Unité 2 : Axes programmables CNC et systèmes de cotation – Maîtriser les coordonnées cartésiennes

OBJECTIFS

À la fin de cette unité, vous serez capable de :

• Comprendre le système de coordonnées cartésiennes.
• Comprendre les coordonnées cartésiennes du plan.
• Comprendre les coordonnées cartésiennes de l'espace tridimensionnel.
• Comprendre les quatre quadrants.
• Expliquer la différence entre coordonnées polaires et rectangulaires.
• Identifier les axes programmables sur une machine CNC.

LE SYSTÈME DE COORDONNÉES CARTÉSIENNES

Les coordonnées cartésiennes permettent de spécifier la position d'un point dans le plan ou dans l'espace tridimensionnel. Les coordonnées cartésiennes (ou rectangulaires) d'un point sont un couple de nombres (2D) ou un triplet (3D) qui spécifient les distances signées par rapport aux axes de coordonnées. D'abord, il faut comprendre un système de coordonnées pour définir nos directions et positions relatives. Un système utilisé pour définir des points dans l'espace en établissant des directions (axes) et une position de référence (origine). Un système peut être rectangulaire ou polaire.

De même que les points sur une ligne correspondent aux nombres réels, les points dans un plan correspondent à des paires de nombres réels en utilisant deux lignes de coordonnées. Pour cela, on construit deux lignes de coordonnées perpendiculaires qui se coupent à leurs origines ; par commodité. On attribue des graduations équidistantes aux axes x et y depuis l'origine dans les deux sens : gauche/droite (axe x) et haut/bas (axe y). On rend une ligne verticale (positif vers le haut, négatif vers le bas) et l'autre horizontale (positif à droite, négatif à gauche). Ces deux lignes sont les axes de coordonnées ; l'horizontale = axe x, la verticale = axe y, ensemble = système cartésien ou rectangulaire. Le point d'intersection est noté O = origine. Voir Figure 1.

Figure 1

C'est essentiellement deux droites réelles mises ensemble, une gauche-droite, l'autre haut-bas. L'horizontale = axe x, la verticale = axe y.

L'ORIGINE

Le point (0,0) porte le nom spécial « L'Origine », parfois noté « O ».

DROITE DES NOMBRES RÉELS

La base de ce système est la droite des nombres réels marquée à intervalles égaux. L'axe est étiqueté (X, Y ou Z). Un point est désigné comme Origine. Nombres d'un côté = positifs, de l'autre = négatifs. Voir Figure 2.

Figure 2. Droite numérique axe X

COORDONNÉES CARTÉSIENNES DU PLAN

Un plan muni d'un système de coordonnées rectangulaires est un plan de coordonnées ou plan x-y. Établissons la correspondance biunivoque entre points du plan et paires de réels. Si A est un point du plan, on trace par A deux droites : une perpendiculaire à l'axe x, l'autre à l'axe y. Si la première coupe l'axe x au point de coordonnée x, et la seconde l'axe y au point de coordonnée y, on associe le couple (x,y) à A (voir Figure 2). Le nombre x = abscisse de A, y = ordonnée de A ; on dit que A a pour coordonnées (x,y) et on note A(x,y). Le point (0,0) = « L'Origine », parfois « O ».

Abscisse et Ordonnée

« Abscisse » et « Ordonnée » sont juste les valeurs x et y :

• Abscisse : valeur horizontale (« x ») dans un couple : distance horizontale du point.
• Ordonnée : valeur verticale (« y ») : distance verticale du point.

Figure 3

Valeurs négatives de X et Y

Sur la droite réelle, on a aussi des valeurs négatives. Négatif = partir de zéro dans le sens opposé. Voir Figure 4.

Figure 4

Donc pour un nombre négatif :

• aller à gauche pour x
• aller en bas pour y

Exemple (-3,5) : aller 3 à gauche sur x, puis 5 en haut sur y. (Quadrant II : x négatif, y positif)

Exemple (-3,-5) : 3 à gauche sur x, 5 en bas sur y. (Quadrant III : x et y négatifs)

Avec coordonnées cartésiennes, marquer un point sur un graphique par sa distance horizontale et verticale. Voir figure 5. Point (12,5) = 12 unités sur x, 5 unités sur y.

Figure 5

Axes X et Y

L'horizontale = axe x, la verticale = axe y ; toutes deux passent par zéro (Origine (0,0)).

Mises ensemble sur un graphique… Voir figure 6.

Figure 6

C'est essentiellement un ensemble de deux droites réelles.

Axe : Ligne de référence à partir de laquelle les distances sont mesurées.

Exemple :

Point (6,4) : aller 6 unités dans direction x, puis 4 unités vers le haut en y, « placer le point ».

Pour retenir quel axe est lequel :

Les coordonnées s'écrivent toujours dans un ordre :

• distance horizontale d'abord,
• puis distance verticale.

Couple ordonné :

Nombres séparés par virgule, entre parenthèses : (7,4)

Exemple : (7,4) = 7 unités à droite (x), 4 unités en haut (y)

COORDONNÉES CARTÉSIENNES DE L'ESPACE TRIDIMENSIONNEL

Dans l'espace 3D (xyz), orienté à angle droit par rapport au plan xy. L'axe z passe par l'origine du plan xy. Coordonnées selon est-ouest (x), nord-sud (y), haut-bas (z) depuis l'origine. Le système cartésien repose sur trois axes mutuellement perpendiculaires : x, y, z. Voir Figure 6 ci-dessous. Les trois axes se coupent au point appelé origine. Imaginez l'origine comme le coin où deux murs rencontrent le sol. Axe x = ligne horizontale intersection mur gauche/sol. Axe y = ligne horizontale intersection mur droit/sol. Axe z = ligne verticale intersection des murs. Les parties visibles dans la pièce = portions positives. Les parties négatives = prolongements hors de la pièce.

Figure 7. Système cartésien 3D

Représentation des trois axes du système cartésien 3D. Axes positifs x, y, z = côtés étiquetés x, y, z. Origine = intersection de tous les axes. Branche de chaque axe du côté opposé à l'origine (côté non étiqueté) = partie négative.

Figure 8. Système cartésien droit (Right-Handed)

Pour la 3D, on met en place un système de coordonnées approprié. Le plus direct = système cartésien. Trois axes mutuellement perpendiculaires X, Y, Z. Par convention, orientation telle que index, majeur, pouce de la main droite configurés perpendiculairement s'alignent sur X, Y, Z respectivement. Système dit « droitier ». Voir Figure 7. Intersection des trois axes = origine.

Les coordonnées cartésiennes d'un point en 3D sont un triplet (x,y,z). Les trois nombres spécifient les distances signées depuis l'origine le long des axes x, y, z. Visualisables en formant le parallélépipède à arêtes parallèles aux axes, coins opposés à l'origine et au point donné.

Les points peuvent maintenant être définis dans un volume 3D. Permet de définir points en 3D depuis l'origine. Coordonnées (x,y,z) = distances signées depuis l'origine le long de x, y, z. L'axe Z devient la troisième entrée pour définir les positions.

Avec l'analogie du coin de pièce : imaginons que vous mesuriez 5 m sur l'axe z (hauteur), marchiez 2 m depuis l'origine sur l'axe x, tourniez à gauche et marchiez 4 m parallèlement à l'axe y dans la pièce. Les coordonnées du sommet de votre tête = (2,4,5).

Exemple : notation (2,4,5) correspond à X2, Y4, Z5. Voir Figure 8.

3 DIMENSIONS

Coordonnées cartésiennes pour localiser points en 3 dimensions :

Figure 9. Point (2, 4, 5) en coordonnées cartésiennes 3D.

QUADRANTS

Les axes de coordonnées divisent le plan en 4 parties = quadrants (voir Figure 9). Numérotés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, en partant du haut à droite : I, II, III, IV avec désignations d'axes comme illustré.

Figure 10

Quatre Quadrants

Avec valeurs négatives, axes x et y divisent l'espace en 4 : Quadrants I, II, III, IV (numérotés sens anti-horaire).

• Quadrant I : x et y positifs
• Quadrant II : x négatif (y positif)
• Quadrant III : x et y négatifs
• Quadrant IV : x positif, y négatif

Quadrant	X (Horizontal)	Y (Vertical)	Exemple
I	Positif	Positif	(3,2)
II	Négatif	Positif	(-5, 2)
III	Négatif	Négatif	(-2, -1)
IV	Positif	Négatif	(2, -5)

Exemple : Point « A » (3,2) = 3 unités sur x, 2 sur y. x,y positifs → Quadrant I.

Exemple : Point « C » (-2,-1) = 2 unités sur x direction négative, 1 unité en bas sur y. x,y négatifs → Quadrant III.

DIMENSIONS : 1, 2, 3 ET PLUS…

1. Droite réelle : seulement gauche-droite → 1 nombre suffit.
2. Coordonnées cartésiennes 2D : gauche-droite + haut-bas → 2 nombres.
3. 3 dimensions : gauche-droite + haut-bas + avant-arrière.

TEST DE L'UNITÉ

1. Qu'est-ce que la CNC ?
2. Décrire le système de coordonnées cartésiennes.
3. Qu'est-ce que l'Origine ?
4. La ligne horizontale s'appelle comment ?
5. La ligne verticale s'appelle comment ?
6. Décrire la droite des nombres réels.
7. Expliquer Abscisse et Ordonnée.
8. Quelle est la représentation des trois axes du système cartésien 3D ?
9. Les axes de coordonnées divisent le plan en 4 parties, comment s'appellent-elles ?
10. Dans le Quadrant IV, les axes X et Y sont comment ?