Maîtriser l'Analyse par Supernœud : Tutoriel Étape par Étape avec Exemple Résolu

Analyse par Supernœud – Énoncé, Formule et Exemple Résolu Pas à Pas

Qu'est-ce que l'Analyse par Supernœud ?

Aujourd'hui, nous répondons à la question courante : pourquoi utiliser l'analyse de circuit par supernœud alors qu'on peut simplifier par analyse nodale simple ?

Dans l'article précédent, nous avons vu pourquoi on utilise l'analyse par supermaille au lieu de l'analyse de maille simple. Si vous avez compris ce point, c'est le même cas. Sinon, expliquons avec l'exemple suivant.

Considérez les deux circuits de la figure 1. Avez-vous remarqué une différence ?

La différence : une source de tension de 22V au lieu d'une résistance de 7Ω entre nœud 2 et nœud 3. C'est le point clé.

En analyse nodale, on applique la LKC (Loi des Courants de Kirchhoff) à chaque nœud non-référence : KCL simple sur trois nœuds en figure 1(a).

Si on fait de même (analyse nodale au lieu de supernœud) sur le circuit figure 1(b), on rencontre une difficulté aux nœuds 1 et 2 : on ne connaît pas le courant dans la branche avec la source de tension. De plus, on ne peut pas exprimer le courant en fonction de la tension, car la définition de la source de tension est que la tension est indépendante du courant. Face à ces difficultés, on utilise l'analyse par supernœud.

Deux méthodes pour simplifier le circuit figure 1(b) :

1^ère méthode (plus complexe) : attribuer un courant inconnu à la branche contenant la source de tension. Appliquer KCL trois fois (une équation par nœud). Enfin, appliquer LKT (Loi des Tensions de Kirchhoff) : v₃ – v₂ = 22V entre nœuds 2 et 3. On obtient 4 équations pour 4 inconnues, un peu complexe.

2^ème méthode (plus simple) : analyse par supernœud. On traite Nœud2, Nœud3 et la source 22V ensemble comme un supernœud et on applique KCL aux deux nœuds simultanément.

Le supernœud est indiqué par la région encerclée en pointillés. C'est possible car si le courant total quittant Nœud 2 est 0 et celui quittant Nœud 3 est 0, alors le courant total quittant la combinaison est 0. Ce concept est montré figure 2(b) avec le supernœud (zone en trait discontinu).

Résolvons maintenant le circuit ci-dessous par analyse supernœud pas à pas, puis résumons la méthode.

• Article connexe : ANALYSE DE CIRCUIT PAR SUPERMAILLE | Pas à Pas avec Exemple Résolu

Exemple Résolu d'Analyse par Supernœud

Exemple :

Utilisez l'analyse par supernœud pour trouver la tension aux bornes de chaque source de courant : v₁ et v₂ dans la figure 3(a) ?

Solution :

Redessinons le circuit comme figure 3(b)

Commençons par écrire une équation KCL pour le Nœud 1.

4 = 0 + 3v₁ + 3v₃ … → Éq 1.

Considérons maintenant le supernœud (combinaison Nœud1 et Nœud2). Une source de courant et trois résistances sont connectées. Donc,

Appliquons KCL au Supernœud (Nœud1 & Nœud2)

9 = 2v₂ + 6v₃ + 3v₃ – 3v₁ + 0.

9 = – 3v₁ + 2v₂ + 9v₃ … → Éq 2.

Trois inconnues, il faut une équation supplémentaire. Évidemment, la source de 5V entre Nœuds 2 et 3 :

v₂ – v₃ = 5 … → Éq 3.

Résolution des équations 1, 2, 3 par règle de Cramer, Élimination, Élimination de Gauss ou programme assisté par ordinateur tel que MATLAB, on trouve :

• v₃ = 0,575 V ou 375 mV.
• v₂ = 5,375 V.
• v₁ = 1,708 V.

Résumé de l'Analyse par Supernœud (Pas à Pas)

1. Redessinez le circuit si possible.
2. Comptez le nombre de nœuds dans le circuit.
3. Choisissez un nœud de référence. Celui avec le plus de branches pour minimiser les équations.
4. Étiquetez les tensions nodales. Il y en a (N-1), où N = nombre de nœuds.
5. Formez un supernœud si le circuit contient des sources de tension. Enceindre les bornes de la source et autres éléments connectés entre les deux bornes dans une enceinte en pointillés (figure 2(b)).
6. Écrivez une équation KCL pour chaque nœud non-référence et chaque supernœud ne contenant pas le nœud de référence. Côté gauche : courants entrant dans le supernœud/nœud depuis sources de courant. Côté droit : courants sortant par résistances. Tenez compte du signe « - » dans les équations KCL.
7. Une équation KCL par supernœud défini, réalisée par simple application de KCL. En clair : relier la tension aux bornes de chaque source de tension aux tensions nodales.
8. Si sources dépendantes apparaissent, exprimer les valeurs/quantités inconnues supplémentaires (courants/tensions autres que tensions nodales) en termes de tensions nodales appropriées.
9. Organisez le système d'équations.
10. Résolvez le système pour les tensions nodales V₁, V₂, V₃, etc. Il y en a (N-1). En cas de difficulté, référez-vous à l'exemple résolu.

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