Solution Minterm vs Maxterm

Jusqu'à présent, nous avons trouvé des solutions Sum-Of-Product (SOP) aux problèmes de réduction logique. Pour chacune de ces solutions SOP, il existe également une solution Product-Of-Sums (POS), qui pourrait être plus utile, selon l'application.

Avant de travailler sur une solution Product-Of-Sums, nous devons introduire une nouvelle terminologie. La procédure ci-dessous pour mapper les termes du produit n'est pas nouvelle dans ce chapitre.

Nous voulons juste établir une procédure formelle pour les minterms pour comparaison avec la nouvelle procédure pour les maxterms.

Minterm

Un minterm est une expression booléenne résultant en 1 pour la sortie d'une seule cellule, et 0 s pour toutes les autres cellules d'une carte de Karnaugh ou d'une table de vérité. Si un minterm a un seul 1 et les cellules restantes comme 0 s, il semblerait couvrir une zone minimale de 1 s.

L'illustration ci-dessus à gauche montre le minterm ABC , un seul terme de produit, comme un seul 1 dans une carte autrement 0 s. Nous n'avons pas affiché le 0 s dans nos cartes de Karnaugh jusqu'à présent, car il est de coutume de les omettre, sauf si cela est spécifiquement nécessaire. Un autre minterm A'BC' est affiché en haut à droite.

Le point à vérifier est que l'adresse de la cellule correspond directement au minterm mappé. C'est-à-dire la cellule 111 correspond au minterme ABC en haut à gauche.

En haut à droite, nous voyons que le minterm A'BC' correspond directement à la cellule 010 . Une expression ou une carte booléenne peut avoir plusieurs minterms.

En se référant à la figure ci-dessus, résumons la procédure pour placer un minterm dans une K-map :

• Identifiez le terme minterm (terme de produit) à mapper.
• Écrivez la valeur numérique binaire correspondante.
• Utilisez une valeur binaire comme adresse pour placer un 1 dans la K-map
• Répétez les étapes pour les autres minterms (termes P dans une somme de produits).

Une expression booléenne consistera le plus souvent en plusieurs minterms correspondant à plusieurs cellules dans une carte de Karnaugh, comme indiqué ci-dessus. Les multiples minterms sur cette carte sont les minterms individuels que nous avons examinés dans la figure précédente ci-dessus.

Le point que nous examinons pour référence est que le 1 s sortent de la K-map sous la forme d'une adresse de cellule binaire qui se convertit directement en un ou plusieurs termes de produit.

Par directement, nous entendons qu'un 0 correspond à une variable complémentée, et à un 1 correspond à une vraie variable. Exemple :010 convertit directement en A'BC' .

Il n'y a pas eu de réduction dans cet exemple. Cependant, nous avons un résultat Sum-Of-Products des minterms.

En se référant à la figure ci-dessus, résumons la procédure d'écriture de l'équation booléenne réduite de la somme des produits à partir d'une K-map :

• Formez les plus grands groupes de 1 s possible couvrant tous les minterms. Les groupes doivent être une puissance de 2.
• Écrivez une valeur numérique binaire pour les groupes.
• Convertir une valeur binaire en terme de produit.
• Répétez les étapes pour les autres groupes. Chaque groupe donne un p-terme dans une somme de produits.

Rien de nouveau jusqu'à présent, une procédure formelle a été écrite pour traiter les minterms. Cela sert de modèle pour traiter les maxterms.

Ensuite on attaque la fonction booléenne qui vaut 0 pour une seule cellule et 1 s pour tous les autres.

Durée maximale

Un maxterme est une expression booléenne résultant en un 0 pour la sortie d'une expression de cellule unique, et 1 s pour toutes les autres cellules de la carte de Karnaugh ou de la table de vérité. L'illustration ci-dessus à gauche montre le terme maximum (A+B+C) , un terme de somme unique, sous la forme d'un seul 0 dans une carte autrement 1 s.

Si un maxterm a un seul 0 et les cellules restantes comme 1 s, il semblerait couvrir une zone maximale de 1 s.

Il y a quelques différences maintenant que nous avons affaire à quelque chose de nouveau, les maxterms. Le terme max est un 0 , pas un 1 sur la carte de Karnaugh. Un terme max est un terme somme, (A+B+C) dans notre exemple, pas un terme de produit. Il semble également étrange que (A+B+C) est mappé dans la cellule 000 .

Pour l'équation Out=(A+B+C)=0 , les trois variables (A, B, C) doit individuellement être égal à 0 . Seulement (0+0+0)=0 sera égal à 0 . Ainsi nous plaçons notre unique 0 pour minterm (A+B+C) dans la cellule A,B,C=000 dans la K-map, où les entrées sont toutes 0 .

C'est le seul cas qui nous donnera un 0 pour notre maxterm. Toutes les autres cellules contiennent 1 s car toutes les valeurs d'entrée autres que ((0,0,0) pour (A+B+C) donne 1 s après évaluation.

En se référant à la figure ci-dessus, la procédure pour placer un maxterm dans la K-map est :

• Identifiez le terme Somme à mapper.
• Écrivez la valeur numérique binaire correspondante.
• Former le complément
• Utilisez le complément comme adresse pour placer un 0 dans la K-map
• Répétez pour les autres maxterms (termes de somme dans l'expression Product-of-Sums).

Un autre maxterm A’+B’+C’ est montré ci-dessus. 000 numérique correspond à A’+B’+C’ . Le complément est 111 . Placez un 0 pour maxterm (A’+B’+C’) dans cette cellule (1,1,1) de la K-map comme indiqué ci-dessus.

Pourquoi (A’+B’+C’) provoquer un 0 être dans la cellule 111 ? Lorsque A’+B’+C’ est (1’+1’+1’) , tous 1 s in, qui est (0+0+0) après avoir pris des compléments, nous avons la seule condition qui nous donnera un 0 . Tous les 1 s sont complétés par tous les 0 s, qui est 0 quand OU éd.

Une expression ou une carte booléenne Product-Of-Sums peut avoir plusieurs maxterms, comme indiqué ci-dessus. Durée maximale (A+B+C) donne 111 numérique qui complète à 000 , en plaçant un 0 dans la cellule (0,0,0) . Durée maximale (A+B+C’) donne 110 numérique qui complète le 001 , en plaçant un 0 dans la cellule (0,0,1) .

Maintenant que nous avons la configuration de k-map, ce qui nous intéresse vraiment, c'est de montrer comment écrire une réduction Product-Of-Sums. Formez le 0 s en groupes. Ce serait un groupe de deux ci-dessous. Écrivez la valeur binaire correspondant au terme-somme qui est (0,0,X) .

A et B sont tous les deux 0 pour le groupe. Mais, C est à la fois 0 et 1 donc nous écrivons un X comme espace réservé pour C . Former le complément (1,1,X) . Écrivez le terme Somme (A+B) jeter le C et le X qui tenait sa place.

En général, attendez-vous à avoir plus de termes de somme multipliés ensemble dans le résultat Product-Of-Sums. Cependant, nous avons un exemple simple ici.

Résumons la procédure d'écriture de la réduction booléenne Product-Of-Sums pour une K-map :

• Formez les plus grands groupes de 0 s possible, couvrant tous les maxterms. Les groupes doivent être une puissance de 2.
• Écrivez une valeur numérique binaire pour le groupe.
• Compléter la valeur numérique binaire pour le groupe.
• Convertir la valeur du complément en un terme de somme.
• Répétez les étapes pour les autres groupes. Chaque groupe génère un terme de somme dans un résultat de produit de sommes.

Exemples

Exemple :

Simplifiez l'expression booléenne Product-Of-Sums ci-dessous, en fournissant un résultat sous forme de point de vente.

Solution :

Transférez les sept maxterms sur la carte ci-dessous en tant que 0 s. Assurez-vous de compléter les variables d'entrée pour trouver l'emplacement de cellule approprié.

Nous cartographions le 0 s tels qu'ils apparaissent de gauche à droite de haut en bas sur la carte ci-dessus. Nous localisons les trois derniers maxterms avec des lignes de repère.

Une fois les cellules en place ci-dessus, formez des groupes de cellules comme indiqué ci-dessous. Des groupes plus grands donneront un terme de somme avec moins d'entrées. Moins de groupes donneront moins de termes de somme dans le résultat.

Nous avons trois groupes, nous nous attendons donc à avoir trois termes de somme dans notre résultat POS ci-dessus. Le groupe de 4 cellules donne un terme somme à 2 variables. Les deux groupes de 2 cellules nous donnent deux termes de somme à 3 variables.

Les détails sont indiqués sur la façon dont nous sommes arrivés aux termes de somme ci-dessus. Pour un groupe, écrivez l'adresse d'entrée du groupe binaire, puis complétez-la en la convertissant en terme de somme booléenne. Le résultat final est le produit des trois sommes.

Exemple :

Simplifiez l'expression booléenne Product-Of-Sums ci-dessous, en fournissant un résultat sous forme de SOP.

Solution : Cela ressemble à une répétition du dernier problème. C'est sauf que nous demandons une Solution Somme-De-Produits au lieu du Produit-De-Sommes que nous venons de terminer. Mapper le maxterm 0 s du Product-Of-Sums donné comme dans le problème précédent, en bas à gauche.

Ensuite, remplissez le 1 implicite s dans les autres cellules de la carte en haut à droite.

Former des groupes de 1 s pour couvrir tous les 1 s. Écrivez ensuite le résultat simplifié de la somme des produits comme dans la section précédente de ce chapitre. Ceci est identique à un problème précédent.

Ci-dessus, nous montrons à la fois la solution Product-Of-Sums, de l'exemple précédent, et la solution Sum-Of-Products du problème actuel à des fins de comparaison.

Quelle est la solution la plus simple ? Le POS utilise des portes 3-OU et une porte 1-ET, tandis que le SOP utilise des portes 3-ET et une porte 1-OU. Les deux utilisent quatre portes chacun.

En regardant de plus près, nous comptons le nombre d'entrées de porte. Le POS utilise 8 entrées; le SOP utilise 7 entrées. Par la définition de solution à coût minimal, la solution SOP est plus simple.

Ceci est un exemple de réponse techniquement correcte qui est de peu d'utilité dans le monde réel.

La meilleure solution dépend de la complexité et de la famille logique utilisée. La solution SOP est généralement meilleure si vous utilisez la famille logique TTL, car les portes NAND sont le bloc de construction de base, qui fonctionne bien avec les implémentations SOP.

D'un autre côté, une solution POS serait acceptable lors de l'utilisation de la famille logique CMOS puisque toutes les tailles de portes NOR sont disponibles.

Les diagrammes de porte pour les deux cas sont affichés ci-dessus, Product-Of-Sums à gauche et Sum-Of-Products à droite.

Ci-dessous, nous examinons de plus près la version Sum-Of-Products de notre exemple de logique, qui est répétée à gauche.

Surtout les portes ET à gauche ont été remplacées par des portes NAND à droite. La porte OU à la sortie est remplacée par une porte NAND. Pour prouver que la logique ET-OU est équivalente à la logique NAND-NAND, déplacez les bulles d'inversion de l'onduleur à la sortie des portes 3-NAND vers l'entrée de la NAND finale comme indiqué en allant du haut à droite vers le bas à gauche.

En haut à droite, nous voyons que la porte NAND de sortie avec entrées inversées est logiquement équivalente à une porte OU par le théorème de DeMorgan et la double négation.

Ces informations sont utiles pour construire une logique numérique dans un laboratoire où les portes NAND de la famille logique TTL sont plus facilement disponibles dans une grande variété de configurations que d'autres types.

La procédure de construction de la logique NAND-NAND, à la place de la logique AND-OR, est la suivante :

• Produire une conception logique de somme de produits réduite.
• Lorsque vous dessinez le schéma de câblage du SOP, remplacez toutes les portes (ET et OU) par des portes NAND.
• Les entrées inutilisées doivent être liées au niveau logique haut.
• En cas de dépannage, les nœuds internes au premier niveau des sorties de porte NAND ne correspondent PAS aux niveaux logiques du diagramme ET-OU, mais sont inversés. Utilisez le schéma logique NAND-NAND. Les entrées et la sortie finale sont cependant identiques.
• Étiquetez tous les packages multiples U1, U2,.. etc.
• Utilisez la fiche technique pour attribuer des numéros de broche aux entrées et sorties de toutes les portes.

Exemple :

Reprenons un problème précédent impliquant une minimisation de SOP. Produire une solution de produit de sommes. Comparez la solution de point de vente au SOP précédent.

Solution :

Ci-dessus à gauche, nous avons le problème d'origine commençant par une expression booléenne non simplifiée à 9 minutes. Après examen, nous avons formé quatre groupes de 4 cellules pour obtenir un résultat SOP à 4 termes de produit, en bas à gauche.

Dans la figure du milieu, ci-dessus, nous remplissons les espaces vides avec le 0 implicite s. Le 0 s forment deux groupes de 4 cellules. Le groupe bleu continu est (A'+B) , le groupe en pointillé rouge est (C'+D) . Cela donne deux termes de somme dans le résultat Product-Of-Sums, en haut à droite Out =(A'+B)(C'+D)

La comparaison de la précédente simplification SOP, à gauche, à la simplification POS, à droite, montre que le POS est la solution la moins coûteuse. Le SOP utilise un total de 5 portes, le POS n'utilise que 3 portes.

Cette solution de point de vente semble même attrayante lors de l'utilisation de la logique TTL en raison de la simplicité du résultat. On peut trouver des portes ET et une porte OU à 2 entrées.

Les diagrammes de porte SOP et POS sont présentés ci-dessus pour notre problème de comparaison.

Compte tenu des broches pour les portes de circuit intégré de la famille logique TTL ci-dessous, étiquetez le diagramme maxterm ci-dessus à droite avec les désignateurs de circuit (U1-a, U1-b, U2-a, etc.) et les numéros de broche.

Chaque boîtier de circuit intégré que nous utilisons recevra un indicatif de circuit :U1, U2, U3. Pour distinguer les différentes portes au sein de l'emballage, elles sont identifiées comme a, b, c, d, etc.

L'ensemble onduleur hexagonal 7404 est U1. Les onduleurs individuels qu'il contient sont U1-a, U1-b, U1-c, etc. U2 est affecté à la porte OU 7432 quadruple. U3 est affecté à la porte ET quadruple 7408.

En référence aux numéros de broche sur le schéma de l'emballage ci-dessus, nous attribuons des numéros de broche à toutes les entrées et sorties de porte sur le schéma ci-dessous.

Nous pouvons maintenant construire ce circuit en laboratoire. Ou, nous pourrions concevoir une carte de circuit imprimé pour ça. Une carte de circuit imprimé contient un « câblage » en feuille de cuivre soutenu par un substrat non conducteur en fibre de verre phénolique ou époxy.

Les circuits imprimés sont utilisés pour produire en masse des circuits électroniques. Mettez à la terre les entrées des portes inutilisées.

Étiquetez le schéma de solution de point de vente précédent en haut à gauche (troisième figure en arrière) avec les désignateurs de circuit et les numéros de broche. Ce sera similaire à ce que nous venons de faire.

Nous pouvons trouver des portes ET à 2 entrées, 7408 dans l'exemple précédent. Cependant, nous avons du mal à trouver une porte OU à 4 entrées dans notre catalogue TTL.

Le seul type de porte avec 4 entrées est la porte NAND 7420 illustrée ci-dessus à droite.

Nous pouvons transformer la porte NAND à 4 entrées en une porte OU à 4 entrées en inversant les entrées de la porte NAND comme indiqué ci-dessous. Nous allons donc utiliser la porte NAND 4 entrées 7420 comme porte OU en inversant les entrées.

Nous n'utiliserons pas d'inverseurs discrets pour inverser les entrées de la porte NAND à 4 entrées 7420, mais la piloterons avec des portes NAND à 2 entrées à la place des portes ET demandées dans la SOP, minterm, solution.

L'inversion en sortie des portes NAND à 2 entrées fournit l'inversion pour la porte OU à 4 entrées.

Le résultat est montré ci-dessus. C'est le seul moyen pratique de le construire avec des portes TTL en utilisant la logique NAND-NAND remplaçant la logique AND-OR.

FICHES DE TRAVAIL CONNEXES :

• Feuille de travail de cartographie de Karnaugh