Les lois de Kirchhoff : Courant & Tension (KCL & KVL) – Exemple résolu étape par étape

KCL & KVL – Les 1ère et 2ème lois de Kirchhoff avec exemple résolu

Un physicien allemand, Robert Kirchhoff, a introduit deux lois électriques importantes en 1847 permettant de déterminer facilement la résistance équivalente d'un réseau complexe et les courants circulant dans différents conducteurs. Les circuits AC et DC peuvent être résolus et simplifiés à l'aide de ces lois simples, connues sous le nom de Loi des nœuds (KCL) et Loi des mailles (KVL).

Notez également que la KCL est dérivée de l'équation de continuité de la charge en électromagnétisme, tandis que la KVL est dérivée de l'équation de Maxwell-Faraday pour le champ magnétique statique (la dérivée de B par rapport au temps est 0).

Loi des nœuds de Kirchhoff (KCL) :

Selon la KCL :

Dans tout réseau électrique, la somme algébrique des courants entrants en un point et des courants sortants de ce point est nulle. Ou les courants entrant en un point sont égaux aux courants le quittant.

En d'autres termes, la somme des courants s'écoulant vers un point est égale à la somme de ceux s'en éloignant. Ou la somme algébrique des courants entrant dans un nœud est égale à la somme algébrique des courants le quittant.

Explication de la KCL :

Supposons que plusieurs conducteurs se rejoignent en un point « A » comme indiqué sur la figure 1.a. Dans certains conducteurs, les courants arrivent au point « A » tandis que dans d'autres, ils le quittent.

Considérons les courants entrants comme « Positifs (+) » vers le point « A » et les courants sortants comme « Négatifs (-) ». Alors :

I₁ + (–I₂) + (–I₃) + (–I₄) + I₅ = 0

OU

I₁ + I₅ – I₂ – I₃ – I₄ = 0

OU

I₁ + I₅ = I₂ + I₃ + I₄

C'est-à-dire :

Courants entrants = Courants sortants

Ou

ΣI Entrants = ΣI Sortants

Par exemple, 8 A arrivent vers un point et 5 A plus 3 A le quittent (figure 1.b), donc :

8 A = 5 A + 3 A

8 A = 8 A.

Loi des mailles de Kirchhoff (KVL) :

La seconde loi de Kirchhoff ou KVL stipule que :

Dans toute maille fermée (aussi appelée maille), la somme algébrique des forces électromotrices (FEM) appliquées est égale à la somme algébrique des chutes de tension dans les éléments. La seconde loi de Kirchhoff est aussi appelée Loi de tension ou Loi des mailles.

ΣIR = ΣE

Explication de la KVL :

Un circuit fermé est représenté sur la figure, contenant deux batteries E₁ et E₂. La somme globale des FEM des batteries est indiquée par E₁ - E₂. La direction imaginaire du courant est également montrée.

E₁ entraîne le courant dans une direction supposée positive, tandis que E₂ s'oppose à cette direction (donc négative). La chute de tension dans ce circuit fermé dépend du produit de la tension et du courant.

La chute de tension dans la direction supposée du courant est une chute de tension positive, l'autre est négative.

Sur la figure, I₁R₁ et I₂R₂ sont des chutes de tension positives et I₃R₃ et I₄R₄ sont des chutes de tension négatives.

Si l'on parcourt le circuit fermé (ou chaque maille), et que l'on multiplie la résistance du conducteur par le courant qui le traverse, alors la somme des IR est égale à la somme des sources de FEM connectées au circuit.

L'équation globale pour le circuit ci-dessus est :

E₁ – E₂ = i₁R₁ + i₂R₂ – i₃R₃ – i₄R₄

Si l'on suit la direction supposée du courant comme indiqué sur la figure, le produit IR est pris comme positif, sinon négatif.

À savoir :

Direction du courant :

Il est très important de déterminer la direction du courant lors de la résolution de circuits via les lois de Kirchhoff. Comme pour le cas du courant électronique et du courant conventionnel.

La direction du courant peut être supposée dans le sens horaire ou antihoraire. Une fois que vous avez choisi la direction conventionnelle du courant, vous devrez l'appliquer et la maintenir pour l'ensemble du circuit jusqu'à la solution finale.

Si la valeur finale est positive, cela signifie que la direction supposée du courant était correcte. En cas de valeurs négatives, la direction du courant est inversée par rapport à celle supposée.

Analyse de circuit par les lois de Kirchhoff

Exemple résolu sur KCL et KVL (Lois de Kirchhoff)

Exemple :

Des résistances de R₁ = 10 Ω, R₂ = 4 Ω et R₃ = 8 Ω sont connectées à deux batteries (de résistance négligeable) comme indiqué. Trouver le courant traversant chaque résistance.

Solution :

Supposons les courants circulant dans les directions indiquées par les flèches.

Appliquons la KCL aux nœuds C et A.

Donc, courant dans la maille ABC = i₁

Courant dans la maille CA = i₂

Alors courant dans la maille CDA = i₁ – i₂

Appliquons la KVL sur la maille ABC, 20 V agissent dans le sens horaire. En égalant la somme des produits IR, on obtient :

10i₁ + 4i₂ = 20 … (1)

Dans la maille ACD, 12 volts agissent dans le sens horaire, alors :

8(i₁ – i₂) – 4i₂ = 12

8i₁ – 8i₂ – 4i₂ = 12

8i₁ – 12i₂ = 12 … (2)

Multiplions l'équation (1) par 3 :

30i₁ + 12i₂ = 60

Résolution pour i₁ :

30i₁ + 12i₂ = 60

8i₁ – 12i₂ = 12

___________

38i₁ = 72

L'équation peut aussi être simplifiée par élimination ou règle de Cramer.

i₁ = 72 ÷ 38 = 1,895 Ampères = Courant dans la résistance de 10 Ω

En substituant cette valeur dans (1), on obtient :

10 (1,895) + 4i₂ = 20

4i₂ = 20 – 18,95

i₂ = 0,263 Ampères = Courant dans la résistance de 4 Ω.

Maintenant,

i₁ – i₂ = 1,895 – 0,263 = 1,632 Ampères

Applications des lois de Kirchhoff

• Les lois de Kirchhoff permettent de déterminer les valeurs inconnues comme le courant et la tension ainsi que leur direction dans le circuit.
• Ces lois s'appliquent à tout circuit* (voir limitations à la fin), mais sont utiles pour trouver les valeurs inconnues dans les circuits et réseaux complexes.
• Utilisées dans l'analyse nodale et maillée pour trouver les valeurs de courant et tension.
• Le courant dans chaque boucle indépendante est déterminé en appliquant la KVL (chaque boucle) et le courant dans tout élément du circuit en comptant tous les courants (méthode des courants de boucle).
• Le courant dans chaque branche est déterminé en appliquant la KCL (chaque nœud) et la KVL dans chaque boucle (méthode des courants de boucle).
• Les lois de Kirchhoff sont utiles pour comprendre le transfert d'énergie dans un circuit électrique.

Bon à savoir :

Ces règles de base doivent être prises en compte lors de la simplification et l'analyse de circuits électriques par les lois de Kirchhoff :

• La chute de tension dans une maille due au courant dans le sens horaire est considérée comme positive (+).
• La chute de tension dans une maille due au courant dans le sens antihoraire est considérée comme négative (-).
• Le courant fourni par la batterie dans le sens horaire est pris comme positif (+).
• Le courant fourni par la batterie dans le sens antihoraire est pris comme négatif (-).

Limitations des lois de Kirchhoff :

• La KCL suppose que le courant ne circule que dans les conducteurs et fils. Dans les circuits haute fréquence où la capacité parasite ne peut être ignorée, le courant peut circuler dans un circuit ouvert car les conducteurs agissent comme des lignes de transmission.
• La KVL suppose qu'il n'y a pas de champ magnétique fluctuant traversant la boucle fermée. En présence d'un champ magnétique variable dans les circuits AC haute fréquence à courte longueur d'onde, le champ électrique n'est pas un champ vectoriel conservatif. La tension électrique ne peut pas être le gradient d'un potentiel et l'intégrale de ligne du champ électrique autour de la boucle n'est pas nulle, contredisant directement la KVL. C'est pourquoi la KVL n'est pas applicable dans de telles conditions.
• Lors du transfert d'énergie du champ magnétique vers le champ électrique, un terme correctif doit être introduit dans la KVL pour rendre les différences de potentiel (P.d) autour du circuit égales à 0.

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