Calcul des angles d'Euler sur un robot 6 axes

Comment l'orientation dans l'espace est-elle représentée avec les angles d'Euler ?

Si vous utilisez un bras de robot à six axes, comme le Meca500 de Mecademic utilisé dans ce tutoriel à titre d'exemple, vous êtes très probablement intéressé par le positionnement de son outil (effecteur ) dans diverses orientations. En d'autres termes, vous devez être capable de programmer votre robot pour déplacer son effecteur terminal à la fois vers une position souhaitée ET vers une orientation souhaitée (c'est-à-dire vers une pose souhaitée ). Bien sûr, vous pouvez toujours déplacer l'effecteur terminal de votre robot ou le guider à la main jusqu'à approximativement la pose souhaitée, mais cette soi-disant méthode de programmation en ligne est fastidieux et très imprécis. Il est beaucoup plus efficace de calculer et de définir la pose souhaitée hors ligne. Par ailleurs, afin de définir le référentiel de l'outil associé à votre effecteur terminal (comme dans l'image montrée ici), vous devrez calculer la pose de ce cadre de référence d'outil par rapport au cadre de référence de la bride .
Dans l'espace 3D, vous avez besoin d'un minimum de six paramètres pour définir une pose. Par exemple, la position de l'effecteur du robot, ou plus précisément du TCP (point central de l'outil ), est généralement défini comme le x , y et z coordonnées de l'origine du référentiel outil par rapport au repère monde . Mais alors comment définir l'orientation dans l'espace ?

La représentation de l'orientation dans l'espace est une question complexe. Théorème de rotation d'Euler stipule que, dans l'espace (3D), tout déplacement d'un corps rigide de telle sorte qu'un point sur le corps rigide reste fixe équivaut à une rotation unique autour d'un axe passant par le point fixe. En conséquence, une telle rotation peut être décrite par trois paramètres indépendants :deux pour décrire l'axe et un pour l'angle de rotation. L'orientation dans l'espace, cependant, peut être représentée de plusieurs autres manières, chacune avec ses propres avantages et inconvénients. Certaines de ces représentations utilisent plus que le minimum nécessaire de trois paramètres.

Le moyen le plus courant de transformer les coordonnées de position à partir d'un cadre de référence cartésien (3D), F , à un autre, F’ , est la matrice de rotation . Cette matrice 3×3 peut donc être utilisée pour représenter l'orientation du référentiel F' par rapport au référentiel F . Cependant, cette représentation, bien que souvent nécessaire comme nous le découvrirons plus tard, n'est pas une manière compacte et intuitive de définir l'orientation.
Une autre manière beaucoup plus compacte de définir l'orientation est le quaternion . Cette forme de représentation consiste en un vecteur normalisé de quatre scalaires. Le quaternion est généralement utilisé dans les contrôleurs de robots, car il est non seulement plus compact que la matrice de rotation, mais également moins sensible aux erreurs d'approximation. De plus, lors d'une interpolation entre deux orientations différentes, les éléments du quaternion changent continuellement, évitant les discontinuités inhérentes aux paramétrisations tridimensionnelles telles que les angles d'Euler. Néanmoins, le quaternion est rarement utilisé comme moyen de communication entre un utilisateur et le contrôleur du robot car il n'est pas intuitif.

Définition détaillée des angles d'Euler

La manière de loin la plus courante de communiquer une orientation dans l'espace à un utilisateur, ou de permettre à un utilisateur de définir une orientation, dans un logiciel de CAO ou dans un contrôleur de robot, est l'utilisation des angles d'Euler . Parce que le terme angles d'Euler est souvent utilisé à mauvais escient, nous avons préparé ce tutoriel interactif.

Les angles d'Euler sont un ensemble (ou plutôt une séquence) de trois angles, qui peuvent être désignés par exemple par α , β , et γ . (Souvent, les angles d'Euler sont désignés par roulis , présentation , et lacet .) Les angles d'Euler sont définis comme suit :Considérons deux référentiels 3D cartésiens droitiers, dont l'un sera appelé arbitrairement le fixe cadre et l'autre sera appelé le mobile Cadre. Les deux référentiels coïncident initialement. Pour définir l'orientation d'un troisième cadre (les trois cadres partagent la même origine), le cadre mobile est amené, dans l'ordre indiqué ci-dessous, à coïncider avec le troisième cadre en faisant pivoter le cadre mobile

1. à propos des x , y , ou z l'axe du cadre fixe ou les x' , y' , ou z' du cadre mobile, par α degrés,
2. puis sur le x , y , ou z l'axe du cadre fixe ou les x' , y' , ou z' du cadre mobile, par β degrés,
3. et enfin sur le x , y , ou z l'axe du cadre fixe ou les x' , y' , ou z' du cadre mobile, par γ degrés.

L'ordre dans lequel les trois rotations sont effectuées est important. Ainsi, nous avons un total de 216 (6 ³ ) séquences possibles : x →y →z , y →y →z , z →y →z , x'→y →z , y'→y →z , z'→y →z , et ainsi de suite. Cependant, une séquence de trois rotations dans laquelle deux rotations consécutives sont autour du même axe (par exemple, y →y →z ) ne peut décrire une orientation générale. De plus, avant la première rotation, x coïncide avec x ', y coïncide avec y ', et z coïncide avec z ‘. Par conséquent, de toutes ces 216 combinaisons, il n'existe que douze séquences de rotations ordonnées significatives uniques, ou douze conventions d'angle d'Euler :XYX, XYZ, XZX, XZY, YXY, YXZ, YZX, YZY, ZXY, ZXZ, ZYX, ZYZ.
Cela dit, chacune des douze combinaisons équivaut à trois autres séquences. En d'autres termes, chaque convention d'angle d'Euler peut être décrite de quatre manières différentes. Par exemple, le ZYX la convention est équivalente aux séquences z →y →x , x ‘→y ‘→z ', y →z ‘→x et y →x →z ‘. Heureusement, personne ne décrit les angles d'Euler avec des séquences dans lesquelles certaines rotations se font autour des axes du cadre mobile et d'autres autour des axes fixes (par exemple, des séquences comme y →z ‘→x et y →x →z ‘).
Thus, while there are twelve different Euler angle conventions, each is typically described in two different ways:either as a sequence of rotations about the axes of the fixed frame or as a sequence of rotations about the axes of the mobile frame. Therefore, it can be convenient to talk about fixed and mobile conventions, although they are equivalent. For example, the fixed XYZ Euler angle convention is described by the x →y →z  sequence, while the mobile ZYX Euler angle convention is described by the z’ →y’ →x’  sequence, but both are equivalent, as we will see later.
In robotics, FANUC and KUKA use the fixed XYZ Euler angle convention, while ABB uses the mobile ZYX Euler angle convention. Furthermore, Kawasaki, Omron Adept Technologies and Stäubli use the mobile ZYZ Euler angle convention. Finally, the Euler angles used in CATIA and SolidWorks are described by the mobile ZYZ Euler angle convention.

At Mecademic, we use the mobile XYZ Euler angle convention, and therefore describe Euler angles as the sequence x ‘→y ‘→z ‘. Why be different? The reason is that we used to offer a mechanical gripper for handling axisymmetric workpieces (see video), which was actuated by the motor of joint 6. A six-axis robot equipped with such a gripper can only control two rotational degrees of freedom, or more specifically the direction of the axis of joint 6, that is to say the direction of the axis of symmetry of the workpiece. In the chosen Euler angle convention, angles α  and β  define this direction, while angle γ  is ignored because it corresponds to a parasitic rotation that is uncontrollable.
Our applet below will help you understand Euler angles. You can select one of the twelve possible Euler angle conventions by clicking on the x, y, and z boxes of the first, second and third rotation. (The default Euler angle sequence is the one used by Mecademic.) To switch between rotations about the axes of the fixed or mobile frames, you need to double-click on any of these nine boxes. The axes of the fixed frame are drawn in gray while the axes of the mobile frame are in black. Axes x  and x ‘ are drawn in red, y  and y ‘ in green, and z  and z ‘ in blue. Gliding along any of the three blue horizontal arrows with your mouse changes the corresponding Euler angle. Alternatively, you can directly set the Euler angle value (in degrees) in the corresponding textbox bellow the arrow. Finally, you can drag your mouse over the reference frame to change the viewpoint.

---

α  :

β  :

γ  :

R  = R x (0°) R y (0°) R z (0°) =

1.000 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000 1.000

---

Calculating Euler angles via rotation matrices

With the above applet, you will see the orientation of the mobile frame with respect to the fixed frame, for a given set of Euler angles, in the far right subfigure. Unfortunately, however, in practice, the situation is usually the opposite. You frequently have two reference frames, and you want to find the Euler angles that describe the orientation of one frame with respect to the other.
For orientations in which at least two axes are parallel, you could attempt to guess the Euler angles by trial and error. For example, look back at the image at the beginning of this tutorial and try to find the Euler angles used by Mecademic that define the orientation of the tool reference frame associated with the gripper, with respect to the flange reference frame. The answer is α  = −90°, β  = 0°, γ  = −90°. Not so easy to get, is it? To be more efficient therefore, you must learn about rotation matrices after all.
As we have already mentioned, any orientation in space can be represented with a 3×3 rotation matrix. For example, a rotation of α  about the axis x , a rotation of β  about the axis y , and a rotation of γ  about the axis z , respectively correspond to the following three rotation matrices:

R x (α ) =

1 0 0 0 cos(α ) −sin(α ) 0 sin(α ) cos(α )  ,

R y (β ) =

cos(β ) 0 sin(β ) 0 1 0 −sin(β ) 0 cos(β )  ,

R z (γ ) =

cos(γ ) −sin(γ ) 0 sin(γ ) cos(γ ) 0 0 0 1  .

We will refer to the above matrices as basic rotation matrices . To obtain the product of basic rotation matrices that corresponds to a sequence of rotations, start by writing the basic rotation matrix corresponding to the first rotation. For example, if the first rotation is about the x  (or x ‘) axis, then write R _x (ψ ), where ψ  is the angle of rotation. For every subsequent rotation, post-multiply (right multiply) the current result with the next rotation matrix, if the rotation is about an axis of the mobile reference frame, or pre-multiply (left multiply) the current result with the next rotation matrix, if the rotation is about an axis of the fixed reference frame. Use our applet to see the resulting product of basic rotation matrices. For example, the rotation sequence x ‘→y ‘→z ‘ corresponds to the product R  = R _x (α )R _y (β )R _z (γ ). Thus, the rotation matrix that corresponds to the Euler angles used by Mecademic is:

R (α , β , γ ) =

cos(β )cos(γ ) −cos(β )sin(γ ) sin(β ) cos(α )sin(γ ) + sin(α )sin(β )cos(γ ) cos(α )cos(γ ) − sin(α )sin(β )sin(γ ) −sin(α )cos(β ) sin(α )sin(γ ) − cos(α )sin(β )cos(γ ) sin(α )cos(γ ) + cos(α )sin(β )sin(γ ) cos(α )cos(β )  .

Therefore, for a given orientation, you will need to do two things:First, you need to find the rotation matrix that corresponds to your orientation. Second, you need to extract the Euler angles using a couple of simple equations. Let us first show you two ways to find your rotation matrix.
Consider the example shown in the figure below where we need to find the rotation matrix representing the orientation of frame F’  with respect to frame F . (Recall that we always represent the x  axis in red, the y  axis in green, and the z  axis in blue.)

Here, it is easy to see that if we align a third reference frame with the F , which will act as a mobile frame, then rotate this frame about its z ‘ axis at θ  degrees, and then rotate it about its y ‘ axis at φ  degrees, we will obtain the orientation of F . Thus, the rotation matrix we are looking for is:

R desired  = R z (θ )R y (φ ) =

cos(θ )cos(φ ) −sin(θ ) cos(θ )sin(φ ) sin(θ )cos(φ ) cos(θ ) sin(θ )sin(φ ) −sin(φ ) 0 cos(φ )  .

Alternatively, we can obtain the above rotation matrix directly. Its first, second and third columns represent the coordinates of the unit vectors along the x , y  and z  axis, respectively, of frame F’ , with respect to frame F .
Now that you have the rotation matrix that represents your desired orientation, you simply need to solve the system of nine scalar trigonometric equations R _desired  = R (α , β , γ ), for α , β , and γ . Fortunately, this problem has a generic solution and we’ll simply give you the equations to use.
Let the desired orientation of a frame F’  with respect to a frame F  be represented by the following rotation matrix:

R desired  =

r 1,1 r 1,2 r 1,3 r 2,1 r 2,2 r 2,3 r 3,1 r 3,2 r 3,3  .

The Euler angles (in degrees), in keeping with the mobile XYZ convention used by Mecademic, are then obtained according to the following two cases:
Case 1:  r _1,3  ≠ ±1 (i.e., the z’  axis of frame F’  is not parallel to the x  axis of frame F ).

β  = asin(r _1,3 ),   γ  = atan2(−r _1,2 , r _1,1 ),   α  = atan2(−r _2,3 , r _3,3 ).

Case 2:  r _1,3  = ±1 (i.e., the z’  axis of frame F’  is parallel to the x  axis of frame F ).

β  = r _1,3 90°,   γ  = atan2(r _2,1 , r _2,2 ),   α  = 0.

In the general Case 1, we actually have two sets of solutions where all angles are in the half-open range (−180°, 180°]. However, it is useless to calculate both sets of solutions, so only the first is presented, in which −90° < β  < 90°. Also, note that we use the function atan2(y, x) in our solution. Beware that in some programming languages, in some scientific calculators and in most spreadsheet software, the arguments of this function are inverted.
Finally, note that Case 2 corresponds to a so-called representation singularity . This singularity is present in any three-parameter representation of orientation in 3D space (not only in Mecademic’s choice of Euler angles). It is similar to the problem of representing points on a sphere by only two parameters. For example, longitude is not defined on Earth at the South and North Poles on the Earth. In other words, this singularity has nothing to do the singularities of mechanisms (e.g., the so-called gimbal lock ), which correspond to actual physical problems (e.g., the loss of a degree of freedom).

Exercice

Consider the following real-life situation that occured to us. We wanted to attach a FISNAR dispensing valve to the end-effector of our Meca500 robot arm. Naturally, the engineer who designed and machined the adapter didn’t care about Euler angles and was only concerned with machinability and reachability. In his design, there were essentially two rotations of 45°. Firstly, he used two diametrically oposite threaded holes on the robot flange to attach the adapter, which caused the first rotation of 45°. Secondly, the angle between the flange interface plane and the axis of the dispenser was 45°.

The figure above shows the actual installation (left) and the tool frame (right) that needed to be defined. Note that when using axi-symmetric tools, it is a common practice to allign the tool z-axis with the axis of the tool. This is particularly useful with the mobile XYZ Euler angle convention, since the redutant rotation about the axi-symmetric tool corresponds to the third Euler angle, γ. Thus, the first two Euler angles define the axis of the tool, while the third one can be used to choose the optimal configuration of the robot (i.e., far from singularities).

Returning to our example, we will show now that it is impossible to come up with the Euler angles according to the mobile XYZ convention by trial and error. Indeed, for this choice of tool reference frame, we can represent the final orientation as a sequence of the following two rotations: R  = R _z (45°)R _y (45°). From here, we can extract the Euler angles according to the mobile XYZ convention using the equations previously described and obtain: α  = −35.264°, β  = 30.000°, γ  = 54.735°. Are you convinced now that you do need to master Euler angles for situations like this?

Representational singularities and orientation errors

In the case of the mobile XYZ Euler angle convention, if the z’  axis of frame F’  is parallel to the x  axis of frame F , there are infinite pairs of α  and γ  that will define the same orientation. Obviously, you only need one to define your desired orientation, so we have arbitrarily set α  to be equal to zero. More specifically, if β  = 90°, then any combination of α  and γ , such than α + γ = φ , where φ is any value, will correspond to the same orientation, and be output by Mecademic’s controller as {0,90°,φ}. Similarly, if β  = −90°, then any combination of α  and γ , such that α − γ = φ , where φ is any value, will correspond to the same orientation, and be output by Mecademic’s controller as {0,−90°,−φ}. Note, however, that if you try to represent the orientation of a frame F’  with respect to a frame F  and the z’  axis of frame F’  is almost parallel to the x  axis of frame F  (i.e., β is very close to ±90°), the Euler angles will be very sensitive to numerical errors. In such a case, you should enter as many digits after the decimal point as possible when defining the orientation using Euler angles.
Consider the following situation which has caused worries to several users of our Meca500. You set the orientation of the tool reference frame with respect to the world reference frame to {0°, 90°, 0°}, which is a representational singularity. Then you keep this orientation and move the end-effector in space to several positions. At some positions, because of numerical noise, the controller does not detect the condition r _1,3  = ±1 (Case 2, as mentioned above) and calculates the Euler angles as if the orientation did not correspond to a representational singularity. Thus, the controller returns something like {41.345°, 90.001°, −41.345°}, which seems totally wrong and very far away from {0°, 90°, 0°}. Well it’s not.
Unlike position errors, which are measured as √(Δx ²  + Δy ²  + Δz ² ), orientation errors are not directly related with the variations in the Euler angles, especially close to representational singularities. To better understand this so-called non-Euclidean nature of Euler angles, consider the spherical coordinates used to represent a location on Earth. At the North Pole, the latitude is 90° (North), but what is the longitude? Longitude is not defined at the North Pole, or it can be any value. Now imagine that we move only 1 mm away from the North Pole in the direction of Greenwich. In this case, the latitude will be 89.99999999°, but the longitude will now have the value of 0°. Imagine once again that you return to the North Pole and move 1 mm in the direction of Tokyo. The new longitude will be approximately 140°. Between your two locations, the error in longitude is 140°! However, the real angular error will be approximately 0.00000002°.
The situation described above is similar in all other Euler angles conventions. Depending on the Euler angle convention, the correspoding representation singularity occurs when a specific axis of frame F’  is parallel to another specific axis of frame F . In such a representation singularity, the first and third rotation become dependant.
In conclusion, unless you master Euler angles (or use sophisticated offline programming software), and more specifically the convention used for programming your robot, you will hardly be able to program anything but simple pick and place operations. Because robotics is not simple, we do our best to help you understand the basics.

Looking For Industrial Automation Parts? We Can Help!

SHOP PARTS