Transmission unidirectionnelle dépendante du pseudospin dans les cristaux plasmoniques topologiques à base de graphène

Contexte

Les isolants topologiques photoniques [1,2,3,4], des matériaux optiques d'une phase topologique non triviale qui interdisent la transmission de la lumière à l'intérieur mais permettent la propagation le long de leurs bords, ont été étudiés intensivement suite à la découverte de l'effet Hall quantique (QHE) dans matière. Une manifestation clé de la physique topologique est la présence d'états de bord qui sont robustes contre les défauts structurels ou les désordres locaux. En particulier, en utilisant la correspondance volume-arête [5, 6], on peut étudier différentes phases topologiques en sondant des états de bord ou des invariants topologiques de bord. Ces dernières années, des états de bord topologiques ont été prédits et observés dans de nombreux systèmes à bande interdite topologique photonique, tels que les cristaux photoniques gyromagnétiques [7,8,9], les isolants topologiques photoniques à base bi-anisotrope [10, 11], les réseaux de guides d'ondes couplés [12, 13] et les réseaux photoniques de Floquet [14, 15], où divers mécanismes physiques sont proposés pour assurer une protection topologique. Notamment, un double cône de Dirac a été ouvert pour obtenir une bande interdite topologiquement non triviale dans un cristal photonique en nid d'abeille bien connu qui préserve la pseudo symétrie d'inversion du temps, ce qui donne lieu à une transmission unidirectionnelle pseudospin-dépendante des états de bord [16, 17]. Outre les systèmes photoniques, les états de bord pseudo-dépendants dans les systèmes phononiques ont été explorés [18,19,20]. Cependant, l'analogie dans les nanostructures plasmoniques n'a pas encore été rapportée, ce qui est dû à l'énorme perte ohmique des plasmons se propageant le long des matériaux plasmoniques traditionnels tels que Au et Ag.

Les polaritons de plasmons de surface (SPP) [21], excitations élémentaires couplées par des photons et des oscillations d'électrons libres à une interface entre un métal et un diélectrique, sont considérés comme un mécanisme physique prometteur pour contourner la limitation de la diffraction et faire avancer la miniaturisation des dispositifs . Iurov et al. ont exploré l'action inverse et l'hybridation des modes plasmoniques et ont trouvé la polarisation optique induite par les électrons de Dirac dans le graphène [22]. Memmi et al. ont rapporté le fort couplage entre les SPP et les vibrations moléculaires [23]. Alors que les métaux nobles couramment utilisés tels que l'or et l'argent présentent des propriétés plasmoniques principalement dans la région visible et proche infrarouge du spectre, le graphène est récemment apparu comme une alternative prometteuse capable d'étendre le domaine de la plasmonique à l'infrarouge et au térahertz (THz). longueurs d'onde. Plus important encore, contrairement aux métaux nobles, les plasmons de graphène peuvent être réglés dynamiquement via une polarisation électrostatique [24, 25], ce qui permet une nouvelle génération de dispositifs plasmoniques reconfigurables. De plus, les SPP excités dans du graphène de haute qualité peuvent atteindre des temps de relaxation intrinsèques remarquablement longs et fournir des niveaux de confinement de champ sans précédent [26]. Ces propriétés extraordinaires font du graphène un candidat idéal pour les composants plasmoniques topologiques entièrement intégrés. Très récemment, Jin et al. ont réalisé les plasmons de bord unidirectionnels protégés topologiquement dans un graphène monocouche à motifs périodiques, où la topologie des bandes de plasmons de graphène sous un champ magnétique à rupture de renversement du temps a été étudiée en détail [27]. Et Pan et al. a démontré le comportement non réciproque substantiel aux jonctions du super-réseau sous des champs magnétiques statiques modérés, conduisant à l'émergence d'états de bord topologiquement protégés et de modes de volume localisés [28].

Dans ce travail, nous explorons théoriquement les propriétés topologiques des cristaux plasmoniques de graphène (GPC) bidimensionnels (2D) construits par des nanodisques de graphène disposés périodiquement. Les cônes de Dirac aux coins de la zone Brillouin (BZ) sont pliés en un double cône de Dirac au centre de la BZ en utilisant le mécanisme de pliage de zone. Afin d'obtenir des bandes interdites topologiques, nous effectuons des déformations supplémentaires sur le réseau en nid d'abeille. En rétrécissant ou en agrandissant les nanodisques de graphène, le double cône de Dirac est ouvert et l'inversion de bande se produit entre les modes pseudospin dipôle et quadripolaire, ce qui conduit en outre à une transition de phase topologique entre les états non triviaux et triviaux. De plus, la propagation unidirectionnelle des états de bord est simulée numériquement le long d'une interface construite par les GPC triviaux et non triviaux, ce qui démontre en outre les caractéristiques de pseudospin et la robustesse topologique de nos cristaux plasmoniques conçus.

Méthodes

Nous étudions la topologie de bande des SPP dans un cristal plasmonique 2D d'un réseau de nanodisques de graphène disposés périodiquement entourés par la même feuille de graphène avec un potentiel chimique différent, comme le montre la figure 1a. La constante de réseau a = 40 nm, μ _c1 , et r sont le potentiel chimique et les rayons des nanodisques de graphène ; μ _c2 désigne le potentiel chimique du graphène environnant. En résolvant les équations de Maxwell avec des conditions aux limites, nous obtenons la relation de dispersion pour les modes SPP polarisés magnétiques transverses (TM) supportés sur la couche de graphène entourée d'air et de silice [29] :

un Schémas des GPC 2D. b Les zones Brillouin. c Structure de bande du réseau basée sur la cellule unitaire primitive rhombique indiquée par des lignes pointillées vertes, les encarts tracent les distributions du champ électrique propre du point de Dirac. d Structure de bande du réseau basée sur la maille unitaire hexagonale, les encarts tracent les distributions du champ électrique propre du point double de Dirac. Les autres paramètres sont définis comme μ _c1 = 0.3 eV, μ _c2 = 0.6 eV, τ = 1 ps, la constante de réseau a = 40 nm

Ici, ε ₀ est la permittivité du vide de l'espace libre, k ₀ = 2π/λ est le nombre d'onde dans l'espace libre, et λ est la longueur d'onde de fonctionnement dans le vide. Dans la région de l'infrarouge moyen, les constantes diélectriques de l'air et de la silice correspondant au super et aux substrats sont supposées être ε _Aérien = 1 et ε _SiO2 = 3,9 respectivement [30]. Dans le régime non attardé où β » k ₀ , l'éq. (3) peut être simplifié en [31].

où β est la constante de propagation SPP sur la couche de graphène et l'indice de réfraction effectif n _eff du mode SPP peut être dérivé de n _eff = β /k ₀ . σ _g est la conductivité de surface du graphène composée des contributions de l'intrabande et de l'interbande, c'est-à-dire σ _g = σ _intra + σ _inter [29, 30]. La conductivité intrabande σ _intra correspondant au processus de diffusion électron-photon intrabande est donné par

où μ _c est le potentiel chimique relatif à la densité électronique, e est la charge électronique, ω est la fréquence angulaire du plasmon, ℏ et k _B sont respectivement la constante de Planck réduite et la constante de Boltzmann, T est la température, et τ représente le temps de relaxation du moment de l'électron dû à la diffusion des porteurs de charge. Pour ℏω » k _B T et |μ _c | » k _B T , la conductivité interbande σ _inter correspondant aux transitions électroniques interbandes peut être approximativement exprimé par

Résultats et discussion

Les structures de bandes d'énergie des cristaux plasmoniques proposés sont obtenues en utilisant la méthode des éléments finis (FEM) basée sur le logiciel disponible dans le commerce COMSOL Multiphysics. Sur la figure 1a, nous remarquons que la cellule unitaire rhombique de deux nanodisques de graphène (losange vert en pointillé défini par les vecteurs a _s1 et a _s2 ) et la maille unitaire hexagonale de six nanodisques de graphène (avec des vecteurs de réseau a ₁ et a ₂ ) peuvent former les cristaux plasmoniques en nid d'abeille. La figure 1b présente les BZ pour les mailles unitaires rhombiques et hexagonales, avec les zones irréductibles de M_II -Γ _II - K_II - M_II et M_I -Γ _Je - K_Je - M_Je respectivement. Notez que la maille unitaire hexagonale est trois fois plus grande que la maille primitive rhombique. Par conséquent, la première BZ de la maille élémentaire rhombique primitive est trois fois plus grande que celle de la maille hexagonale (région bleue sur la figure 1b). En prenant une maille élémentaire rhombique primitive, ce cristal plasmonique présente une dispersion de cône de Dirac à K_II et K_II ` points dans les coins BZ comme indiqué sur la figure 1c. Les encarts de la figure 1c montrent les distributions de champ électrique propre des deux états dégénérés au point de Dirac. Semblable aux pseudo-spins dans les systèmes photoniques et acoustiques classiques [17, 19, 20], afin d'imiter l'analogue des pseudo-spins dans le système plasmonique, le degré de liberté doit être augmenté à deux états. Ainsi, des doubles cônes de Dirac dégénérés quadruple dans la structure de bande plasmonique sont nécessaires. En utilisant le mécanisme de pliage de zone [18], les cônes de Dirac à K<sub>II</sub> et K<sub>II</sub> ` les pointes sont repliées en un double cône de Dirac en Γ point au centre BZ lors de la prise de la plus grande cellule unitaire hexagonale (comme illustré dans la Fig. 1d). Les encarts de la figure 1d montrent les états propres dégénérés quadruple avec les modes dipolaire et quadripolaire. Les paramètres relatifs que nous utilisons sont μ _c1 = 0.3 eV, μ _c2 = 0.6 eV, et τ = 1 ps, qui sont modérément choisis parmi les recherches précédentes pour le graphène pratique [32, 33].

Les doubles cônes de Dirac dégénérés quadruples composés de deux modes dipolaires et de deux modes quadripolaires sont associés à deux représentations 2D irréductibles d'un C_6v groupe de points, à savoir, E₁ modes de parité spatiale impaire et E₂ modes de parité spatiale paire. Suivant la notation conventionnelle largement adoptée en mécanique quantique [34], on peut classer ces modes dans les p _x /p _y et d _x2-y2 /d _xy modes selon leurs E propres _z distributions de champ illustrées à la figure 2. Ensuite, afin d'ouvrir une bande interdite topologique non négligeable au Γ point, nous prenons d'autres modifications (c'est-à-dire, déformer le réseau en nid d'abeille de a /R = 3) sur la maille unitaire hexagonale pour briser la symétrie. Lors de la réduction des nanodisques de graphène en a /R =3,2, le double cône de Dirac dégénéré quadruple se divise en deux états dégénérés doubles et une bande interdite en vrac ouverte de 62,1 à 63,5 THz comme le montre la Fig. 2a. Le E _z les champs des bandes inférieures ont une paire de modes dipolaires présentant p _± caractères, tandis que les bandes supérieures ont une paire de modes quadripolaires présentant d _± caractères autour du Γ point, ce qui est cohérent avec la théorie photonique classique selon laquelle les modes dipolaires doivent présenter une fréquence inférieure à celle des modes quadripolaires d'ordre supérieur. Cependant, une inversion de bande a lieu lors de l'extension des nanodisques de graphène à a /R =2,9, c'est-à-dire que les modes dipolaires s'élèvent au-dessus des modes quadripolaires, ce qui amène la bande interdite topologique non triviale de 62,4 à 63,3 THz, comme le montre la figure 2c. La figure 2d, e illustre le processus de transition topologique entre p _± et d _± états, et les champs magnétiques dans le plan associés à p _± et d _± sont signalés par des flèches blanches. Les moments angulaires de la fonction d'onde de E _z champs p _± = (p _x ± ip _y )/\( \sqrt{2} \) et d _± = (d _x2-y2 ± id _xy )/\( \sqrt{2} \) constituent en outre le pseudospin dans les cristaux plasmoniques actuels [17, 18].

Structures de bande des GPC avec a un /R = 3.2, b un /R = 3, et c un /R = 2.9. d , e Le E _z distributions de champ des modes dipolaires et des modes quadripolaires du p _± et d _± états dans a et c respectivement. Les flèches blanches présentent le champ magnétique dans le plan associé à E _z champ

Pour explorer davantage la propriété topologique des bandes interdites illustrées sur les figures 2a, c, elle est généralement liée à une description hamiltonienne efficace et à des nombres topologiques. En appliquant la théorie des perturbations \( \overset{\rightharpoonup }{k}\cdot \overset{\rightharpoonup }{p} \) l'hamiltonien effectif H _eff (k ) autour du Γ point sur la base [p + , d + , p ₋ , d ₋ ] peut être exprimé sous la forme [17, 35].

où k _± = k _x ± ik _y , et A provient d'éléments hors diagonale du terme de perturbation du premier ordre \( {M}_{\alpha \beta}=\left\langle {\Gamma}_{\alpha}\left|\overset{\rightharpoonup }{k }\cdot \overset{\rightharpoonup }{p}\right|{\Gamma}_{\beta}\right\rangle \) avec α = 1, 2 et β = 3, 4. L'hamiltonien effectif H _eff (k ) prend une forme similaire au modèle de Bernevig-Hughes-Zhang (BHZ) pour le système de puits quantiques CdTe/HgTe/CdTe [36], impliquant une bande interdite topologique lorsque l'inversion de bande a lieu. Sur la base de l'hamiltonien exprimé dans l'équation. (5), nous pouvons évaluer les nombres de spin Chern des cristaux plasmoniques topologiques comme [36].

Ici, M = (E _p – E _d )/2 est la différence de fréquence entre E ₂ et E ₁ représentations au Γ point. B est déterminé par les éléments diagonaux du terme de perturbation de second ordre et est typiquement négatif [19]. Ainsi, C _± = 0 est obtenu lorsque l'ordre des bandes est normal, comme illustré sur la figure 2a. Et nous concluons que la bande interdite ouverte est insignifiante. Cependant, M devient positif lorsque l'inversion de bande se produit. Par conséquent, C _± = ±1 est simplement obtenu, et l'écart de la figure 2c n'est pas négligeable.

En chevauchant les bandes interdites avec différentes topologies (c'est-à-dire topologiques triviales et topologiques non triviales), on peut créer des états de bord qui sont spatialement confinés autour de l'interface entre deux cristaux plasmoniques. Ici, nous considérons un ruban de cristal plasmonique topologiquement non trivial (avec une structure de bande illustrée sur la figure 2c) avec ses deux bords recouverts de deux cristaux plasmoniques topologiquement insignifiants (avec une structure de bande illustrée sur la figure 2a) à la même fenêtre de fréquence. Les deux régions triviales empêchent les états de bord possibles de fuir dans l'espace libre. Dans la Fig. 3a, nous présentons les structures de bandes projetées calculées le long du Γ Direction K pour un tel ruban, où une bande interdite en vrac est couverte par des états de bord topologiques supplémentaires, comme indiqué par les doubles courbes rouges dégénérées. La figure 3b trace les distributions de champ électrique confinées autour de l'interface construite par deux cristaux distinctifs, correspondant aux points A (avec k _x = − 0,05π/a ) et B (avec kx = 0,05π/a ) marqué sur la figure 3a. Les pseudo caractéristiques de montée et de descente sont mises en évidence par des vortex de phase dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et dans le sens des aiguilles d'une montre, comme illustré sur le panneau de droite de la figure 3b.

un Structure de bande projetée pour une supercellule composée de 16 cellules unitaires non triviales recouvertes de 12 cellules unitaires triviales des deux côtés. b Distributions de champ électrique autour de l'interface entre les cristaux plasmoniques triviaux et non triviaux aux points A et B, c'est-à-dire à k _x = − 0,05π/a et 0,05π/a respectivement

La transmission unidirectionnelle dépendante du pseudospin des états de bord est également démontrée dans un nombre fini 20a × 18a réseau construit par les cristaux triviaux et non triviaux. Comme le montrent les Fig. 4a, b, propagation unidirectionnelle de l'onde SPP vers la direction gauche (droite) lorsqu'elle est excitée par une pseudo source de spin-up (spin-down) S + (S ₋ ) de polarisation circulaire dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (dans le sens des aiguilles d'une montre) du champ magnétique dans le plan. L'une des caractéristiques les plus distinctives des états de bord topologiques est qu'ils sont robustes contre les perturbations/imperfections. Pour vérifier cette robustesse, nous construisons des virages serrés comme le montre la figure 4c, où la transmission unidirectionnelle de l'onde SPP est excitée par une pseudo source de spin-down S ₋ . L'onde SPP a finalement disparu après une longue distance de déplacement le long des virages serrés en raison de la perte intrinsèque de matériau de graphène. Pour confirmer davantage cette transmission topologique, nous présentons également la distribution de l'intensité du champ électrique en ignorant la perte intrinsèque de graphène à des fins de comparaison. Comme on peut le voir sur la figure 4d, l'onde SPP suit la route conçue et maintient la propagation unidirectionnelle avec peu de rétrodiffusion.

un Vers la gauche et b états de bord unidirectionnels vers la droite excités par un champ magnétique dans le plan avec une différence de phase /2 :\( {S}_{\pm }={H}_0\left(\overset{\rightharpoonup }{x}\mp i\overset{\rightharpoonup }{y}\right) \). c États de bord topologiques voyageant le long de virages serrés. d La distribution de l'intensité du champ électrique de la transmission unidirectionnelle topologique sans tenir compte de la perte intrinsèque du matériau graphène

Conclusions

En résumé, nous avons systématiquement étudié les topologies de bande des GPC construits par des nanodisques de graphène à motifs périodiques. En utilisant un mécanisme de pliage par zone, les cônes Dirac au coin BZ sont pliés en un double cône Dirac au centre BZ. En outre, des bandes interdites topologiques sont réalisées en déformant les GPC en treillis en nid d'abeille. Sur la base de l'hamiltonien effectif dérivé de la théorie des perturbations \( \overset{\rightharpoonup }{k}\cdot \overset{\rightharpoonup }{p} \) , les nombres de spin Chern sont évalués. Les caractéristiques de pseudospin, mises en évidence par des vortex de phase dans le sens antihoraire et horaire, sont utilisées avec succès pour réaliser la transmission unidirectionnelle d'états de bord le long d'une interface construite par deux cristaux plasmoniques topologiques triviaux et non triviaux. Le GPC conçu offre une nouvelle voie pour la recherche de phénomènes topologiques et peut trouver des applications potentielles dans les domaines de la plasmonique topologique. Cela pourrait également déclencher l'exploration de la plasmonique du pseudospin et de la technique du multiplexage du pseudospin dans les circuits intégrés nanophotoniques à haute densité.

Abréviations

BHZ :

Bernevig-Hughes-Zhang

BZ :

Quartier Brillouin

FEM :

Méthode des éléments finis

GPC :

Cristal plasmonique de graphène

QHE :

Effet Hall quantique

QSHE :

Effet Hall de spin quantique

SPP :

Polaritons de plasmons de surface