Effet thermoélectrique dans un point quantique corrélé couplé latéralement aux États liés de Majorana

Introduction

La préparation et la détection des états liés de Majorana (MBS) à énergie nulle sont d'une importance particulière dans la physique moderne de la matière condensée. Fondamentalement, les MBS sont la contrepartie à l'état solide des fermions de Majorana et sont associés à des statistiques non abéliennes qui peuvent permettre une information quantique protégée topologiquement avec des applications potentielles dans le calcul quantique sans décohérence [1–3]. En dehors de cela, les MBS sont également prometteurs dans la conception de dispositifs électroniques à haut rendement, tels que la spintronique [4]. Des MBS bien séparés peuvent être préparés dans divers systèmes, dont les schémas les plus importants incluent des supraconducteurs non centrosymétriques [5], des isolants topologiques tri ou bidimensionnels couplés à des supraconducteurs [6], des défauts électrostatiques dans des supraconducteurs topologiques [7], les supraconducteurs à onde p [8], les nanofils semi-conducteurs [9] ou ferromagnétiques [10] avec une forte proximité d'interaction spin-orbite native avec les supraconducteurs à onde s conventionnels, et les jonctions Josephson [11].

Quant à la détection des MBS, elle est également assez difficile car les fermions de Majorana sont leurs propres antiparticules et charge neutre en raison de leur symétrie intrinsèque particule-trou. Diverses expériences ont été menées pour vérifier l'existence des MBS à travers des phénomènes tels que le 4π phase de courant de Josephson périodique dans les jonctions entre supraconducteurs topologiques [12], plateau de conductance demi-entier au champ coercitif dans une structure hybride composée de supraconducteurs topologiques et d'isolant de Hall anormal quantique topologique [13], spectroscopie tunnel utilisant des nanofils de Rashba couplés à la masse s -ondes supraconductrices [14], et polarisation nulle de la conductance différentielle aux bords des fils [14, 15]. Cependant, ces phénomènes ont d'autres origines physiques possibles à l'exception des MBS, et des schémas alternatifs ont alors été proposés. L'un d'eux est l'hybridation des MBS avec d'autres structures à l'échelle nanométrique, telles que la boîte quantique à zéro dimension (QD) dans laquelle les niveaux d'énergie, les interactions électron-électron de Coulomb, le nombre de particules et la force de couplage avec l'environnement externe sont tous bien contrôlables. 16, 17]. À basse température, une conductance à moitié maximale lorsque le niveau d'énergie du QD est aligné sur l'énergie de Fermi dans les dérivations a été théoriquement prédite comme une preuve claire de la formation d'une paire de MBS [18]. Ce résultat est complété inchangé par l'ajustement du niveau d'énergie QD [19] et a été observé avec succès en expérimentation dans un QD couplé à un nanofil InAs-Al [20]. Récemment, des schémas optiques basés sur la structure QD ont également été proposés théoriquement pour détecter les MBS à l'aide de la technique de la pompe optique. [21, 22] Dans les systèmes QD en anneau ou en T, les phénomènes d'interférence quantique sont considérablement affectés par les MBS [23–25] et peuvent ensuite être utilisés pour le schéma de détection à l'aide, par exemple, de la Effet Fano [26–28].

Récemment, il y a aussi des travaux concernant la détection des MBS par effet thermoélectrique, qui se concentrent sur la conversion entre les énergies électrique et thermique. Cet ancien sujet de recherche reçoit un regain d'attention en raison des progrès rapides de la croissance et de la fabrication de dispositifs mésoscopiques et de nanostructures, dans lesquels les performances thermoélectriques sont évidemment améliorées [29, 30]. Des récupérateurs d'énergie à haut rendement basés sur des QD définis sur une interface GaAs/AlGaAs, par exemple, ont été récemment rapportés [31, 32]. L'amélioration de l'effet thermoélectrique en eux peut être attribuée à la réduction considérable de la conductivité thermique par diffusion aux limites et à l'optimisation des propriétés de transport électrique uniques dans ces systèmes de faible dimension [30–32]. La thermopuissance (coefficient Seebeck) est la grandeur centrale dans l'effet thermoélectrique. C'est la force d'une tension en circuit ouvert en réponse à un gradient de température appliqué dans un matériau solide avec des porteurs électroniques libres. Hou et al. théoriquement prédit que la thermopuissance entre un QD et un supraconducteur hébergeant un état de bord de Majorana satisfait la formule de Mott et ne disparaît pas de manière générique en utilisant le formalisme de Landauer-Büttiker [33]. Sur la base d'une telle propriété, on peut déduire la température de l'état de bord de Majorana en mesurant la conductance différentielle et la puissance thermique. Leijnse a démontré théoriquement que le couplage entre un QD à niveau d'énergie accordable et les MBS brise la symétrie particule-trou, et les changements de thermopuissance fournissent une nouvelle façon de prouver l'existence des états de Majorana [34]. Les propriétés thermoélectriques d'une telle configuration peuvent également être utilisées pour détecter la température du supraconducteur et pour extraire des informations sur la désintégration dissipative des MBS [34]. Dans une structure avec un QD couplé à deux électrodes, López et al. ont montré que le thermopouvoir va changer de signe en changeant l'hybridation directe entre les MBS, une bonne preuve de l'existence des MBS [35]. Le changement de signe de la puissance thermique a également été retrouvé par la suite dans les systèmes d'un QD avec deux [36] ou trois [37] électrodes. De plus, il a été démontré que la relation entre le bruit de grenaille et les quantités thermoélectriques peut fournir un moyen purement électrique pour détecter les MBS à charge neutre [38, 39].

Dans le présent article, nous proposons un système hybride composé de MBS et d'un QD couplé à des électrodes (voir Fig. 1) pour étudier les propriétés du thermopouvoir. Dans le nanosystème considéré, la forte interaction de Coulomb dans le point, qui a été négligée dans des travaux antérieurs [18, 22-24, 34-39], est prise en compte. De plus, nous considérons qu'une seule composante de spin du spin QD est couplée aux MBS en raison de la nature chirale des MBS [40]. Nous constatons que le signe de la thermopuissance peut être efficacement inversé en modifiant la force de couplage point-MBS, l'hybridation directe entre les MBS et la température du système. La grande puissance thermique de spin polarisée à 100 % et de spin pur qui en résulte, qui sont les courants de spin purs et polarisés à 100 % correspondants en circuit fermé, sont utiles en spintronique. Le couplage des deux MBS au QD augmentera encore l'amplitude de la puissance thermique, mais ne modifie pas les résultats essentiels lorsqu'un seul des MBS est couplé au point. Sur la base des mesures de transport quantique actuellement avancées pour les MBS via QD couplées à des nanofils supraconducteurs topologiques, nous pensons que notre proposition pourrait être testée expérimentalement à l'avenir. De plus, notre proposition et les résultats de ce travail peuvent fournir un excellent moyen de détecter la formation des MBS dans QD.

Schéma du modèle (couleur en ligne). un Schéma de la structure de simulation composée d'un QD avec un niveau d'énergie réglable par grille ε _d qui peut être occupé par un électron de spin-up ou de spin-down. Le QD est connecté aux fils gauche et droit maintenus à différentes températures avec une force de couplage Γ _{L /R} . Les MBS η _1/2 sont formés aux extrémités du nanofil semi-conducteur et sont couplés aux électrons de spin-up dans le QD en raison de la nature chirale des fermions de Majorana avec des forces de λ ₁ et λ ₂ , respectivement. L'état énergétique des électrons de spin-up sera modifié par le couplage MBS-QD, puis la force et le signe de la thermopuissance S sera influencé. Dans le présent modèle, nous supposons la température du fil gauche T _L est supérieur à celui de droite T _R , et puis, il y a plus d'électrons (états vides) excités au-dessus (en dessous) du potentiel chimique dans le fil gauche que ceux dans le fil droit. b , c Les processus d'effet tunnel électronique et la thermopuissance résultante en l'absence de couplage MBS-QD. En b , le niveau d'énergie QD ε _d est au-dessus du potentiel chimique des fils μ _{L /R} =μ , puis les électrons des états occupés ε _d >μ dans le fil le plus chaud de gauche passera à travers l'état du point ε _d à l'état vide dans le conducteur le plus froid de droite, ce qui entraîne une puissance thermique négative S <0. En c , ε _d <μ , et ensuite, le signe de la thermopuissance est inversé en conséquence

Modèle et méthodes

L'hamiltonien effectif du QD couplé aux MBS et aux électrodes métalliques normales gauche et droite prend la forme suivante [34, 35] :

où \(c_{k\beta \sigma }^{\dag } (c_{k\beta \sigma })\) crée (annihile) un électron de quantité de mouvement k , énergie ε _{k β} (sa dépendance vis-à-vis du spin est négligée pour une électrode métallique normale), et spin σ =↑ ,↓ dans l'électrode β =L ,R . Pour le QD, \(d_{\sigma }^{\dag } (d_{\sigma })\) est l'opérateur de création (annihilation) d'un électron avec un niveau d'énergie réglable en tension de grille ε _d , spin- σ , et interaction intradot de Coulomb U . La force de couplage entre le QD et les dérivations est décrite par V _{k β} . Le dernier terme H _MBS dans l'éq. (1) représente les MBS à énergie nulle situés aux extrémités opposées du nanofil semi-conducteur et leur couplage au QD [18] :

dans lequel δ _M est l'amplitude de chevauchement entre les deux MBS avec un opérateur satisfaisant à la fois \(\eta _{j}=\eta _{j}^{\dag } (j=1,2)\) et {η _i ,η _j }=δ _{i ,j} . L'amplitude de saut entre les MBS et le spin-↑ électrons dans le QD est représenté par λ _j . Il est utile d'écrire η _j en termes d'opérateurs fermioniques réguliers f comme [18] \(\eta _{1}=(f^{\dag }+f)/\sqrt {2}\) et \(\eta _{2}=i(f^{\dag }- f)/\sqrt {2}\), puis, H _MBS est réécrit comme :

On considère le système en régime de réponse linéaire, c'est-à-dire sous une tension de polarisation infiniment petite Δ V et différence de température Δ T entre les conducteurs gauche et droit, les courants électriques et thermiques de chaque composant de spin sont obtenus comme :

où e est la charge électronique et T la température d'équilibre du système, et

où \(\hbar \) est la constante de Planck réduite. Nous fixons le potentiel chimique des leads μ =0 comme point zéro d'énergie. La fonction de distribution de Fermi est donnée par f (ε ,μ )=1/{1+exp[(ε −μ )/k _B T ]} avec k _B étant la constante de Boltzmann. Le coefficient de transmission T _σ (ε ) est calculé à l'aide de la fonction de Green retardée comme :

où \(\Gamma _{L(R)}=2\pi \sum _{k}|V_{kL(R)}|^{2}\delta [\varepsilon -\varepsilon _{kL(R)} ]\) est la fonction de largeur de ligne. Nous appliquons la technique standard de l'équation du mouvement pour obtenir la fonction de Green. Les fonctions de Green d'ordre supérieur sont tronquées par le schéma suivant 2 dans la réf. [39], c'est-à-dire négliger l'effet tunnel simultané de l'électron de spin opposé. Après quelques calculs simples, la fonction de Green à retard de rotation est donnée par :

Résultats et discussions

Dans ce qui suit, nous supposons un couplage symétrique entre le QD et les électrodes, et définissons Γ =2Γ _L =2Γ _R =1 comme unité d'énergie. L'interaction intradot Coulomb est fixée comme U =10Γ . Nous étudions tout d'abord le cas du QD qui est couplé au seul MBS-1 avec une force d'hybridation différente λ ₁ dans la Fig. 2 en réglant λ ₂ =0. Pour λ ₁ =0, la conductance de chaque composante de spin sur la figure 2a développe deux pics situés respectivement à ε _d =−μ et −μ −T . Notez maintenant que le QD est exempt de polarisation de spin induite par le MBS, et la conductance des deux composantes de spin est égale l'une à l'autre (G _↑ =G _↓ ), par conséquent. Activation de l'hybridation entre le MBS et le QD (λ ₁ ≠0), l'amplitude de G _↑ est supprimé de manière monotone comme le montre la figure 2a, ce qui est cohérent avec les résultats précédents [18, 34, 35]. La valeur de G _↓ , cependant, est presque inchangé même le numéro d'occupation n _↓ est modifié par λ ₁ en raison de la présence d'une interaction intradot de Coulomb (qui n'est pas représentée sur la figure). Pendant ce temps, la position et la largeur des pics dans G _↑ sont légèrement modifiés par la valeur de λ ₁ due à la renormalisation de niveau par le couplage point-Majorana [18, 34, 35]. La configuration de la conductance totale G =G _↑ +G _↓ sur la figure 2c ressemble à celui de G _↑ .

Conductance et thermopuissance dépendantes du spin pour différentes forces de couplage point-Majorana (couleur en ligne). Le spin-up et la conductance totale dans a , c et thermopuissance en b , d verset au niveau du point. La conductance et la thermopuissance de spin-down sont presque inchangées par la force de couplage point-Majorana λ ₁ , et ils se chevauchent avec les lignes pleines noires dans a et c , respectivement. Les autres paramètres sont la température T =0.025Γ ,Δ _M =0,U =10Γ , et λ ₂ =0

Le thermopouvoir S _↑ dans la Fig. 2b montre la configuration en dents de scie typique et a trois points zéro individuellement à ε _d =μ ,−U /2, et μ −T [41, 42]. Il développe une paire de pics aigus avec des signes opposés à chacun des deux états de résonance (ε _d =μ ,μ −T ) et change de signe chaque fois que ε _d passe chaque zéro points. En l'absence d'hybridation dot-MBSs (λ ₁ =0) comme indiqué par la ligne noire continue sur la Fig. 2b, S _↑ est positif (négatif) lorsque ε _d est au-dessous (au-dessus) du point zéro car les principaux porteurs sont des électrons (trous). Avec l'augmentation λ ₁ , le thermopouvoir spin-down S _↓ est inchangé et la valeur absolue de S _↑ est d'abord supprimé, puis amélioré. Pour λ suffisamment grand ₁ ,S _↑ change de signe comme le montre la figure 2b. Avec une augmentation supplémentaire de λ ₁ , la valeur absolue de S _↑ dépasse celui de S _↓ et la puissance thermique totale S =S _↑ +S _↓ change aussi de signe. Un tel phénomène a également été trouvé précédemment dans le modèle sans spin [35-37]. En fait, le changement de signe de la thermopuissance dans un dispositif basé sur QD sans MBS a été attribué à plusieurs causes, telles que la température d'équilibre du système [29], le moment magnétique des électrodes [43], l'interaction de Coulomb [43, 44], le couplage force entre les QD, le champ magnétique appliqué, l'effet d'interférence quantique ou le flux magnétique pénétrant à travers ceux à points multiples [45, 46]. Les mécanismes ci-dessus sont assez différents du cas présent, et le changement de signe de la thermopuissance en changeant l'hybridation entre le QD et les MBS est utile pour détecter les MBS [35-37].

La figure 3a, b montre la conductance totale G et themopower S variant avec le niveau de point ε _d pour différentes valeurs de la température T . La valeur de crête de G est d'abord amélioré puis supprimé en augmentant la température, comme le montre la figure 3a. L'amplitude de la puissance thermique de la figure 3b, cependant, est principalement augmentée par l'augmentation de la température, car il y a plus d'électrons (trous) excités au-dessus (en dessous) du potentiel chimique. De plus, S change de signe pour les cas de T =0,1 et 0,2 comme indiqué par les lignes roses et vertes de la figure 3b, ce qui est similaire au cas de l'effet thermoélectrique dans une structure basée sur QD sans MBS. Pour T =0.2Γ , la valeur de crête de S peut atteindre jusqu'à 2k _B /e , qui est un ordre plus grand que celui de T =0,001. En fait, nous avons vérifié que l'amplitude de la puissance thermique peut être encore augmentée en augmentant la température. Dans le présent article, cependant, nous nous concentrons sur le changement de signe de S à relativement basse température, ce qui est généralement le cas des MBS formés expérimentalement. La figure 3c, d présente la conductance et la thermopuissance pour différentes valeurs d'hybridation directe des deux MBS aux extrémités opposées du nanofil à T fixe =0.025Γ . La valeur de crête de la conductance sur la figure 3c est augmentée de manière monotone en augmentant δ _M , ce qui est en accord avec les résultats trouvés par López et al. [35]. La thermopuissance de la figure 3d change de signe pour 0,03Γ <δ _M <0.05Γ , qui est supérieure à la température T =0.025Γ . En réf. [32], ils ont trouvé que la thermopuissance change de signe vers δ _M k _B T dans le modèle sans spin. Dans le présent article, le changement de signe de S se produit à relativement plus grand δ _M car les MBS sont couplés à un seul électron de direction de spin. De plus, la valeur de crête de la puissance thermique peut également être augmentée en augmentant δ _M .

Conductance et thermopuissance (couleur en ligne). Compteur de la conductance totale G et thermopuissance S en fonction de ε _d et Δ _M dans a , b , température T en c , d , respectivement. La valeur de λ ₁ est fixé à 0.2Γ . La température en a , c est de 0,025Γ , et en c , d Δ _M =0. Les autres paramètres sont les mêmes que ceux de la Fig. 2

Nous montrons les thermopuissances résolues en spin individuellement en fonction de λ ₁ et δ _M dans la Fig. 4. La puissance thermique de spin-up S _↑ sur la figure 4a augmente d'abord, atteignant un maximum, puis diminue avec l'augmentation de λ ₁ . À suffisamment grand λ ₁ , il reste à une valeur stable. La valeur de la thermopuissance de spin-down S _↓ est inchangé par λ ₁ comme prévu. Les comportements de S _↑ et S _↓ amènent deux résultats intéressants :l'un est la thermopuissance à polarisation de spin à 100 % lorsque S _↑ =0 mais S _↓ a une valeur finie qui peut être utilisée pour filtrer le spin des électrons ; l'autre est la thermopuissance de spin pur fini S _s =S _↑ −S _↓ avec une puissance thermique nulle S _c =S _↑ +S _↓ =0 qui s'est produit lorsque S _↑ =−S _↓ comme le montrent les points sur la figure 4b. En circuit fermé, les thermopuissances à spin polarisé à 100 % et à spin pur sont individuellement les courants correspondants, qui sont virtuels dans les dispositifs spintroniques. Des résultats similaires sont trouvés dans la Fig. 4b, d, dans laquelle S _↑ subit un changement de signe en changeant δ _M , tandis que S _↓ reste inchangé. Nous soulignons que les thermopuissances actuelles à spin polarisé à 100 % et à spin pur émergent en l'absence de champ magnétique ou de matériaux magnétiques dans le QD.

Thermopuissances variant avec la force de couplage point-Majorana et le chevauchement direct. Les thermopouvoirs en fonction de λ ₁ dans a , b avec Δ _M =0, et Δ _M en c , d avec λ ₁ =0.2Γ , respectivement. Les autres paramètres sont les mêmes que ceux de la Fig. 2

Sur la figure 5, nous étudions le cas des deux MBS aux extrémités opposées du nanofil qui sont couplés au QD lorsque le fil et le point sont suffisamment proches l'un de l'autre avec δ _M =0. La figure 5a montre que la conductance totale G conserve la configuration double pic en présence de λ ₂ . La hauteur des pics sera supprimée en augmentant λ ₂ . La forme de la ligne de S est également inchangé par la valeur de λ ₂ comme indiqué par la figure 5b. La valeur du pic de S sera considérablement améliorée puisque la thermopuissance est inversement proportionnelle à la conductance. Pour λ ₂ ∼0.2Γ , l'amplitude de la puissance thermique peut atteindre jusqu'à 2 k _B /e . De plus, nous trouvons que S ne changera pas son signe en ajustant la valeur de λ ₂ . La figure 6 montre la thermopuissance totale en fonction de ε _d pour différentes valeurs d'hybridation directe entre les MBS δ _M en corrigeant λ ₁ =λ ₂ =0.2Γ . Cela montre que la magnitude et le signe peuvent être modifiés efficacement en réglant δ _M , ce qui est similaire au cas où un seul des MBS est couplé au QD. Enfin, nous discutons brièvement de la réalisation expérimentale des présents dispositifs. Le nanofil hébergeant les MBS peut être fabriqué avec de l'InAs cultivé par épitaxie par faisceau moléculaire avec plusieurs nanomètres de couche d'Al épitaxiale [47]. Il a été prouvé expérimentalement qu'un entrefer supraconducteur dur peut être induit sur un tel type de nanofils [47, 48] en appliquant un champ magnétique critique dépassant 2 T le long de l'axe du fil [20]. Un QD est formé dans le segment InAs nu à l'extrémité du fil en raison de la densité des gradients d'état sur les bords de la coque Al [20, 47, 48].

Impacts de l'autre couplage point-Majorana sur la thermopuissance (couleur en ligne). Impacts de λ ₂ sur la conductance totale (a ) et la thermopuissance (b ) avec λ ₁ =0.2Γ ,δ _M =0. Les autres paramètres sont les mêmes que ceux de la Fig. 2

Tracé de compteur de la thermopuissance (couleur en ligne). Tracé de compteur de la thermopuissance en fonction de ε _d et λ ₂ pour λ ₁ =0.2Γ . Les autres paramètres sont les mêmes que ceux de la Fig. 2

Conclusions

En conclusion, nous avons étudié les propriétés de la conductance électrique et de la thermopuissance dans une boîte quantique connectée aux électrodes métalliques normales gauche et droite avec interaction de Coulomb. Le point est également couplé à des MBS formés dans un nanofil semi-conducteur. Nous constatons que les MBS influencent la conductance et la thermopuissance du composant de spin auquel il se couple uniquement, bien que les électrons de spin-up et de spin-down interagissent les uns avec les autres via la répulsion de Coulomb. Le signe de la puissance thermique peut être modifié en ajustant la force d'hybridation point-MBS, la direction d'hybridation entre les MBS et la température du système. Une grande valeur des puissances thermiques à spin polarisé à 100 % ou à spin pur peut être obtenue dans une structure QD non magnétique. Le couplage entre le point et les deux MBS ne peut changer que l'amplitude de la thermopuissance, mais pas son signe. Nos résultats peuvent être utiles pour détecter l'existence des MBS via une technique thermoélectrique.

Disponibilité des données et des matériaux

Les ensembles de données soutenant les conclusions de cet article sont inclus dans l'article.

Abréviations

QD :

Point quantique

MBS :

États liés à Majorana