Maîtriser la Conversion Étoile-Triangle (Y–Δ) : Simplifier les Réseaux Électriques

Transformation Étoile vers Triangle et Triangle vers Étoile – Conversion Y-Δ

Dans un réseau électrique, les impédances peuvent être connectées en diverses configurations. Les plus courantes sont les réseaux en étoile ou en triangle. Pour résoudre ou simplifier des réseaux complexes, on utilise la technique de conversion étoile-triangle. Elle remplace tout réseau étoile par son équivalent triangle et vice versa. Nous fournissons une brève dérivation des formules pour la conversion de charge entre étoile et triangle.

Conversion Étoile-Triangle

Nous connaissons les bases des connexions série, parallèle ou mixte, mais Y-Δ est une configuration un peu plus complexe. Les réseaux triphasés ont trois fils et sont généralement connectés en configuration étoile et triangle. L'alimentation triphasée ou la charge connectée en l'une ou l'autre formation peut être convertie en son équivalent. On utilise cette conversion pour simplifier les calculs mathématiques d'analyse de circuit d'un réseau électrique complexe.

Réseau Triangle (Delta)

Le réseau triangle est formé quand trois branches ou impédances sont connectées pour former une boucle, leurs têtes connectées aux queues de la branche adjacente. Le réseau résultant forme un triangle ressemblant à la lettre grecque Delta « Δ ». On l'appelle aussi réseau π (pi) car il ressemble à cette lettre après réarrangement des branches. En savoir plus sur la Connexion Triangle dans l'article précédent.

Réseau Étoile (Star/Wye)

Le réseau étoile est formé quand trois branches ou impédances sont connectées ensemble en un point commun. Les autres extrémités sont libres. La forme résultante ressemble à la lettre « Y », d'où le nom « Y » ou « Wye ». On l'appelle aussi réseau « T » par sa forme après réarrangement. En savoir plus sur la Connexion Étoile dans l'article précédent.

Les circuits ci-dessus peuvent être convertis par la transformation suivante. Pendant la transformation, les bornes A, B, C restent en place, seules les impédances et leur disposition changent. La figure suivante illustre ce principe.

Conversion Triangle vers Étoile

Le réseau triangle peut être transformé en configuration étoile par un ensemble de formules. Dérivons l'équation pour chaque impédance.

La figure montre un réseau triangle avec bornes A, B, C et impédances R₁, R₂, R₃. Le réseau étoile équivalent a Rₐ, Rᵦ, R꜀ connectés aux bornes correspondantes.

Les bornes A, B, C restent identiques, ainsi que l'impédance entre elles.

Impédance totale entre A-B dans le réseau triangle :

Impédance entre B-C :

Impédance entre A-C :

Selon le réseau étoile :

R_AB = Rₐ + Rᵦ

R_BC = Rᵦ + R꜀

R_AC = Rₐ + R꜀

En ajoutant les équations (i), (ii) et (iii) :

En soustrayant (i), (ii), (iii) de (iv) :

Soustraire (ii) de (iv) :

De même soustraire (i) et (iii) de (iv) :

Des équations dérivées pour les impédances étoile équivalentes Rₐ, Rᵦ, R꜀, on conclut la relation triangle-vers-étoile : l'impédance étoile équivalente est égale au produit des impédances triangle adjacentes à une borne divisé par la somme des trois impédances triangle.

Si les trois impédances sont identiques dans un réseau triangle, l'impédance étoile équivalente devient :

Comme toutes les impédances du triangle sont égales, chaque résistance étoile équivalente vaut 1/3 de l'impédance triangle.

Conversion Étoile vers Triangle

Convertissons maintenant l'impédance étoile en impédance triangle. Dérivons les équations pour la conversion étoile-triangle.

La figure montre les impédances étoile Rₐ, Rᵦ, R꜀. L'impédance triangle équivalente requise est R₁, R₂, R₃.

Pour trouver la résistance triangle équivalente, on multiplie les équations précédentes (v) & (vi), (vi) & (vii), (v) & (vii).

Multiplier (v) & (vi) :

Multiplier (vi) & (vii) et (v) & (vii) :

Additionner (viii), (ix), (x) :

Pour obtenir chaque impédance triangle individuelle, diviser (xi) par (v), (vi), (vii) séparément :

Diviser (xi) par (v) :

Diviser (xi) par (vi) et (vii) :

La relation entre impédances étoile-triangle est claire : la somme des deux produits de toutes les impédances étoile divisée par l'impédance étoile de la borne correspondante équivaut à l'impédance triangle connectée à la borne opposée.

En simplifiant :

Si toutes les impédances étoile sont égales, l'impédance triangle équivalente serait :

En utilisant l'équation précédente :

Cette équation suggère que chaque impédance triangle équivalente vaut 3 fois l'impédance étoile.