Maîtriser l'arithmétique des nombres complexes : opérations et techniques essentielles

Les nombres complexes sont des entités mathématiques légitimes, tout comme les nombres scalaires. Ils peuvent donc être additionnés, soustraits, multipliés, divisés, élevés au carré, inversés, etc., exactement comme n'importe quel autre type de nombre.

Certaines calculatrices scientifiques sont programmées pour effectuer directement ces opérations sur deux ou plusieurs nombres complexes, mais ces opérations peuvent également être réalisées « à la main ». Cette section vous montre comment effectuer les opérations de base.

Il est fortement recommandé de vous munir d'une calculatrice scientifique capable d'effectuer aisément des fonctions arithmétiques sur les nombres complexes. Cela rendra votre étude des circuits alternatifs bien plus agréable que si vous étiez contraint de faire tous les calculs selon la méthode longue.

Addition et soustraction des nombres complexes sous forme rectangulaire

L'addition et la soustraction avec des nombres complexes sous forme rectangulaire sont simples. Pour l'addition, il suffit d'additionner les composantes réelles des nombres complexes pour obtenir la composante réelle de la somme, et d'additionner les composantes imaginaires pour obtenir la composante imaginaire de la somme :

Lors de la soustraction de nombres complexes en forme rectangulaire, on soustrait simplement la composante réelle du second nombre complexe de celle du premier pour obtenir la composante réelle de la différence, et on soustrait la composante imaginaire du second de celle du premier pour obtenir la composante imaginaire de la différence :

Multiplication et division des nombres complexes sous forme polaire

Pour la multiplication et la division à la main, la notation polaire est privilégiée. Lors de la multiplication de nombres complexes sous forme polaire, on multiplie les modules polaires des nombres complexes pour déterminer le module polaire du produit, et on additionne les angles des nombres complexes pour déterminer l'angle du produit :

La division de nombres complexes sous forme polaire est également aisée : on divise le module polaire du premier nombre complexe par celui du second pour obtenir le module polaire du quotient, et on soustrait l'angle du second nombre complexe de celui du premier pour obtenir l'angle du quotient :

Pour obtenir l'inverse, ou « inverser » (1/x), un nombre complexe, il suffit de diviser le nombre (sous forme polaire) par une valeur scalaire de 1, qui n'est rien d'autre qu'un nombre complexe sans composante imaginaire (angle = 0) :

Voici les opérations de base dont vous aurez besoin pour manipuler les nombres complexes dans l'analyse des circuits alternatifs. Les opérations avec les nombres complexes ne se limitent toutefois pas à l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'inversion.

Pratiquement toute opération arithmétique réalisable avec des nombres scalaires peut être effectuée avec des nombres complexes, y compris les puissances, les racines, la résolution d'équations simultanées à coefficients complexes, et même les fonctions trigonométriques (bien que cela implique une toute nouvelle perspective en trigonométrie appelée fonctions hyperboliques, bien au-delà de cette discussion).

Assurez-vous de bien connaître les opérations arithmétiques de base — addition, soustraction, multiplication, division et inversion — et vous n'aurez guère de difficultés avec l'analyse des circuits alternatifs.

RÉSUMÉ :

• Pour additionner des nombres complexes en forme rectangulaire, additionnez les composantes réelles et additionnez les composantes imaginaires. La soustraction est similaire.
• Pour multiplier des nombres complexes en forme polaire, multipliez les modules et additionnez les angles. Pour diviser, divisez les modules et soustrayez un angle de l'autre.

FEUILLE DE TRAVAIL CONNEXE :

• Feuille de travail sur la phase en courant alternatif