Identités algébriques booléennes

En mathématiques, une identité est une déclaration vraie pour toutes les valeurs possibles de sa ou ses variables.

L'identité algébrique de x + 0 =x nous dit que n'importe quoi (x) ajouté à zéro est égal au "n'importe quoi" d'origine, quelle que soit la valeur que "n'importe quoi ” (x) peut-être.

Comme l'algèbre ordinaire, l'algèbre booléenne a ses propres identités uniques basées sur les états bivalents des variables booléennes.

Identités additives

Ajout de zéro

La première identité booléenne est que la somme de n'importe quoi et zéro est le même que l'original "n'importe quoi ."

Cette identité n'est pas différente de son équivalent algébrique réel :

Quelle que soit la valeur de A , le résultat sera toujours le même :lorsque A=1 , la sortie sera également 1; lorsque A=0 , la sortie sera également 0 .

Ajout d'un

L'identité suivante est très certainement différente de celles vues en algèbre normale.

Ici, nous découvrons que la somme de « n'importe quoi ” et un est un :

Quelle que soit la valeur de A, la somme de A et 1 sera toujours 1.

Dans un sens, le signal "1" prévaut l'effet de A sur le circuit logique, laissant la sortie fixée à un niveau logique de 1.

Ajouter une quantité à elle-même

Ensuite, nous examinons l'effet de l'ajout de A et A ensemble, ce qui revient à connecter les deux entrées d'une porte OU les uns aux autres et en les activant avec le même signal :

En algèbre des nombres réels, la somme de deux variables identiques est le double de la valeur de la variable d'origine (x + x =2 x), mais rappelez-vous qu'il n'y a pas de concept de « 2 » dans le monde des mathématiques booléennes, seulement 1 et 0, nous ne pouvons donc pas dire que A + A =2A .

Ainsi, lorsque l'on ajoute une quantité booléenne à elle-même, la somme est égale à la quantité d'origine :0 + 0 =0 , et 1 + 1 =1 .

Ajouter une quantité à son complément

En introduisant le concept booléen unique de complémentation dans une identité additive, nous trouvons un effet intéressant.

Puisqu'il doit y avoir un "1 ” entre toute variable et son complément, et puisque la somme de toute quantité booléenne et 1 est 1, la somme d'une variable et de son complément doit être 1 :

Identités multiplicatives

Tout comme il existe quatre identités additives booléennes (A+0, A+1, A+A et A+A’ ), il existe donc également quatre identités multiplicatives :Ax0, Ax1, AxA et AxA’ . Parmi ceux-ci, les deux premiers ne sont pas différents de leurs expressions équivalentes en algèbre régulière :

Multiplication par 0 ou 1

Multiplier une quantité par elle-même

La troisième identité multiplicative exprime le résultat d'une quantité booléenne multipliée par elle-même.

En algèbre normale, le produit d'une variable et lui-même est le carré de cette variable (3 x 3 =3 ² =9).

Cependant, le concept de carré implique une quantité de 2, qui n'a aucun sens en algèbre booléenne, donc on ne peut pas dire que A x A =A ² .

Au lieu de cela, nous trouvons que le produit d'une quantité booléenne et elle-même est la quantité d'origine, puisque 0 x 0 =0 et 1 x 1 =1 :

Multiplier une quantité par son complément

La quatrième identité multiplicative n'a pas d'équivalent en algèbre régulière car elle utilise le complément d'une variable, un concept unique aux mathématiques booléennes.

Puisqu'il doit y avoir un "0 ” valeur entre n'importe quelle variable et son complément, et puisque le produit de n'importe quelle quantité booléenne et 0 est 0 , le produit d'une variable et de son complément doit être 0 :

Pour résumer, nous avons donc quatre identités booléennes de base pour l'addition et quatre pour la multiplication :

Double complément

Une autre identité liée à la complémentation est celle du double complément :une variable inversée deux fois.

Compléter une variable deux fois (ou n'importe quel nombre pair de fois) donne la valeur booléenne d'origine.

Ceci est analogue à la négation (multiplication par -1) en algèbre des nombres réels :un nombre pair de négations s'annule pour laisser la valeur d'origine :

FICHES DE TRAVAIL CONNEXES :

• Feuille de travail d'algèbre booléenne