Transmission Unidirectionnelle Contrôlée par Pseudospin dans Cristaux Plasmoniques Topologiques de Graphène

Résumé

Originaire de l'investigation d'états de matière condensée, le concept d'effet Hall quantique et d'effet Hall quantique de spin (QSHE) a récemment été étendu à d'autres domaines de la physique et l'ingénierie, ex. photonique et phononique, donnant naissance à des modes de bord frappants et non conventionnels immunisés contre la diffusion. Ici, nous présentons l'analogue plasmonique du QSHE dans cristal plasmonique de graphène (GPC) en fréquences moyen-infrarouge. L'inversion de bande se produit lors de la déformation du réseau nid d'abeille GPC, menant à des gaps de bande topologiques et caractéristiques pseudospin des états de bord. En chevauchant les gaps de bande avec différentes topologies, nous avons numériquement simulé la propagation unidirectionnelle dépendante du pseudospin des états de bord. Le GPC conçu peut trouver applications potentielles dans la plasmonique topologique et déclencher l'exploration de la technique de multiplexage pseudospin dans circuits nanophotoniques intégrés haute densité.

Contexte

Les isolants topologiques photoniques [1–4], matériaux optiques de phase topologique non-triviale interdisant transmission lumière dans leur intérieur mais permettant propagation le long de leurs bords, ont été étudiés intensivement suite découverte effet Hall quantique (QHE) en matière condensée. Une manifestation clé de la physique topologique est la présence d'états de bord robustes contre défauts structurels ou désordres locaux. Particulièrement, en utilisant la correspondance volume-bord [5, 6], on peut investiguer différentes phases topologiques en sondant états de bord ou invariants topologiques de bord. Ces dernières années, états de bord topologiques prédits et observés dans nombreux systèmes gap bande topologique photonique, tels que cristaux photoniques gyromagnétiques [7–9], isolants topologiques photoniques bi-anisotropes [10, 11], réseaux guides d'ondes couplés [12, 13], et réseaux photoniques Floquet [14, 15], où divers mécanismes physiques proposés pour fournir protection topologique. Notamment, un cône Dirac double ouvert pour obtenir gap bande topologiquement non-trivial dans cristal photonique réseau nid d'abeille bien connu préservant symétrie pseudo-inversion temps, donnant transmission unidirectionnelle dépendante pseudospin états de bord [16, 17]. Outre systèmes photoniques, états de bord dépendants pseudospin systèmes phononiques explorés [18–20]. Cependant, l'analogie dans nanostructures plasmoniques n'a pas encore été rapportée, due à énorme perte ohmiques plasmons propagant le long matériaux plasmoniques traditionnels comme Au et Ag.

Les polaritons plasmoniques de surface (SPPs) [21], excitations élémentaires couplées photons et oscillations électrons libres à interface métal-diélectrique, sont considérés mécanisme physique prometteur contourner limitation diffraction et avancer miniaturisation dispositifs. Iurov et al. exploré action retour et hybridation modes plasmon et trouvé polarisation optique induite par électrons Dirac graphène [22]. Memmi et al. rapporté couplage fort SPPs et vibrations moléculaires [23]. Alors que métaux nobles couramment utilisés or et argent exhibent propriétés plasmoniques mostly visible et proche infrarouge, graphène récemment émergé alternative prometteuse capable étendre plasmonique infrarouge et térahertz (THz). Plus important, contrairement métaux nobles, plasmons graphène peuvent être dynamiquement accordés via polarisation électrostatique [24, 25], permettant nouvelle génération dispositifs plasmoniques reconfigurables. De plus, SPPs excités graphène haute qualité peuvent atteindre temps relaxation intrinsèques remarquablement longs et fournir confinement champ sans précédent [26]. Ces propriétés extraordinaires font graphène candidat idéal composants plasmoniques topologiques tout-intégrés. Très récemment, Jin et al. réalisé plasmons de bord unidirectionnels topologiquement protégés dans monocouche graphène périodiquement patternée, où topologie bande plasmons graphène sous champ magnétique brisant inversion temps étudiée en détail [27]. Et Pan et al. démontré comportement non-réciproque substantiel jonctions super-réseau champs magnétiques statiques modérés, menant emergence états de bord topologiquement protégés et modes volume localisés [28].

Dans ce travail, nous explorons théoriquement propriétés topologiques cristaux plasmoniques graphène bidimensionnels (GPCs) construits par nanodisques graphène périodiquement arrangés. Cônes Dirac coins zone Brillouin (BZ) pliés vers cône Dirac double centre BZ par mécanisme pliage zone. Pour obtenir gaps bande topologiques, nous prenons déformations supplémentaires réseau nid d'abeille. En rétrécissant ou expandant nanodisques graphène, cône Dirac double s'ouvre et inversion bande se produit entre modes dipôle et quadrupôle pseudospin, menant transition phase topologique entre états non-triviaux et triviaux. De plus, propagation unidirectionnelle états de bord numériquement simulée le long interface construite par GPC triviaux et non-triviaux, démontrant davantage caractéristiques pseudospin et robustesse topologique nos cristaux plasmoniques conçus.

Méthodes

Nous investiguons topologie bande SPPs dans cristal plasmonique 2D réseau nanodisques graphène périodiquement arrangés entourés même feuille graphène potentiel chimique différent Fig. 1a. Constante réseau a = 40 nm, μ_c1, r potentiel chimique et rayons nanodisques graphène ; μ_c2 potentiel chimique graphène environnant. En résolvant équations Maxwell conditions limites, nous obtenons relation dispersion modes SPPs polarisés magnétique transverse (TM) supportés couche graphène entourée air et silice [29] :

$$ \frac{\varepsilon_{\mathrm{Air}}}{\sqrt{\beta^2-{k}_0^2{\varepsilon}_{Air}}}+\frac{\varepsilon_{Si{O}_2}}{\sqrt{\beta^2-{k}_0^2{\varepsilon}_{{\mathrm{SiO}}_2}}}=\frac{\sigma_g}{i{\omega \varepsilon}_0}. $$ (1)

Ici, ε₀ permittivité vide espace libre, k₀ = 2π/λ nombre d'onde vide, λ longueur d'onde opération vide. Région moyen-infrarouge, constantes diélectriques air et silice correspondant super et substrats assumées ε_Air = 1 et ε_SiO2 = 3,9 respectivement [30]. Régime non-retardé où β » k₀, Éq. (3) simplifiée [31] :

$$ \beta ={\varepsilon}_0\frac{\varepsilon_{\mathrm{Air}}+{\varepsilon}_{{\mathrm{SiO}}_2}}{2}\frac{2 i\omega}{\sigma_{\mathrm{g}}}, $$ (2)

où β constante propagation SPPs couche graphène, indice réfraction effectif n_eff mode SPP dérivable n_eff = β/k₀. σ_g conductivité surface graphène composée contributions intrabande et interbande, σ_g = σ_intra + σ_inter [29, 30]. Conductivité intrabande σ_intra correspondant processus diffusion électron-photon intrabande donnée par

$$ {\sigma}_{\mathrm{intra}}=\frac{ie^2{k}_BT}{\pi {\mathrm{\hslash}}^2\left(\omega +i/\tau \right)}\left[\frac{\mu_{\mathrm{c}}}{k_BT}+2\ln \left(1+\exp \left(-\frac{\mu_{\mathrm{c}}}{k_BT}\right)\right)\right], $$ (3)

où μ_c potentiel chimique reliant densité électron, e charge électron, ω fréquence angulaire plasmon, ℏ et k_B constantes Planck réduite et Boltzmann respectivement, T température, τ temps relaxation moment électronique diffusion porteurs charge. Pour ℏω » k_BT et |μ_c| » k_BT, conductivité interbande σ_inter correspondant transitions interbande électrons approximativement exprimée :

$$ {\sigma}_{\mathrm{inter}}=\frac{ie^2}{4\pi \mathrm{\hslash}}\ln \left[\frac{2\mid {\mu}_{\mathrm{c}}\mid -\mathrm{\hslash}\left(\omega +i/\tau \right)}{2\mid {\mu}_{\mathrm{c}}\mid +\mathrm{\hslash}\left(\omega +i/\tau \right)}\right]. $$ (4)

Résultats et Discussion

Structures bandes énergie cristaux plasmoniques proposés obtenues méthode éléments finis (MEF) logiciel commercial COMSOL Multiphysics. Fig. 1a, both rhombic unit cell two graphene nanodisks (green dashed rhombus defined vectors a_s1 and a_s2) and hexagonal unit cell six graphene nanodisks (lattice vectors a₁ and a₂) can form honeycomb-lattice plasmonic crystals. Figure 1b presents BZs rhombic and hexagonal unit cells, with irreducible zones M_II-Γ_II- K_II- M_II and M_I-Γ_I- K_I- M_I respectively. Note hexagonal unit cell three times larger rhombic primitive one. Therefore, first BZ rhombic primitive unit cell three times larger that hexagonal one (blue region Fig. 1b). Taking rhombic primitive unit cell, this plasmonic crystal exhibits Dirac cone dispersion at K_II and K_II` points BZ corners Fig. 1c. Insets Fig. 1c show eigen electric field distributions two degenerated states Dirac point. Similar pseudo-spins classical photonic and acoustic systems [17, 19, 20], mimic analog pseudo-spins plasmonic system, degree freedom should be increased twofold states. Thus, fourfold degenerated double Dirac cones plasmonic band structure required. Employing zone folding mechanism [18], Dirac cones at K<sub>II</sub> and K<sub>II</sub>` points folded double Dirac cone at Γ point BZ center taking larger hexagonal unit cell (Fig. 1d). Insets Fig. 1d show fourfold degenerated eigenstates dipole and quadrupole modes. Relative parameters used μ_c1 = 0,3 eV, μ_c2 = 0,6 eV, τ = 1 ps, moderately chosen previous researches practical graphene [32, 33].

Fourfold degenerated double Dirac cones composed two dipolar and two quadrupolar modes associated two 2D irreducible representations C_6v point group, namely, E₁ modes odd spatial parity and E₂ modes even spatial parity. Following conventional notation widely adopted quantum mechanics [34], we classify these modes to p_x/p_y and d_x2-y2/d_xy modes according to their eigen E_z field distributions Fig. 2. Next, open nontrivial topological band gap at Γ point, we take further modifications (deforming honeycomb lattice a/R = 3) on hexagonal unit cell break symmetry. Shrinking graphene nanodisks to a/R = 3,2, fourfold degenerated double Dirac cone splits two twofold degenerate states and bulk band gap opened 62,1 to 63,5 THz Fig. 2a. E_z fields lower bands have pair dipole modes exhibiting p_± characters, while upper bands have pair quadrupole modes exhibiting d_± characters around Γ point, consistent classic photonic theory dipole modes must exhibit lower frequency higher order quadrupole modes. However, band inversion takes place expanding graphene nanodisks to a/R = 2,9, i.e., dipole modes rise above quadrupole modes, bringing about topological nontrivial band gap 62,4 to 63,3 THz Fig. 2c. Figure 2d, e illustrates process topological transition between p_± and d_± states, in-plane magnetic fields associated p_± and d_± marked white arrows. Angular momenta wave function E_zfields p_± = (p_x ± ip_y)/\( \sqrt{2} \) and d_± = (d_x2-y2 ± id_xy)/\( \sqrt{2} \) further constitute pseudospin present plasmonic crystals [17, 18].

Explore topological property band gaps Fig. 2a, c, generally related effective Hamiltonian description topological numbers. Applying \( \overset{\rightharpoonup }{k}\cdot \overset{\rightharpoonup }{p} \) perturbation theory, effective Hamiltonian H_eff(k) around Γ point basis [p₊, d₊, p₋, d₋] expressed as [17, 35] :

$$ {H}^{\mathrm{eff}}(k)=\left[\begin{array}{cccc}M+{Bk}^2& {Ak}_{+}& 0& 0\\ {}{A}^{\ast }{k}_{-}& -M-{Bk}^2& 0& 0\\ {}0& 0& M+{Bk}^2& {Ak}_{-}\\ {}0& 0& {A}^{\ast }{k}_{+}& -M-{Bk}^2\end{array}\right], $$ (5)

where k_± = k_x ± ik_y, A comes off-diagonal elements first-order perturbation term \( {M}_{\alpha \beta}=\left\langle {\Gamma}_{\alpha}\left|\overset{\rightharpoonup }{k}\cdot \overset{\rightharpoonup }{p}\right|{\Gamma}_{\beta}\right\rangle \) with α = 1, 2 and β = 3, 4. Effective Hamiltonian H_eff(k) takes similar form Bernevig-Hughes-Zhang (BHZ) model CdTe/HgTe/CdTe quantum well system [36], implying topological band gap when band inversion takes place. Based Hamiltonian expressed Eq. (5), we evaluate spin Chern numbers topological plasmonic crystals as [36] :

$$ {C}_{\pm }=\pm \frac{1}{2}\left[\operatorname{sgn}(M)+\operatorname{sgn}\left(-B\right)\right]. $$ (6)

Here, M = (E_p – E_d)/2 frequency difference between E₂ and E₁ representations at Γ point. B determined diagonal elements second-order perturbation term typically negative [19]. Thus, C_± = 0 obtained normal band order Fig. 2a. Conclude band gap opened trivial. However, M becomes positive when band inversion occurs. Therefore, C_± = ±1 simply obtained, gap Fig. 2c nontrivial.

Overlapping band gaps different topologies (topological trivial and topological nontrivial), one can create edge states spatially confined around interface between two plasmonic crystals. Here, consider ribbon topologically nontrivial plasmonic crystal (band structure Fig. 2c) with two edges cladded two topologically trivial plasmonic crystals (band structure Fig. 2a) same frequency window. Two trivial regions prevent possible edge states leaking free space. Fig. 3a, calculated projected band structures along ΓK direction such ribbon, where bulk band gap spanned additional topological edge states indicated double degenerated red curves. Fig. 3b plots electric field distributions confined around interface constructed two distinctive crystals, corresponding points A (k_x = −0,05π/a) and B (kx = 0,05π/a) marked Fig. 3a. Pseudo spin-up spin-down characteristics evidenced phase vortexes counterclockwise clockwise illustrated right panel Fig. 3b.

Pseudospin-dependent unidirectional transmission edge states also demonstrated finite 20a × 18a lattice constructed trivial and nontrivial crystals. Fig. 4a, b, one-way propagation SPP wave towards left (right) direction when excited pseudo spin-up (spin-down) source S₊ (S₋) anticlockwise (clockwise) circular polarization in-plane magnetic field. One most distinguishing features topological edge states robust against perturbations/imperfections. Verify robustness, we construct sharp bends Fig. 4c, where unidirectional transmission SPP wave excited pseudo spin-down source S₋. SPP wave vanished eventually long traveling distance along sharp bends due intrinsic loss graphene material. Further confirm topological transmission, also exhibit electric field intensity distribution ignoring intrinsic loss graphene comparison. Fig. 4d, SPP wave follows designed route maintains one-way propagation little backscattering.

Conclusions

En résumé, nous avons systématiquement investigué topologies bande GPCs construits nanodisques graphène périodiquement patternés. Employant mécanisme pliage zone, cônes Dirac coins BZ pliés cône Dirac double centre BZ. De plus, gaps bande topologiques réalisés déformant réseau nid d'abeille GPCs. Basé Hamiltonian effectif dérivé théorie perturbation \( \overset{\rightharpoonup }{k}\cdot \overset{\rightharpoonup }{p} \), nombres spin Chern évalués. Caractéristiques pseudospin, evidencées vortex phase sens inverse horaire et horaire, utilisées réaliser transmission unidirectionnelle états bord le long interface construite deux cristaux plasmoniques topologiquement triviaux et non-triviaux. GPC conçu fournit nouveau chemin rechercher phénomènes topologiques et peut trouver applications potentielles plasmonique topologique. Pourrait aussi déclencher exploration plasmonique pseudospin et technique multiplexage pseudospin circuits nanophotoniques intégrés haute densité.

Abréviations

BHZ:

Bernevig-Hughes-Zhang

BZ:

Zone Brillouin

FEM:

Méthode éléments finis

GPC:

Cristal plasmonique graphène

QHE:

Effet Hall quantique

QSHE:

Effet Hall quantique de spin

SPPs:

Polaritons plasmoniques surface