Maîtriser l'Analyse par Supermaille : Guide Étape par Étape avec Exemple Résolu

Analyse par Supermaille – Énoncé, Formule, Exemples Résolus

Qu'est-ce que l'Analyse par Supermaille ?

Supermaille ou Analyse par Supermaille est une meilleure technique que l'analyse de maille pour analyser un circuit électrique complexe où deux mailles ont une source de courant comme élément commun. C'est le même principe que l'analyse par supernœud au lieu de l'analyse nodale pour simplifier un réseau où le supernœud enclôt la source de tension, réduisant le nombre de nœuds non-référence de un (1) par source de tension.

En analyse par supermaille, la source de courant est dans la zone interne de la supermaille. On réduit ainsi le nombre de mailles de un (1) pour chaque source de courant présente.

Une maille unique peut être ignorée si la source de courant (dans cette maille) se trouve sur le périmètre du circuit. Alternativement, la LKT (Loi des Tensions de Kirchhoff) s'applique seulement aux mailles ou supermailles du circuit renouvelé.

C'est difficile à comprendre par préambule, alors résolvons d'abord un circuit simple par analyse supermaille, puis résumons la méthode.

• Article connexe : ANALYSE DE CIRCUIT PAR SUPERNŒUD | Pas à Pas avec Exemple Résolu

Exemple Résolu d'Analyse par Supermaille

Exemple :

Utilisez l'analyse de maille pour trouver V₃ et les courants i₁, i₂ et i₃ dans la figure ?

Solution :

Appliquons LKT sur Maille 1.

80 = 10i₁ + 20(i₁ – i₂) + 30 (i₁ – i₃)

Simplification :

80 = 10i₁ + 20i₁ – 20i₂ + 30i₁ – 30i₃

80 = 60i₁ – 20i₂ – 30i₃ ….. → Éq 1.

Appliquons LKT sur Supermaille (intégration de maille 2 et maille 3, réduite d'une maille unique appelée supermaille)

30 = 40i₃ + 30(i₃ – i₁) + 20(i₂ – i₁)

30 = 40i₃ + 30i₃ – 30i₁ + 20i₂ – 20i₁

30 = 70i₃ – 50i₁ + 20i₂ ….. → Éq 2.

Trois variables (i₁, i₂, i₃) mais deux équations. Il faut une troisième équation.

La source de courant indépendante (dans la supermaille) est liée aux courants de maille supposés :

15iₓ = i₃ – i₂

i₃ = 15iₓ + i₂ ….. → Éq 3.

Résolution des équations 1, 2, 3 par règle de Cramer, Élimination, Élimination de Gauss ou programme assisté par ordinateur tel que MATLAB, on trouve :

i₁ = 0,583 A

i₂ = -6,15 A

i₃ = 2,6 A

On trouve aussi V₃ :

V₃ = i₃ x R₃

V₃ = 2,6 A x 40 Ω

V₃ = 104 V.

Résumé de l'Analyse par Supermaille (Pas à Pas)

1. Évaluez si le circuit est planaire. Si oui, appliquez Supermaille. Sinon, analyse nodale.
2. Redessinez le circuit si nécessaire et comptez les mailles.
3. Étiquetez chaque courant de maille. Règle : définir tous les courants de maille dans le sens horaire simplifie l'analyse.
4. Formez une supermaille si le circuit contient des sources de courant partagées par deux mailles. La supermaille enclos les deux mailles.
5. Écrivez une équation LKT (Loi des Tensions de Kirchhoff) autour de chaque maille et supermaille. Commencez par une maille simple. Procédez dans le sens du courant de maille. Tenez compte du signe « - » dans les équations LKT. Pas d'équation LKT nécessaire si source de courant sur périmètre d'une maille : courant de maille déterminé par inspection.
6. Une équation LKC (Loi des Courants de Kirchhoff) par supermaille définie, par simple application de LKC. En clair : relier le courant de chaque source de courant aux courants de maille.
7. Cas additionnel si sources dépendantes. Exprimer les valeurs/quantités inconnues supplémentaires en termes de courants de maille appropriés.
8. Organisez le système d'équations.
9. Résolvez le système pour les tensions nodales V₁, V₂, V₃, etc. Il y en a autant que de mailles. En cas de difficulté, référez-vous à l'exemple.

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