ensemble de tous les hommes de l'univers des étudiants. Pouvez-vous penser à d'autres exemples d'ensembles ?
En haut à gauche, nous avons un diagramme de Venn montrant l'ensemble A dans le cercle à l'intérieur de l'univers U, la zone rectangulaire. Si tout ce qui se trouve à l'intérieur du cercle est A, alors tout ce qui se trouve à l'extérieur du cercle n'est pas A. Ainsi, au-dessus du centre, nous étiquetons la zone rectangulaire à l'extérieur du cercle A comme A-pas au lieu de U. Nous montrons B et B-pas dans un manière similaire.
Que se passe-t-il si A et B sont contenus dans le même univers ? Nous montrons quatre possibilités.
Examinons de plus près chacune des quatre possibilités, comme indiqué ci-dessus.
Le premier exemple montre que l'ensemble A et l'ensemble B n'ont rien en commun selon le diagramme de Venn. Il n'y a pas de chevauchement entre les régions hachurées circulaires A et B. Par exemple, supposons que les ensembles A et B contiennent les membres suivants :
Aucun des membres de l'ensemble A n'est contenu dans l'ensemble B, ni aucun des membres de B contenu dans A. Ainsi, il n'y a pas de chevauchement des cercles. 
Dans le deuxième exemple du diagramme de Venn ci-dessus, l'ensemble A est totalement contenu dans l'ensemble B Comment pouvons-nous expliquer cette situation ? Supposons que les ensembles A et B contiennent les membres suivants :
Tous les membres de l'ensemble A sont également membres de l'ensemble B. Par conséquent, l'ensemble A est un sous-ensemble de l'ensemble B. Étant donné que tous les membres de l'ensemble A sont membres de l'ensemble B, l'ensemble A est entièrement dessiné dans les limites de l'ensemble B.
Il existe un cinquième cas, non représenté, avec les quatre exemples. Astuce :il est similaire au dernier (quatrième) exemple. Dessinez un diagramme de Venn pour ce cinquième cas.
Le troisième exemple ci-dessus montre un chevauchement parfait entre l'ensemble A et l'ensemble B. Il semble que les deux ensembles contiennent les mêmes membres identiques. Supposons que les ensembles A et B contiennent les éléments suivants :
Par conséquent,
Ensemble A =Ensemble B
Les ensembles Et B sont identiques car ils ont tous les deux les mêmes membres identiques. Les régions A et B dans le diagramme de Venn correspondant ci-dessus se chevauchent complètement. En cas de doute sur ce que représentent les motifs ci-dessus, reportez-vous à n'importe quelle figure ci-dessus ou ci-dessous pour être sûr de l'apparence des régions circulaires avant qu'elles ne se chevauchent.
Le quatrième exemple ci-dessus montre qu'il y a quelque chose en commun entre l'ensemble A et l'ensemble B dans la région de chevauchement. Par exemple, nous sélectionnons arbitrairement les ensembles suivants pour illustrer notre propos :
L'ensemble A et l'ensemble B ont tous deux les éléments 3 et 4 en commun. Ces éléments sont à l'origine du chevauchement du centre commun à A et B. Il faut regarder de plus près cette situation.
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