Notation polaire vs rectangulaire pour nombres complexes — guide pratique

Les nombres complexes sous-tendent de nombreux domaines de l'ingénierie et des mathématiques. Pour travailler avec eux efficacement — sans dessiner des vecteurs chaque fois — deux notations standard sont utilisées : polaire et rectangulaire. Cet article explique les deux formes, les règles de conversion entre elles, et quand chacune est la plus utile.

Forme polaire d'un nombre complexe

En notation polaire, un nombre complexe est exprimé par sa magnitude (aussi appelée module ou valeur absolue) et l'angle qu'il forme avec l'axe réel positif. L'angle est généralement écrit avec le symbole ∠.

Pensez à une carte : la notation polaire pour le vecteur de New York à San Diego pourrait lire « 2400 miles, sud-ouest ». Voici deux vecteurs et leurs représentations polaires :

Vecteurs avec notations polaires.

En calculs de circuits CA, l'orientation standard place 0° à droite (est), 90° tout droit (nord), 180° à gauche (ouest), et 270° tout en bas (sud). Les vecteurs pointant « bas » peuvent être décrits avec angles supérieurs à 180° ou comme angles négatifs inférieurs à 0°. Par exemple, un vecteur à ∠270° (directement sud) peut aussi s'écrire –90°. De même, le vecteur 7,81 ∠230,19° peut s'exprimer comme 7,81 ∠–129,81°.

La boussole vectorielle.

Forme rectangulaire d'un nombre complexe

La notation rectangulaire décrit un nombre complexe par ses composantes horizontale (réelle) et verticale (imaginaire). Visuellement, le nombre complexe est l'hypoténuse d'un triangle rectangle, le côté horizontal représentant la partie réelle et le côté vertical la partie imaginaire.

En mathématiques pures, la composante verticale est précédée d'un i minuscule, tandis qu'en génie électrique elle est notée j. Ces lettres sont purement des opérateurs notationnels ; elles ne représentent pas de grandeurs physiques.

Exemple :

Forme rectangulaire : composante horizontale (réelle) + verticale (imaginaire).

L'axe réel correspond à la droite numérique familière, tandis que l'axe imaginaire est une seconde droite numérique rotée de 90° par rapport à l'axe réel.

Boussole vectorielle montrant axes réel et imaginaire.

Puisque les nombres complexes sont à deux dimensions, nous avons besoin de deux axes perpendiculaires pour les représenter. Le diagramme combiné ressemble à ceci :

Boussole vectorielle avec droites numériques réelle et imaginaire (j).

Conversion de polaire vers rectangulaire

Les deux notations sont valides ; le choix dépend de l'opération. La forme rectangulaire est commode pour l'addition et la soustraction, tandis que la forme polaire simplifie la multiplication et la division. La conversion de polaire vers rectangulaire utilise la trigonométrie de base :

• Partie réelle = magnitude × cos(angle)
• Partie imaginaire = magnitude × sin(angle)

Ces relations découlent de la représentation en triangle rectangle du nombre complexe.

Vecteur magnitude en termes de composantes réelle (4) et imaginaire (j3).

Conversion de rectangulaire vers polaire

Pour aller dans l'autre sens, trouvez d'abord la magnitude par le théorème de Pythagore, puis déterminez l'angle avec l'arctangente du rapport imaginaire/réel :

• Magnitude = √(réel² + imaginaire²)
• Angle = atan2(imaginaire, réel)

Des exemples de calculs sont illustrés dans la figure suivante :

Points clés à retenir

• La notation polaire exprime un nombre complexe par sa longueur (magnitude) et sa direction (angle).
• La notation rectangulaire l'exprime par ses composantes horizontale (réelle) et verticale (imaginaire).
• La composante imaginaire s'écrit avec un j minuscule (électronique) ou i (mathématiques).
• Les deux formes correspondent à un triangle rectangle : hypoténuse = magnitude, adjacent = partie réelle, opposé = partie imaginaire.

Fiche associée

• Fiche : Phase CA