Théorème de substitution – Guide étape par étape avec exemple résolu

Analyse et résolution de circuits électriques à l'aide du théorème de substitution

Théorème de substitution

Comme son nom l'indique, un théorème de substitution est utilisé pour remplacer un élément du circuit par un autre élément. Mais lors du remplacement de l'élément, vous devez garder à l'esprit que le comportement du circuit ne doit pas changer.

Le théorème de substitution stipule que ;

Ce théorème est utilisé pour prouver plusieurs théorèmes. Pour remplacer une branche du réseau, ce théorème nous indique les conditions aux limites.

Si la valeur du courant traverse la branche et que la valeur de la tension aux bornes de la branche est connue, on peut remplacer cette branche par d'autres éléments comme une source de tension, une source de courant, différentes valeurs des résistances, etc. en faisant cela, la condition initiale reste inchangée.

Ce théorème ne peut pas s'appliquer lorsqu'un circuit a plus de deux sources connectées en série ou en parallèle.

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Explication du théorème de substitution

Le théorème de substitution est un remplacement de n'importe quelle branche d'un réseau par une branche équivalente ayant des éléments différents. Dans ce théorème, si une branche ou un élément est remplacé par une source de tension et de courant qui est la même que le réseau d'origine, la tension et le courant de cette branche.

Comprenons le théorème de substitution avec un réseau illustré dans la figure ci-dessous.

Comme le montre la figure ci-dessus, il comporte deux résistances connectées en série avec une source CC. Maintenant, nous allons essayer de remplacer n'importe quelle branche ou élément par d'autres éléments. Avant cela, nous devons connaître la tension et le courant qui traversent toutes les branches.

Ici, ce circuit n'a qu'une seule boucle. Par conséquent, le courant traverse toutes les branches et les éléments est le même. Ce courant peut être déterminé en appliquant KVL au réseau.

Disons, je quantité de courant qui passe à travers la boucle.

+15 =5je + 10je

15 =15je

Je =1A

Ainsi, le courant qui traverse chaque élément est de 1A. Maintenant, nous devons trouver la tension à travers tous les éléments.

Une branche a une source de tension. Donc, nous ne trouvons pas la tension de cette branche. Cette tension se divise en deux résistances. Et nous devons trouver la tension aux bornes de chaque résistance. Il peut être trouvé en appliquant la règle du diviseur de tension.

Ainsi, la tension aux bornes de la résistance de 5 Ω est ;

De même, la tension aux bornes de la résistance de 10 Ω est ;

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Substitut-1

Nous pouvons remplacer la branche de résistance de 10 Ω par une source de tension de 10 V, comme indiqué dans la figure ci-dessous.

Maintenant, appliquez KVL au réseau,

+15 – 10 =5je

5 =5je

Je =1A

Ainsi, le courant de boucle est le même que le circuit d'origine. Maintenant, calculez la tension aux bornes des éléments. La branche de résistance 10Ω est remplacée par une source 10V. Par conséquent, la tension aux bornes de cette branche est de 10 V. Et cette tension est la même que la tension de cette branche dans le circuit d'origine.

Maintenant, trouvez la tension aux bornes de la branche de résistance de 5 Ω. Le courant qui passe dans cette branche est de 1A. Par conséquent, selon la loi d'Ohm ;

V _5Ω =1A × 5 =5V

Ainsi, le courant traverse toutes les branches et la tension dans toutes les branches est identique à celle du réseau d'origine.

Substitut-2

Retirez la branche de résistance de 5 Ω. Et remplacez cette branche par une source de tension 5V. Le schéma de circuit de cette substitution est comme indiqué dans la figure ci-dessous.

Maintenant, calculez le courant et la tension de toutes les branches et comparez-les avec le réseau d'origine.

Pour trouver le courant traversant la boucle, appliquez KVL ;

+15 – 5 =10je

10 =10je

Je =1A

Par conséquent, le courant de boucle ou le courant qui traverse les éléments est le même que le courant qui traverse le réseau d'origine.

La branche de résistance de 5 Ω est remplacée par une source de tension de 5 V. Par conséquent, la tension de cette branche est la même que la tension dans le réseau d'origine. Maintenant, nous devons calculer la tension aux bornes de la branche de résistance de 10Ω.

Le courant qui traverse la branche de résistance de 10Ω est de 1A. Selon la loi d'Ohm ;

V _10Ω =RI

V _10Ω =1 × 10

V _10Ω =+10 V

Ainsi, après avoir remplacé la résistance de 5 Ω par une source de tension de 5 V, le comportement du réseau n'est pas modifié.

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Substitut-3

Retirez la branche de résistance de 10 Ω et remplacez-la par une source de courant de 1 A. Le schéma de circuit après substitution est comme indiqué dans la figure ci-dessous.

Il y a une source de courant dans le circuit. Par conséquent, le courant qui traverse la boucle est le même que la quantité de la source de courant. Dans cette condition, la source de courant 1A est connectée au réseau. Et par conséquent, le courant qui traverse la boucle est de 1A, ce qui est le même que le courant qui traverse le réseau d'origine.

Maintenant, calculez la tension aux bornes de la résistance de 5 Ω et de la source de courant de 1 A.

Selon la loi d'Ohm,

V _5Ω =IR

V _5Ω =1 × 5

V _5Ω =+5 V

Maintenant, trouvez la tension aux bornes de la source de courant 1A. Supposons que la tension aux bornes de la source de courant 1A est V.

D'après la figure ci-dessus ;

+15 – 5 – V =0

V =+10 V

Ainsi, il est prouvé que la tension aux bornes et le courant traversant tous les éléments sont identiques à ceux du réseau d'origine après avoir remplacé la résistance de 10 Ω par une source de courant de 1 A.

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Substitution-4

Retirez la branche de résistance de 10 Ω et remplacez-la par une résistance de 5 Ω connectée en série avec une source de tension de 5 V. Le schéma de circuit de ce substitut est comme indiqué dans la figure ci-dessous.

Maintenant, nous devons trouver les passages actuels dans la boucle. Alors, appliquez KVL au réseau ci-dessus.

15 – 5 =5je + 5je

10 =10je

Je =1A

Ainsi, le courant passe à travers l'élément est le même que le réseau d'origine. Maintenant, trouvez la tension à travers tous les éléments.

Pour trouver la tension aux bornes de la résistance de 5 Ω ; nous utilisons la loi d'Ohm.

V _5Ω =RI

V _5Ω =1 × 5

V _5Ω =5 V

Maintenant, nous trouvons la tension entre les points A et B.

D'après la figure ci-dessus, le courant qui traverse la résistance de 5 Ω est de 1 A. Ainsi, la tension aux bornes de cet élément est de 5V. Et la tension totale entre les points A et B est

V _AB =5 + V _5Ω

V _AB =5 + 5

V _AB =+10V

Ainsi, après le remplacement de la branche de résistance de 10 Ω par une résistance de 5 Ω et une source de tension de 5 V, le comportement du réseau reste le même.

Ainsi, nous pouvons dire qu'il existe plusieurs méthodes disponibles pour trouver la substitution de l'élément de n'importe quel réseau sans changer la tension et le courant de l'élément et sans changer le comportement de l'élément réseau.

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Étapes pour résoudre un réseau à l'aide du théorème de substitution 

Étape 1 Trouvez la tension et le courant de tous les éléments du réseau. Généralement, la tension et le courant peuvent être calculés par la simple utilisation de KCL, KVL ou de la loi d'Ohm.

Étape 2 Trouvez la branche concernée, que vous souhaitez supprimer par un élément différent comme la source de courant, la source de tension ou la résistance.

Étape 3 Trouvez la valeur appropriée de l'élément substitué à condition que la tension et le courant ne changent pas.

Étape 4 Vérifiez le nouveau circuit en calculant la tension et le courant de tous les éléments. Et comparez-le avec le réseau d'origine.

Ceci concerne le théorème de substitution. Maintenant, prenons un exemple.

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Exemple et solution du théorème de substitution

Résolvez le réseau ci-dessous en utilisant le théorème de substitution pour calculer le courant et la tension dans toutes les résistances.

Étape 1 Trouvez la tension et le courant de tous les éléments. Pour cela, dans cet exemple, nous appliquons un KVL au réseau.

Appliquer KVL à loop-1 ;

14 =6je ₁ – 4je ₂ … (1)

Appliquer KVL à loop-2 ;

0 =12je ₂ – 4je ₁

12je ₂ =4je ₁

Je ₁ =3je ₂ … (2)

Mettre cette valeur dans l'équation-1 ;

14 =6(3je ₂ ) – 4je ₂

14 =18je ₂ – 4je ₂

14 =14je ₂

Je ₂ =1A

De l'équation-2 ;

Je ₁ =3A

Étape 2 Maintenant, nous allons supprimer les branches de loop-1 et faire une seule boucle.

Étape 3 On peut mettre une source de tension ou une source de courant à la place de la résistance 4Ω. Ici, nous allons mettre une source actuelle.

Le courant qui traverse la boucle 2 est de 1 A. Par conséquent, nous remplaçons la branche par une source de courant 1A. Ainsi, le circuit restant est comme indiqué dans la figure ci-dessous.

Étape 4 Vérifions la tension et le courant de tous les éléments.

Ce réseau a une seule boucle. Et cette boucle a une source de courant. Ainsi, la valeur du courant qui passe dans la boucle est la même que la valeur de la source de courant.

Ici, la valeur de la source actuelle est 1A. Par conséquent, le courant passe à travers la branche de 3Ω et la branche de résistance 5Ω est de 1A, ce qui est le même que le réseau d'origine.

Maintenant, trouvez la tension aux bornes de la résistance de 3Ω en utilisant la loi d'Ohm ;

V _3Ω =RI

V _3Ω =1 x 3

V _3Ω =3V

Maintenant, trouvez la tension aux bornes de la résistance de 5Ω en utilisant la loi d'Ohm ;

V _5Ω =IR

V _5Ω =1 x 5

V _5Ω = 5V

Ainsi, la tension et le courant sont les mêmes que le réseau d'origine. C'est ainsi que fonctionne le théorème de substitution.

Au lieu de la source de courant si nous choisissons la source de tension à l'étape 3. Dans cette condition, la valeur de la source de tension est similaire à la valeur de la branche de résistance 4Ω.

Dans le réseau d'origine, le courant passe par la branche de résistance 4 Ω ;

Je ₁ – je ₂ =3 – 1 =2A

Selon la loi d'Ohm ;

V _4Ω =2 x 4 =8V

Nous devons donc connecter la source de tension 8 V au réseau et le circuit restant est comme indiqué dans la figure ci-dessous.

Étape 4 Vérifiez la tension et le courant. Appliquez KVL à la boucle ci-dessus.

8 =3je + 5je

8 =8je

Je =8A

La tension aux bornes de la résistance de 3 Ω ;

V _3Ω =1 × 3 =3V

La tension aux bornes de la résistance de 5 Ω ;

V _5Ω =1 × 5 =5V

Ainsi, la tension et le courant après substitution sont les mêmes que le réseau d'origine.

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