Comprendre les signaux d'onde carrée : fondamentaux et applications

Il a été découvert que toute forme d'onde non sinusoïdale répétitive peut être équivalente à une combinaison de tension continue, d'ondes sinusoïdales et/ou d'ondes cosinusoïdales (ondes sinusoïdales avec un déphasage de 90 degrés) à diverses amplitudes et fréquences.

Cela est vrai peu importe à quel point la forme d'onde en question peut sembler étrange ou complexe. Tant qu'elle se répète régulièrement dans le temps, elle est réductible à cette série d'ondes sinusoïdales.

En particulier, il a été découvert que les ondes carrées sont mathématiquement équivalentes à la somme d'une onde sinusoïdale à cette même fréquence, plus une série infinie d'ondes sinusoïdales harmoniques de multiples impairs à amplitude décroissante :

Cette vérité sur les formes d'onde peut sembler trop étrange pour être crue au premier abord. Cependant, si une onde carrée est réellement une série infinie d'harmoniques sinusoïdales additionnées, il est logique que nous puissions le prouver en additionnant plusieurs harmoniques sinusoïdales pour produire une approximation proche d'une onde carrée.

Ce raisonnement n'est pas seulement valide, mais facilement démontrable avec SPICE.

Le circuit que nous allons simuler n'est rien de plus que plusieurs sources de tension alternative sinusoïdales aux amplitudes et fréquences appropriées connectées ensemble en série. Nous utiliserons SPICE pour tracer les formes d'onde de tension au fur et à mesure de l'addition successive de sources de tension, comme ceci :

Une onde carrée est approximée par la somme d'harmoniques.

Dans cette simulation SPICE particulière, j'ai additionné les sources de tension harmoniques 1ère, 3ème, 5ème, 7ème et 9ème en série pour un total de cinq sources de tension alternative. La fréquence fondamentale est de 50 Hz et chaque harmonique est, bien sûr, un multiple entier de cette fréquence.

Les valeurs d'amplitude (tension) ne sont pas des nombres aléatoires ; elles ont été obtenues à partir des équations montrées dans la série de fréquences (la fraction 4/π multipliée par 1, 1/3, 1/5, 1/7, etc. pour chacun des harmoniques impairs croissants).

 building a squarewave
v1 1 0 sin (0 1.27324 50 0 0) 1st harmonic (50 Hz)
v3 2 1 sin (0 424.413m 150 0 0) 3rd harmonic
v5 3 2 sin (0 254.648m 250 0 0) 5th harmonic
v7 4 3 sin (0 181.891m 350 0 0) 7th harmonic
v9 5 4 sin (0 141.471m 450 0 0) 9th harmonic
r1 5 0 10k
.tran 1m 20m
.plot tran v(1,0) Plot 1st harmonic
.plot tran v(2,0) Plot 1st + 3rd harmonics
.plot tran v(3,0) Plot 1st + 3rd + 5th harmonics
.plot tran v(4,0) Plot 1st + 3rd + 5th + 7th harmonics
.plot tran v(5,0) Plot 1st + . . . + 9th harmonics
.end

Je narrerai l'analyse étape par étape à partir d'ici, expliquant ce que nous regardons. Dans ce premier tracé, nous voyons l'onde sinusoïdale de fréquence fondamentale de 50 Hz par elle-même. Ce n'est rien d'autre qu'une forme sinusoïdale pure, sans contenu harmonique additionnel. C'est le type de forme d'onde produit par une source d'alimentation alternative idéale :

Onde sinusoïdale pure de 50 Hz.

Ensuite, nous voyons ce qui se passe lorsque cette forme d'onde propre et simple est combinée avec le troisième harmonique (trois fois 50 Hz, soit 150 Hz). Soudain, cela ne ressemble plus à une onde sinusoïdale propre :

Somme du 1er (50 Hz) et 3ème (150 Hz) harmoniques approxime une onde carrée de 50 Hz.

Les temps de montée et de descente entre cycles positifs et négatifs sont beaucoup plus raides maintenant, et les crêtes de l'onde sont plus proches de devenir plates comme une onde carrée. Regardez ce qui se passe quand nous ajoutons le prochain harmonique impair :

Somme des 1er, 3ème et 5ème harmoniques approxime une onde carrée.

Le changement le plus notable ici est comment les crêtes de l'onde se sont encore plus aplaties. Il y a plusieurs creux et crêtes à chaque extrémité de l'onde, mais ces creux et crêtes sont plus petits en amplitude qu'avant. Regardez à nouveau quand nous ajoutons la prochaine forme d'onde harmonique impaire au mélange :

Somme des 1er, 3ème, 5ème et 7ème harmoniques approxime une onde carrée.

Ici, nous voyons l'onde devenir plus plate à chaque pic. Finalement, en ajoutant le 9ème harmonique, la cinquième source de tension sinusoïdale dans notre circuit, nous obtenons ce résultat :

Somme des 1er, 3ème, 5ème, 7ème et 9ème harmoniques approxime une onde carrée.

Le résultat final de l'addition des cinq premières formes d'onde harmoniques impaires ensemble (toutes aux amplitudes appropriées, bien sûr) est une approximation proche d'une onde carrée. Le but de ceci est d'illustrer comment nous pouvons construire une onde carrée à partir de multiples ondes sinusoïdales à différentes fréquences, prouvant qu'une onde carrée pure est en fait équivalente à une série d'ondes sinusoïdales.

Lorsqu'une tension alternative en onde carrée est appliquée à un circuit avec des composants réactifs (condensateurs et inductances), ces composants réagissent comme s'ils étaient exposés à plusieurs tensions sinusoïdales de fréquences différentes, ce qu'ils sont en fait.

Le fait que les ondes répétitives non sinusoïdales soient équivalentes à une série définie de tension continue additive, d'ondes sinusoïdales et/ou cosinusoïdales est une conséquence de la façon dont les ondes fonctionnent : une propriété fondamentale de tous les phénomènes liés aux ondes, électriques ou autres.

Le processus mathématique de réduction d'une onde non sinusoïdale en ces fréquences constitutives s'appelle l'analyse de Fourier, dont les détails sont bien au-delà du cadre de ce texte. Cependant, des algorithmes informatiques ont été créés pour effectuer cette analyse à grande vitesse sur des formes d'onde réelles, et son application dans la qualité de l'énergie alternative et l'analyse de signaux est répandue.

SPICE a la capacité d'échantillonner une forme d'onde et de la réduire en ses harmoniques sinusoïdales constitutives au moyen d'un algorithme de Transformée de Fourier, produisant l'analyse de fréquence sous forme de tableau de nombres. Essayons cela sur une onde carrée, que nous savons déjà composée d'ondes sinusoïdales harmoniques impaires :

 squarewave analysis netlist
v1 1 0 pulse (-1 1 0 .1m .1m 10m 20m)
r1 1 0 10k
.tran 1m 40m
.plot tran v(1,0)
.four 50 v(1,0)
.end

L'option pulse dans la ligne de netlist décrivant la source de tension v1 instruit SPICE de simuler une forme d'onde « pulse » de forme carrée, dans ce cas symétrique (temps égal pour chaque demi-cycle) et avec une amplitude de crête de 1 volt. D'abord, nous tracerons l'onde carrée à analyser :

Onde carrée pour analyse Fourier SPICE

Ensuite, nous imprimerons l'analyse de Fourier générée par SPICE pour cette onde carrée :

 fourier components of transient response v(1)
dc component = -2.439E-02
harmonic frequency fourier normalized phase normalized
no (hz) component component (deg) phase (deg)
1 5.000E+01 1.274E+00 1.000000 -2.195 0.000
2 1.000E+02 4.892E-02 0.038415 -94.390 -92.195
3 1.500E+02 4.253E-01 0.333987 -6.585 -4.390
4 2.000E+02 4.936E-02 0.038757 -98.780 -96.585
5 2.500E+02 2.562E-01 0.201179 -10.976 -8.780
6 3.000E+02 5.010E-02 0.039337 -103.171 -100.976
7 3.500E+02 1.841E-01 0.144549 -15.366 -13.171
8 4.000E+02 5.116E-02 0.040175 -107.561 -105.366
9 4.500E+02 1.443E-01 0.113316 -19.756 -17.561
total harmonic distortion = 43.805747 percent

Graphique des résultats d'analyse de Fourier.

Ici, SPICE a décomposé la forme d'onde en un spectre de fréquences sinusoïdales jusqu'au neuvième harmonique, plus une petite tension continue étiquetée DC component.

J'ai dû informer SPICE de la fréquence fondamentale (pour une onde carrée avec une période de 20 millisecondes, cette fréquence est 50 Hz), afin qu'il sache comment classer les harmoniques. Notez comme les chiffres sont petits pour tous les harmoniques pairs (2ème, 4ème, 6ème, 8ème), et comment les amplitudes des harmoniques impairs diminuent (1er est le plus grand, 9ème le plus petit).

Cette même technique de « Transformation de Fourier » est souvent utilisée dans l'instrumentation de puissance informatisée, échantillonnant les formes d'onde AC et déterminant leur contenu harmonique. Un algorithme informatique courant (séquence d'étapes de programme pour effectuer une tâche) pour cela est la Transformée de Fourier Rapide ou FFT.

Vous n'avez pas besoin de vous soucier exactement de comment ces routines informatiques fonctionnent, mais soyez conscients de leur existence et application.

Cette même technique mathématique utilisée dans SPICE pour analyser le contenu harmonique des ondes peut être appliquée à l'analyse technique de la musique : décomposer n'importe quel son particulier en ses fréquences sinusoïdales constitutives.

En fait, vous avez peut-être déjà vu un appareil conçu pour faire exactement cela sans réaliser ce que c'était ! Un égaliseur graphique est un équipement stéréo haute fidélité qui contrôle (et parfois affiche) la nature du contenu harmonique de la musique.

Équipé de plusieurs boutons ou curseurs, l'égaliseur est capable d'atténuer sélectivement (réduire) l'amplitude de certaines fréquences présentes dans la musique, pour « personnaliser » le son au profit de l'auditeur. Typiquement, il y aura un affichage « graphique à barres » à côté de chaque levier de contrôle, affichant l'amplitude de chaque fréquence particulière.

Égaliseur graphique audio Hi-Fi.

Un dispositif construit strictement pour afficher — et non contrôler — les amplitudes de chaque plage de fréquence pour un signal à fréquences multiples est généralement appelé un analyseur de spectre.

La conception des analyseurs de spectre peut être aussi simple qu'un ensemble de circuits « filtres » (voir le prochain chapitre pour détails) conçus pour séparer les différentes fréquences les unes des autres, ou aussi complexe qu'un ordinateur numérique spécialisé exécutant un algorithme FFT pour diviser mathématiquement le signal en ses composantes harmoniques.

Les analyseurs de spectre sont souvent conçus pour analyser des signaux de fréquence extrêmement élevée, comme ceux produits par les émetteurs radio et le matériel de réseautage informatique. Sous cette forme, ils ont souvent une apparence semblable à celle d'un oscilloscope :

L'analyseur de spectre montre l'amplitude en fonction de la fréquence.

Comme un oscilloscope, l'analyseur de spectre utilise un tube cathodique (ou un affichage informatique imitant un tube cathodique) pour afficher un tracé du signal.

Contrairement à un oscilloscope, ce tracé est l'amplitude sur la fréquence plutôt que l'amplitude sur le temps. En essence, un analyseur de fréquence donne à l'opérateur un diagramme de Bode du signal : quelque chose qu'un ingénieur pourrait appeler une analyse en domaine de fréquence plutôt qu'en domaine temporel.

Le terme « domaine » est mathématique : un mot sophistiqué pour décrire l'axe horizontal d'un graphique. Ainsi, le tracé d'un oscilloscope d'amplitude (vertical) sur temps (horizontal) est une analyse en « domaine temporel », tandis que le tracé d'un analyseur de spectre d'amplitude (vertical) sur fréquence (horizontal) est une analyse en « domaine de fréquence ».

Lorsque nous utilisons SPICE pour tracer l'amplitude du signal (soit tension, soit courant) sur une gamme de fréquences, nous effectuons une analyse en domaine de fréquence.

Veuillez noter comment l'analyse de Fourier de la dernière simulation SPICE n'est pas « parfaite ». Idéalement, les amplitudes de tous les harmoniques pairs devraient être absolument nulles, et il en va de même pour la composante continue. Encore une fois, ce n'est pas tant un défaut de SPICE qu'une propriété des formes d'onde en général.

Une forme d'onde de durée infinie (nombre infini de cycles) peut être analysée avec une précision absolue, mais moins il y a de cycles disponibles pour l'ordinateur pour l'analyse, moins l'analyse est précise. Ce n'est que lorsque nous avons une équation décrivant une forme d'onde dans son intégralité que l'analyse de Fourier peut la réduire à une série définie de formes d'onde sinusoïdales.

Moins une onde cycle, moins sa fréquence est certaine. En poussant ce concept à son extrême logique, une impulsion courte — une forme d'onde qui ne complète même pas un cycle — n'a en fait pas de fréquence, mais agit plutôt comme une gamme infinie de fréquences. Ce principe est commun à tous les phénomènes basés sur les ondes, pas seulement aux tensions et courants alternatifs.

Il suffit de dire que le nombre de cycles et la certitude des composantes de fréquence d'une forme d'onde sont directement liés.

Nous pourrions améliorer la précision de notre analyse ici en laissant l'onde osciller encore et encore pendant de nombreux cycles, et le résultat serait une analyse spectrale plus cohérente avec l'idéal. Dans l'analyse suivante, j'ai omis le tracé de la forme d'onde pour la brièveté — c'est juste une onde carrée très longue :

 square wave
v1 1 0 pulse (-1 1 0 .1m .1m 10m 20m)
r1 1 0 10k
.option limpts=1001
.tran 1m 1
.plot tran v(1,0)
.four 50 v(1,0)
.end
fourier components of transient response v(1)
dc component = 9.999E-03
harmonic frequency fourier normalized phase normalized
no (hz) component component (deg) phase (deg)
1 5.000E+01 1.273E+00 1.000000 -1.800 0.000
2 1.000E+02 1.999E-02 0.015704 86.382 88.182
3 1.500E+02 4.238E-01 0.332897 -5.400 -3.600
4 2.000E+02 1.997E-02 0.015688 82.764 84.564
5 2.500E+02 2.536E-01 0.199215 -9.000 -7.200
6 3.000E+02 1.994E-02 0.015663 79.146 80.946
7 3.500E+02 1.804E-01 0.141737 -12.600 -10.800
8 4.000E+02 1.989E-02 0.015627 75.529 77.329
9 4.500E+02 1.396E-01 0.109662 -16.199 -14.399

Analyse de Fourier améliorée.

Remarquez comment cette analyse montre moins de composante de tension continue et des amplitudes plus faibles pour chacun des harmoniques pairs, tout cela parce que nous avons laissé l'ordinateur échantillonner plus de cycles de l'onde. Encore une fois, l'imprécision de la première analyse n'est pas tant un défaut de SPICE qu'une propriété fondamentale des ondes et de l'analyse de signaux.

RÉVISION :

• Les ondes carrées sont équivalentes à une onde sinusoïdale à la même fréquence (fondamentale) ajoutée à une série infinie d'harmoniques sinusoïdaux de multiples impairs à amplitudes décroissantes.
• Des algorithmes informatiques existent qui sont capables d'échantillonner des formes d'onde et de déterminer leurs composantes sinusoïdales constitutives. L'algorithme de Transformée de Fourier (particulièrement la Transformée de Fourier Rapide, ou FFT) est couramment utilisé dans les programmes de simulation de circuits informatiques tels que SPICE et dans les équipements de mesure électroniques pour déterminer la qualité de l'énergie.

FEUILLES DE TRAVAIL CONNEXES :

• Feuille de travail sur les signaux d'onde carrée