Théorème de Millman expliqué : de Thévenin à Norton et l'équation de Millman

Vous êtes-vous déjà demandé comment la formule apparemment complexe pour la « tension de Millman » est dérivée ? Tout réside dans le traitement de chaque branche parallèle — chacune consistant en une résistance série et source de tension — comme un équivalent de Thévenin, puis la conversion de ceux-ci en équivalents de Norton. L'expression résultante est simplement le calcul familier de résistance parallèle, mais appliqué aux équivalents de source de courant.

Le numérateur de la grande fraction ressemble à la somme des courants de branche (I=E/R), tandis que le dénominateur miroir le réciproque de la somme des résistances réciproques — la formule classique de résistance parallèle.

Circuit équivalent de Thévenin

Dans l'exemple, la branche 1 (B1 + R1) est une source de Thévenin de 28 V et 4 Ω. La conversion en Norton donne une source de courant de 7 A en parallèle avec 4 Ω. La branche 2 devient une source de 7 A avec 1 Ω, et la branche du milieu — n'ayant pas de source de tension — se convertit en une source de 0 A en parallèle avec 2 Ω.

Circuit équivalent de Norton

Parce que les sources de courant en parallèle s'additionnent simplement, le courant total du circuit est 7 A + 0 A + 7 A = 14 A. Cette addition est exactement le numérateur dans la formule de Millman.

Équation de Millman

Toutes les résistances de Norton sont en parallèle, se réduisant à une résistance équivalente :

Dans ce cas, la résistance parallèle est 571,43 mΩ (0,571 Ω). Le circuit équivalent se simplifie à une seule source de Norton et résistance :

L'application de la loi d'Ohm (E = IR) donne la tension à travers le couple équivalent :

Pour récapituler : le courant total est la somme des courants de branche (E/R), la résistance totale est le réciproque de la somme des résistances de branche réciproques, et la tension totale égale le produit de ces deux quantités. Le théorème de Millman est simplement une expression concise de cette relation.

En comprenant comment les équivalents de Thévenin et Norton se combinent, le mystère de l'équation de Millman disparaît.

FICHE D'EXERCICES ASSOCIÉE :

• Fiche d'exercices : Théorème de Millman