Analyse de circuit série RC en courant alternatif : impédance, relations de phase et validation SPICE

Dans la section précédente, nous avons exploré les circuits alternatifs simples à résistance seule et à condensateur seul. Cet article montre comment la combinaison de ces éléments en série transforme le comportement.

Circuit série condensateur : la tension retarde le courant de 0° à 90°.

Calcul de l'impédance

La résistance fournit une résistance constante de 5 Ω au courant alternatif à toute fréquence, tandis que le condensateur offre 26,5258 Ω de réactance à 60 Hz.

Parce que l'impédance de la résistance est le nombre réel 5 Ω ∠ 0° (ou 5 + j0 Ω) et que l'impédance du condensateur est le nombre imaginaire 26,5258 Ω ∠ –90° (ou 0 – j26,5258 Ω), l'opposition combinée au courant est la somme complexe de ces deux valeurs.

Cette opposition complexe est appelée impédance, notée Z, et mesurée en ohms, tout comme la résistance et la réactance. Pour le circuit montré, l'impédance totale est :

L'impédance relie tension et courant de la même manière que la résistance en continu, mais elle capture à la fois la magnitude et la phase :

Cette forme de la loi d'Ohm (E = IZ) est bien plus complète que la version continue (E = IR). Toute résistance ou réactance — qu'elles soient séparées ou combinées en série ou en parallèle — peut et doit être représentée comme une seule impédance.

Calcul du courant

Pour déterminer le courant, nous définissons d'abord l'angle de phase de la tension source à zéro, le point de référence standard. Les impédances résistives et capacitives ont toujours des angles de phase de 0° et –90°, respectivement, indépendamment de la source.

Le courant précède la tension source de 79,325°, moins que les 90° d'avance vus dans un circuit purement capacitif.

La tension retarde le courant (le courant précède la tension) dans un circuit série R-C.

Méthode tabulaire

Comme pour l'analyse continue, organiser les valeurs dans un tableau rationalise les calculs alternatifs. Pour ce circuit série, nous listons les quantités connues et les propageons à travers l'analyse :

Puisque le courant est commun à tous les éléments en série, la colonne de courant total peut être distribuée à chaque composant. L'application de la loi d'Ohm verticalement donne la tension aux bornes de la résistance et du condensateur :

La tension de la résistance partage la même phase que le courant, confirmant que E et I sont en phase pour cet élément. La tension du condensateur, à –10,675°, est exactement 90° derrière le courant du circuit, comme prévu pour une charge capacitive.

Calculs avec SPICE

Pour vérifier les résultats analytiques, nous simulons le circuit dans SPICE :

Circuit SPICE : R-C.

 ac r-c circuit
v1 1 0 ac 10 sin
r1 1 2 5
c1 2 0 100u
.ac lin 1 60 60
.print ac v(1,2) v(2,0) i(v1)
.print ac vp(1,2) vp(2,0) ip(v1)
.end
freq v(1,2) v(2) i(v1)
6.000E+01 1.852E+00 9.827E+00 3.705E-01
freq vp(1,2) vp(2) ip(v1)
6.000E+01 7.933E+01 -1.067E+01 -1.007E+02

SPICE rapporte la phase du courant à –100,7°, ce qui correspond à +79,3° une fois l'offset de 180° retiré, correspondant au résultat analytique de 79,325°. Notez que les tensions et courants mesurés correspondent à la magnitude (forme polaire) des fasceurs calculés, et non aux composantes rectangulaires.

Par exemple, une lecture de voltmètre aux bornes de la résistance afficherait 1,852 V, et non les 343,11 mV (réel) ou 1,8203 V (imaginaire) des valeurs rectangulaires. Bien que la notation rectangulaire aide l'arithmétique, la forme polaire représente directement les mesures réelles.

L'impédance d'un circuit série R-C peut être calculée à partir de la résistance (R) et de la réactance capacitive (X_C). En utilisant E = IR, E = IX_C, et E = IZ, le diagramme de fasceurs de tension parallélise le diagramme d'impédance.

Diagramme de fasceurs d'impédance d'un circuit série R-C.

Exemple : Une résistance de 40 Ω en série avec un condensateur de 88,42 µF à 60 Hz. Trouver l'impédance.

 XC = 1/(2πfC)
XC = 1/(2π·60·88,42×10⁻⁶)
XC = 30 Ω
Z = R - jXC
Z = 40 - j30
|Z| = sqrt(40² + (-30)²) = 50 Ω
∠Z = arctan(-30/40) = -36,87°
Z = 40 - j30 = 50∠-36,87°

Révision :

• L'impédance (Z) est l'opposition totale au courant alternatif et équivaut à la somme complexe de la résistance et de la réactance.
• Dans les circuits série, les impédances s'additionnent exactement comme les résistances : Z_total = Z₁ + Z₂ + … + Z_n.
• Les impédances s'additionnent sous forme complexe quel que soit le type de composant.
• Une impédance purement résistive a un angle de phase de 0° (Z_R = R ∠ 0°).
• Une impédance purement capacitive a un angle de phase de –90° (Z_C = X_C ∠ –90°).
• Loi d'Ohm AC : E = IZ ; I = E/Z ; Z = E/I.
• Lorsque résistances et condensateurs coexistent, la phase d'impédance totale se situe entre 0° et –90°.

Feuilles de travail connexes :

• Feuille de travail sur les circuits AC série et parallèle